Physique 2002 Ing. du Contrôle de la Navigation Aérienne ENAC

Fabrice Colin

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Examen du Supérieur ENAC. Sujet de Physique 2002. Retrouvez le corrigé Physique 2002 sur Bankexam.fr.

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• Physique
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• Publié le: 25 juillet 2008
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Extrait

ÉNONCÉ

Questions faisant partie d'un même exercice.

[1,2,3,4,5,6] [7,8,9,10,11] [12,13,14,15] [16,17,18,19,20,21] [22,23,24,25,26,27,28,29] [30,31,32,33] [34,35,36,37,38,39,40] 

1. charges électrostatiques positives sont réparties uniformément, avec la densité linéique Desλ, sur deux segments de droite [A 1 A 2 ] et [A 1 A 4 perpendiculaires entre eux et de même longueur a (] figure 1). Elles sont dans le vide de permittivité diélectriqueε 0 . A 2 A 2 H P

O

a

A 1

O

a / 2

θ

H

A 4 Figure 1  Figure 2 A 1  Dans un premier temps on se propose de déterminer le champ électrostatiqueE(O) créé par les charges du segment [A 1 A 2 ] au point O de la bissectrice de l'angle (A 1 A 2 ,A 1 A 4 ) situé au milieu de [A 2 A 4 ]. Indiquer la direction deE(O). a)OH (Hmilieu de[A 1 A 2 ])b)Parallèle à [A 1 A 2 ] c)Perpendiculaire au plan (OA 1 A 2 )d)Aucune (E(O) =0) 2. l'intensité E(O) de ce champ.  CalculerIl est commode d'utiliser comme variable d'intégration l'angleθ = (OH,OP ) , où P est le point courant de la distribution (figure 2). λ1 = a) E ( O) = 4 λ επ 0 a  1 b)E(O) = 0c) E ( O) = 2επ λ 0  1 a d) E ( O ) 2 πε 0 a

3. SoitE T (O) le champ électrostatique créé en O par les charges réparties sur les deux segments [A 1 A 2 ] et [A 1 A 4 ]. Indiquer la direction deE T (O) et déterminer son intensité E T (O). a)Droite (OA 1 )b)Perpendiculaire au plan (A 1 A 2 A 4 ) λ = c) E T ( O ) ε = π λ 0  12  a d) E T ( O ) 1 πε 0 a

4. SoitE o le champ électrostatique créé au centre O du carré de sommets A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , bâti sur les côtés A 1 A 2 et A 1 A 4 (figure 3). Déterminer l'intensité E o  de ce champ, sachant que les quatre côtés sont chargés uniformément avec la densité linéiqueλ. a) E o = 4λ1 b)E o = 0 πε 0 a c) E o 4λ1 d)  E o = 4 2λ1 = 2πε 0 aπε 0 a

A 3

Figure 3

O

A 2

A 4

A 1

AC

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5. deux segments [A Les 1 A 2 ] et [A 1 A 4 ], toujours perpendiculaires entre eux, sont maintenant semi infinis (A 2 etA 4 sont rejetés à l'infini). Déterminer la composante E 1 (O) selon A 1 O par les charges de la demiO du champ électrostatique créé en droite [A 1 A 2 ). a) E 1 ( O  λ ) =) 2 2πε 0 a bE 1 ( O= π λ ε ) 0 a c)  E 1 ( O π = λ ε ) 0 2 a d) E 1 ( O) = 4 λ πε 0 a

