MECANIQUE DES MATERIAUX SOLIDES

Georges Cailletaud

Description

76 MECANIQUE DES MATERIAUX SOLIDES ANNALES

• déformation viscoplastique


• composantes de la vitesse de déformation viscoplastique


• evolution de la déformation


• contrainte ?11


• faces en direction x2


• ?11


• ?11 ??33


• tenseur de contrainte


• déformation


• déviateur associé au tenseur de contrainte

Sujets

• Déformation
• annales

Informations

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Extrait

76
MECANIQUE DES MATERIAUX SOLIDES
ANNALES77
ENSMP 1ère année, Mécanique des matériaux solides, 23 juin 1997
Exercice :
On considère un cube de côté 1 dont les arêtes sont parallèles aux 2. Définir la valeur de la contrainte pour laquelle le matériau11
axes x , x , x d’un repère orthonormé. Il est chargé uniformément dans atteindra la limite du domaine d’élasticité, pour chacun des cas suivants :1 2 3
la direction x , tandis que les faces en direction x sont libres, et que les – critère de Tresca, f( )= max ( ) min ( )1 2 i i j j y

faces en direction x restent bloquées. – critère de von Mises, f( )= J3 y

1. Indiquer quels sont les termes non nuls du tenseur des contraintes et du – critère de Drucker–Prager, f( )= J+( I )/(1 ), en distinguanty 1

ici le cas où la contrainte est en traction ou en compression.11tenseur des déformations dans le repère (x ,x ,x ), et écrire les relations1 2 3
On rappelle que I désigne la trace du tenseur de contraintes, et que,1contrainte–déformation lorsque le comportement est élastique et isotrope,
si s est le déviateur associé au tenseur de contrainte, J est défini paravec un module d’Young E et un coefficient de Poisson .
0.5
J =((3/2) s : s)
On est en déformations planes selon l’axe x , si bien que les3
Les trois contraintes principales sont = 0< = < = .3 2 11 1 11composantes 13, 23, 33 du tenseur de déformation sont nulles, ainsi que
La trace du tenseur de contrainte, son déviateur et le deuxième invariant deles termes 13 et 23 du tenseur de contrainte. Comme la surface normale à
celui ci s’écrivent respectivementl’axe x est libre, les composantes 12, 22, 23 du tenseur de contrainte sont2
nulles. En fait, il n’y a pas de cisaillement dans le système pour raison de
I = + + =(1+ )1 11 22 33 11symétrie. Ceci conduit aux formes simples :
    
2 0 00 0 0 011 11 I1 11     s = I = 0 1 0= 0 0 0 = 0 022 3 3
0 0 2 10 0 0 0 033
r
p3Les relations contrainte–déformation sont : 2J = s : s =| | 1 +11
2
E =11 11 33 Ceci conduit aux résultats suivants :
E =22 11 33 – pour le critère de Tresca :
E = +33 11 33
f( )=| | =11 y 11 y

La condition = 0 permet d’écrire :33
– pour le critère de von Mises :
=33 11 p
y2f( )=| | 1 + =√11 y 11
21 +
essnensnssenssesessssnsnssnsnasssesasesssssssnsssnsnnssssssssnssnnnsn78
– pour le critère de Drucker–Prager : On a donc :
     
f( )=(1 )J I 1 0 0 0 0 0 0 0 01 y
     = 0 0 0 + 0 1 0 + 0 0 0
1 2 3donc : p 0 0 0 0 0 0 0 0 1
2(1 )| | 1 + + (1+ )=11 11 y
En posant : > > le critère prendra la forme : f( ) =| |y 1 2 3 1 3
= √11
2 d’où :(1 ) 1 + (1+ )  
n 1 0 0
f( )Dans cette dernière expression le signe (+) correspond à la traction, le vp  ˙ = 0 0 0
signe ( ) à la compression. K
0 0 1
3. On suppose que le matériau suit une loi de comportement
viscoplastique à seuil, qui s’écrit sous chargement uniaxial de traction
4. Calculer alors l’évolution du système (contrainte, déformation,
simple, en introduisant deux coefficients supplémentaires K et n pour
déformation viscoplastique) dans les deux cas suivants :
caractériser la viscosité du matériau, et en posant< x>= max(x,0) :
– on bloque la contrainte à la valeur maximale atteinte ;11 m n
– on la déformation totale à la valeur maximale atteinte .y 11 mvp˙ =
K On a :
vpe
˙ = ˙ + ˙11On généralise cette loi aux chargements tridimensionnels en utilisant le 11 11
critère de Tresca. On effectue une mise en charge rapide au cours de vpe0= ˙ + ˙33 33
laquelle la déformation viscoplastique est négligeable, jusqu’à un état
n
de contrainte tel que > . Quelle est la direction de l’écoulement 111 y 11 y
˙ = ˙ ˙ +11 11 33
viscoplastique ? E E K
L’existence du potentiel viscoplastique fournit l’équation : n
1 11 y
˙ ˙0= 33 11f E E Kvp
˙ =
f
donc : n21 11 yqu’il faut appliquer avec le critère de Tresca : f( ) = max | | et lai, j i j ˙ = ˙ +(1 )11 11 n+1 E KK f
forme : = d’où il vient :
n+ 1 K On suppose que la mise encharge est instantanée, si bien que, à t = 0 :
n
f fvp 1˙ = = s sK E
asssssases¶Fessassssss¶sess¶sn¶ssn¶sane¶e¶sss¶s¶¶¶snss¶ssseena¶sn¶sssnensseseaeeeennnssF79
- si on bloque la contrainte à la valeur , on a = , et ˙ = 0 : Dans ce cas on a :m s m 11