6. Dans ces conditions, comparer le champ électrostatiqueE' T (O) créé en O par les charges des deux segments semi infinis et le champ électrostatiqueE" T (O) qui serait créé en O par des charges réparties a uniformément avec la densitéλ O. desur une droite infinie située à la distance  2 a)E" T ( O) =2E' T ( O ) b)E" T O) =2E' T O )  c)E" T ( O) =E' T ( O ) d)E" T ( O) = 2 1 E' T ( O )  x 7. Deux demi spires circulaires de même centre O P et de même rayon b sont parcourues par des courants continus de même intensité I et de même sens (figure θ 4). Elles appartiennent au même plan xOy du repère c S a o r i t t é  si Bpmahceliténgam'equequréceslluanet nedo'irigneO. (M)  z I O point M de l'axe Oz d'abscisse z=OM . M Indiquer la direction deB(M). y I a)Axe Ozb)Axe Oy Figure 4 c)Axe Oxd)Dans le plan xOz 8. l'intensité B(M) de ce champ. Il est commode d'utiliser comme variable d'intégration Déterminer l'angleθ = (Ox,OP ) , P désignant le point courant de la distribution. 2 µI z B M= a) B ( M ) = µ 4 0 π z I 2 +b z  / 22 3 b) ( ) 2 0 π z 2 +b  22 1/  B M = µ d) ( M ) = µ 0 3 c) ( )  π 0 I z 2 + b b  22 1/ B π z I 2 +b zb 2 / 2

9. Un dipôle magnétique de momentM=Me z  peut se déplacer sans frottement sur l'axe des z. Calculer la résultante des forcesFqu'exerce le champ magnétique sur le dipôle. µ − 2 2 a)F= 0 IMb 3 2 z 2 b 2 2 2z 5/2 2 e y b)F = µ 0 I π Mb z b 2 + −2 b 2 z 5 / 2 e z  π +b

F µIMb 5b 2 −z 2 c)= 0 4π z 2 +b 2 5 / 2 e z 

µ 0 d)F= IMb π

10. Montrer qu'il existe deux positions d'équilibre. b a) z e =b) z e = b 2 c) z e = − 2  b 2

3b 2 −4z 2 z 2 +b 2 5 / 2 e y 

11. si ces positions d'équilibre sont stables ou pas. Préciser a) z e =nitsbael 2 b b) z e = −stablec) z e =lbats 2 e 2

AC

d) z e = −

d) z e = −

b  2

b instable 2

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12. le plan xOy du référentiel DansRO ;e x ,e y ,e z  mobile "ponctuel" P décrit la parabole un d'équation cartésienne : y 2 =2px (p :constante positive). Sa vitesseV(P/R), de composantes X et Y, est telle que l'ensemble des points N (X,Y), hodographe du mouvement de pôle O, a pour équation cartésienne : X 2 = :2qY (qconstante positive). Exprimer X et Y en fonction de y. a) X= 2p 2 2 q b)Y= p2 y 4 4 q c) X= 2pq y d) Y= p2 y 2 2 q  y

13. Exprimer l'accélérationa(P/R) du point P en fonction du vecteur positionOP. Préciser la nature du mouvement de P. a)a ( P /R) = − 8 y p 6 4 q 2 OPb)a ( P /R) = − 2p y 4 q OP c)Le mouvement de P est uniforme. d)accélération centrale par rapport à O.Le mouvement de P est à 14.fonction du temps t, sachant que le mobile passe en O à les expressions de x et de y en  Établir l'instant initial t = 0. 2 1/ 3  2  2 / 3 a) x= qt6p p2 b) y=6pq 2 t 1/ 6 c) x= p6qt 2p dy=6p 2 qt 1/ 3 )

15.Claucellevparmpseteruceetéeayalbreail'rdétinurap td Sd OP lorsque P décrit sa trajectoire (vitesse aréolaire). S a) d  dt =pq 2 tb) S td  d = − 1 qp 2 c) dt d  S =pqd) dS dt = −p 2 qt

16. Le dipôle de bornes A et B (figure 5 v) est soumis à la tension sinusoïdale t) =V 0 cos(ωt ) . Calculer l'impédance complexe Z du dipôle. Figure 5 i 1 (t) A i(t)  L 1 B C 2 i' 1 (t) C 1

1−L Cω 2 a) Z=jL 1 ω 1−L 1 ( C 1 1 + 2 C 2 ) ω 2  2 c) Z= C 2 j ω 1−L 1 1 ( − C L 1 1 C + 1 C ω 2 ) ω 2 

v(t)

 b)Z= − j Cω 1− 1 L 1 − C L 1 C +C ω 2 2 ) ω 2  2 1  1 − +Cω d) Z=jL 1 ω 1 L 1 ( C 12 2 ) 2  1−L 1 C 1 ω

17. Endu temps t, de l'intensité i(t) du courant qui traverse le déduire l'expression, en fonction condensateur de capacité C 2 . a) i ( t) = − L 1 1 ω 1 1− −L L 1 1 C C 1 2 ω ω 2 2 V 0 sin(ωt ) b) i ( t) =C 2 ( ω 1 ) 2 V 0 cos(ωt )  1−L 1 C 1 +C 2 ω =−ω 1−L 1 C 1 ω 2 sinωt c) i ( t) =C 1 ω1−L 1 C 2 ω 2 V 0 sin(ωt ) d) i ( t ) C 2 1−L 1 ( C 1 +C 2 ω ) 2 V 0 ( )

AC

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18. De même, établir les expressions, en fonction du temps, des intensités i 1 (t) et i' 1 (t) des courants qui circulent respectivement dans la bobine d'inductance propre L 1 et le condensateur de capacité C 1 . a) i 1 ( t) = 1−L 1 ( − C C 2 1 + ω C V 0 2 ) ω 2 sin(ωt ) b) i 1 ( t) = L 1 1 ω 1−L 1 ( C 1 V 0 +C 2 ) ω 2 cos(ωt )  ) ( ) C 1 0 c) i ' 1 ( t) = 1− L L 1 1 C ( 1 C C 2 1 ω +C 2 3 V 0 ) ω 2 sin(ωt ) d i t= 1−L 1 ( C 1 ω +C V 2 ω ) cos(ωt )  2 1

19. les expressions des pulsations Donnerω 1  etω 2  lesquelles l'intensité i(t) est respectivement pour nulle (ω 1 ) et infinie (ω 2 ). = ω 2 a)ω 1 = L 1 C 1 2 b)ω 1 = L 1 1 C 1 c)ω 2 = ( 1 ) d) 1 L 1 C 1 +C 2 L 1 C 2

20. La fréquence correspondant à la pulsationω 1 est 5 kHz et celle correspondant à la pulsation w 2 est 2,5 kHz. Sachant que C 1 = 14 nF, calculer L 1 et C 2 exprimés respectivement en mH et en nF. a)L 1 = 18,1 mHb)L 1 = 72,4 mHc)C 2 = 10 nFd)C 2 = 42 nF 21. la pulsation Pourω 3 telle que L 1 C 2 ω 32 =1 (résonance série entre la bobine et le condensateur de capacité C 2 ), montrer que l'intensité i' 1 (t) du courant qui circule dans le condensateur de capacité C 1  ne dépend pas de l'un des éléments du dipôle et établir son expression en fonction du temps en mA, sachant que V 0 = 20 V.  a)i' 1 (t) ne dépend pas de L 1 b)i' 1 (t) ne dépend pas de C 1  c) i ' 1 ( t) =6, 6 sin 9.10 4 t (mA)d) i ' 1 ( t) = −15, 2 sin 18,1.10 3 t (mA)

22. Une onde progressive plane sinusoïdale, de fréquence 1,6.10 10 se propage dans le vide dans laHz, direction de l'axe Ox. A la date t, son champ magnétique complexeBau point P(x,y,z) est :  0 E B= c 0 exp   j ( kx−ωt   )  −   p  j  E 0 , k etωsont des scalaires réels positifs ; p est un scalaire réel positif ou nul. j désigne le nombre complexe tel que j 2 =−1. c désigne la célérité de la lumière dans le vide (c = 3.10 5 km.s −1 ). On rappelle que la perméabilité magnétique du vide vautµ 0 =4π.10 −7 H.m −1 . Calculerωet k. − a)ω =10 13 rad.s −1 b)ω =10 11 rad.s 1 c) k=335m −1 d) k=16m −1  23. l'expression du champ magnétique réel ÉcrireB. Préciser le type de déphasage entre les deux composantes non nulles deB.  a)B= E 0     0 nis ( k ( x − −ωt ω ) t ) b)B c E 0      p 0 − s ins in ( ( kx kxω− ω−t t ) )  c cos kx c)Composantes en quadrature.d)Composantes en opposition de phase. 24. Déterminer le vecteur champ électrique réelE=E(P,t).   0 E−−  ω a)E=E 0      opc 0 osc ( s k ( x kx− ω−t ω ) t ) b) E 0   c spco os ( ( kx kx ω−t t ) ) c) E=E 0     si 0 n ( k ( xω−t ) ) d) E=E 0    s 0 pco ( kx− ωt )   p cos kx− ωt  −  sin ( kxω−t )