sZ nt
m y 2 2+ 11 33= +(1 ) dt11 s 11 33J( )=K0 2 n
1 m y
= +(1 ) tm J( ) 3sE K
= =
2J( )
Nous remarquons que l’évolution de la déformation est linéaire avec le  
2 0 0temps. 11 33
1  ˙ =q 0 0- si on bloque la déformation à la valeur , on a = , et = 0, si bienm s m 11 11 33
2 22( + )que : 11 33 0 0 2 33 1111 33 n
1 11 y
˙ + + 0 Les vitesses des déformations viscoplastiques :11
1+ K
q n
2 2L’exposant n est en général plus grand que 1. L’évolution de est donc + 11 3311 11 33
y 2 11 33vp 2 décrite par une fonction puissance : ˙ = q11
K 2 22( + )11 33 1 11 33
1 nE(n 1)s y 1 n= + K ( ) + t11 y q n
2 2K (1+ )K + 11 3311 33
y 2 33 11vp 2 ˙ = q33Avec : K 2 2E 2( + )11 3311 33=s m
1
La contrainte reste constante, donc ˙ = 0. La déformation dans la11 11
direction 3 reste bloquée, on a :
5. Dans le cas où on choisit au contraire le critère de von Mises vpe˙ = ˙ + ˙ = 033 33 33pour effectuer l’extension tridimensionnelle du modèle viscoplastique,
qet en supposant toujours que l’on effectue une mise en charge rapide,  n
2 2+ 11 3311 33la contrainte atteinte étant telle que l’on se trouve hors du domaine 1 y 22 33 11 ˙ q0= +33d’élasticité : E K 2 22( + )11 3311 33– donner l’expression du tenseur vitesse de déformation viscoplastique à la
fin de la mise en charge, On remarque que, hors de la zone élastique :
– en supposant que la contrainte est maintenue constante, montrer11 q n
2 2+que la contrainte tend asymptotiquement vers une limite que l’on 11 3311 3333
y 12  qcalculera. Quelles sont alors les composantes de la vitesse de déformation > 0 ∀ 33
K 2 22( + )viscoplastique ? 11 3311 33
ssssssessessssssssssssnsssnsessssssssse¶ssssenssss¶ssssssssssesesssnssnssssnsesesssssssessessssssessssss80
m m˙On suppose que a une valeur assymtotique, la condition nécessaire est Il est simple de vérifier que si = , on a = 0. Si < ,33 33 33 332 2
donc ˙ = 0. On obtient donc : on obtient ˙ > 0, ceci montre que augmente jusqu’à la valeur33 33 33
massymtotiquei = . Cette valeur est ensuite impossible d’augmenter33 22 = 033 11
(car ˙ = 0), ni diminuer (car si diminue, on obtient à nouveau ˙ > 0,33 33 33
ou : ceci est impossible).
11 m= =33
2 2
sssssssssssssssssss81
Cylindre en torsion
On considère un barreau prismatique d’axe x , de section circulaire Les équations d’équilibre sont bien vérifiées, en l’absence de forces de3
(rayon R), et de longueur L dans le repère orthonormé (x ,x ,x ). Il est volumes.1 2 3
“suffisamment long” pour que les contraintes et les déformations soient Sur un point courant de la section latérale, le vecteur contrainte reste une
indépendantes de x . seule composante de cisaillement :3
q q
2 2 2 2Résolution en élasticité = + = μ x + x = μ r13 23 1 2
Le matériau est supposé élastique isotrope, de module d’Young E et de
Le problème est indépendent selon x , le vecteur contrainte de la sectioncoefficient de Poisson . Le barreau est encastré dans sa partie inférieure 3
supérieure reste inchangé par rapport à celui d’une section latérale.(plan (x = 0)), et il subit un champ de déplacement u, pour lequel la3
composante selon 3 est nulle, et :
4. Calculer la force résultante sur la section supérieure, ainsi que le
momentM autour de l’axe x . En déduire que les champs obtenus sontu = x x ; u = x x 31 2 3 2 1 3
bien la solution d’un problème de torsion autour de l’axe x . Quelle est la3
signification physique de ?
1. Calculer les composantes du tenseur de déformation.
La force résultante sur la section supérieure est alors un moment de
torsion qui vaut :
1 x2
0 0= (u + u )=13 1 3 3 1 Z Z R2 2 12 4M = (x x )dS= 2 r dr = μR1 23 2 131 x1 2S 0
0 0= (u + u )=23 2 3 3 2
2 2
représente l’angle de torsion unitaire, c’est à dire, pour une longueur
Les autres composantes du tenseur de déformation sont nulles.
d’unité, la section supérieure tourne d’un angle par rapport à la section
inférieure.
2. Calculer les composantes du tenseur des contraintes.
Résolution en plasticité
On suppose que le matériau est élastique–parfaitement plastique, avec une
= 2μ = μ x13 13 2 limite d’élasticité en traction simple .y
= 2μ = μ x23 23 1
Les autres composantes du tenseur de contraintes sont nulles. 1. En supposant que et sont les deux seules composant