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25.= 0 et p = 1. Indiquer la polarisation de l'onde lorsque p a)p = 0 : polarisation rectiligne selon Ox.b)p = 0 : polarisation rectiligne selon Oz. c)p = 1 : polarisation elliptique.d)p = 1 : polarisation circulaire. 26. Déterminer l'expression de la valeur moyenne temporelleR de la norme du vecteur de PoyntingRde l'onde. a)R= E 2 2 0 b)R= E 02 p 2  0 cµ 0 c R= + d) R= E 02 p 2 +p+1 c) E  2µ 0 0 2 p c 2 1 µ 0 c

27.moyenne transportée par l'onde à travers une surface unité Sachant que la puissance perpendiculaire à la direction de propagation est de 0,4 W.m −2 lorsque p = 0, déterminer les amplitudes E 0  et B 0 des champs électrique et magnétique de l'onde. a) E 0 =17, 37V.m −1 b) E 0 =3, 34V.m −1 c) B 0 =1,11.10 −8 Td) B 0 =5,8.10 −8 T 28. dans le cas où p = 0, un dispositif de réception constitué par un cadre carré, de côté 2b, Toujours comportant n spires, a son centre à l'origine O des coordonnées. On positionne le cadre de telle sorte que le flux magnétiqueΦqui le traverse soit maximal. Déterminer l'expression deΦen fonction du temps. a)Φ (t) = − bE ω 0 n sin ( kb ) cos(ωt ) b)Φ (t) = 4b ω E 0 n cos ( kb ) cos(ωt )  c)Φ (t) = − 4b ω E 0 n sin ( kb ) sin(ωt ) d)Φ (t) = bE ω 0 n cos ( kb ) sin(ωt ) 

29. En déduire l'expression de la force électromotrice e(t) induite dans le cadre sachant que b = 8 cm et n = 20. a) e ( t) = 1014,12 sin 13 t (V)b) e ( t) = 107, 06 sin 11 t (V) c) e ( t) =55, 5 cos 10 13 t (V)d) e ( t) =111cos 10 11 t (V)

30. Un solide rigideSest constitué par : auC a centre I de b et on z ♦yrde,péramrsaesedm rehaniè de m tie ;g e o c m r o ec e  n n è u Figure 6 A ♦A, de masse m/2, fixé sur le cerceau.un point matériel L R se O; o e li x e , d e  y se ,e  z pm ecalpédelsnadnyOplaréfzduitlerénelieéglan doltnexa'zOtselaverticaleascneadtne;elcah C ϕ Y g I de pesanteurgest supposé uniforme. Le centre I du cerceau se trouve à tout instant sur l'axe Oz deRà la distance b de O, de telle sorte que le solide est en contact permanent y avec l'axe Oy à l'origine O. O La rotation du solide est repérée par l'angleϕ =IY,IA ) où IY est l'axe passant par I de même direction et de même sens que Oy. Indiquer la droite sur laquelle se trouve le centre de masse G deSet donner la distance IG. a)Droite IAb)Médiatrice de IAc)IG = 2b/3 d) IG = b/3 31.à une constante arbitraire près, l'énergie mécanique E  Calculer, m du solideSpar rapport àR. On rappelle que le moment d'inertie du cerceau par rapport à son axe de révolution es mb 2 . t  a) E m = 3 2 mbg    1+ni 3 1 s    +bm 2 3 2  2 b) E m = 2 gmb 3    1+ 3 ocs 1   +  b 2 m 3 2 2  3 c) E m = 2 bgm 3    1+ 3 nis 1  +   bm 4 3 2  2 d) E m =mg 3 4 b    1+ 3 1 nsi+    2 bm 2  2 

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32. liaisons mécaniques en O et en I étant parfaites, les actions de contact ont une puissance nulle. Les Déterminer la condition pour que le mouvement deSsoit révolutif sachant, qu'à l'instant de départ, A se trouve en O et le solide est lancé avec la vitesse angulaire  0 >0 . a)ϕ  0 ≥ b g 2 b)ϕ  0 ≥ 2 b g 3 c)  ϕ 0 ≥ g b d)ϕ  0 ≥ b 4g 3 

33. Déterminer la période T des petites oscillations deSautour de sa position d'équilibre stable. a) T=2π 4b b) T=2π 3b c) T=2π 2b d) T=2π b g g g g

34. l'état initial (0), une mole d'hélium occupe le volume V A 0  = 20 litres sous la pression atmosphérique (p 0 = 10 5 Pa). Le gaz subit successivement trois transformations réversibles : ♦ 0→1 : isobare qui triple son volume ; ♦1→ isotherme qui ramène son volume au volume initial V2 : 0 ; ♦ 2→0 : isochore qui ramène sa pression à la pression initiale p 0 . Dans un premier temps, le gaz est supposé parfait. Son coefficientγ, rapport des capacités thermiques molaires à pression et à volume constants, est de 5/3. On rappelle que la constante des gaz parfaits est : R = 8,3 J.K −1 .mole −1 . Dans toute la suite, W désigne un travail échangé avec le milieu extérieur et Q un transfert thermique avec l'extérieur. Pour la transformation isobare 0→1 , calculer, en kJ, W 01 et Q 01 . a)W 01 =−4 kJb)W 01 = 2 kJc)Q 01 = 5 kJd)Q 01 = 10 kJ 35. Toujours pour la transformation 0→1 , calculer les variations∆U 01 de l'énergie interne et∆S 01 de l'entropie. a)∆U 01 = 12 kJb)∆U 01 = 6 kJc)∆S 01 = 22,8 J.k −1 d)∆S 01 = 2,3 J.K −1  36. la transformation isotherme 1 Pour→2 , calculer W 12 et Q 12 . a)W 12 = 3,3 kJb)W 12 = 6,6 kJc)Q 12 =−6,6 kJd)Q 12 = 9,9 kJ 37. pour la transformation 1 Toujours→2 , calculer∆U 12 et∆S 12 . −1 a)∆U 12 =−3,3 kJb)∆U 12 = 0c)∆S 12 = 3 J.K −1 d)∆S 12 =−9,1 J.K 38. la transformation isochore 2 Pour→0 , calculer∆U 20 et∆S 20 . a)∆U 20 =−6 kJb)∆U 20 = 6 kJc)∆S 20 =−13,7 J.K −1 d)∆S 20 =−5,3 J.K −1  39. Onconditions choisies, l'hélium se comporte comme un gaz se propose de savoir si, dans les parfait. Pour ce faire, on suppose maintenant que le gaz a un comportement réel régi par l'équation d'état deDieterici:p V R − e b x T p  −   a VRT    , avec a=3, 4.10 −3 N.m 4 et b=2, 3.10 5 m 3 . Compte tenu du fait que dans les conditions de l'expérience, le volume V a des valeurs élevées, établir 1 l'expression approchée de p sous la forme : p= V A + V B 2 +... ; on se limitera aux termes en  V 2 . RT a) p= V + V bRT 2 −2a b) p= RT V + RbT2 V 2 −a RT− c) p= TR V + RTa V 2 −2b d) p= V + V TRb 2 a 40. On considère la transformation isotherme 1→2 , pour laquelle le travail est maintenant W' 12 . ' Calculer l'écart relatifη = W 12 W −W 12  W où 12  est le travail calculé à la question36. Indiquer dans ces 12 conditions si l'hélium peut être considéré dans l'expérience comme un gaz parfait. a)η= 1,5b)η= 7.10 −4  c)L'hélium se comporte comme un gaz parfait.d)ne se comporte pas comme un gaz parfait.L'hélium

AC