Polytechnique X 2001 premiere composition de mathematiques classe prepa pc

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fiCOLE POLYTECHNIQUE tiCOLE SUPl%IEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES FILIÈRE Pc CONCOURS D’ADMISSION 2001 PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. *** Les polynomes de Legendre, fonctions de Legendre et harmoniques sphériques étudiés dans ce problème ont des applications à la détermination des équilibres de température et des distribu- tions de charges électriques, ainsi qu’à la mécanique quantique. *** Les fonctions considérées sont à valeurs dans R. On identifie une fonction polynomiale avec le polynôme associé. Première partie Pour tout n E R, on considère la fonction polynomiale Pn, définie par pour x E R. Il résulte des conventions habituelles que Pi(x) = 1 pour x E R. 1.a) Montrer que le polynôme P, est de degré n. Quel est le coefficient du terme de degré n dans P,? b) Pour quelles valeurs de n la fonction P, est-elle paire? impaire? c) Calculer P,(l) et P,(-1). 2. Soit n > 1. Montrer que pour tout m E N tel que 0 6 m < n - 1, ’ P,(x) xmdx = 0 . s -1 3. On désigne par & l’espace préhilbertien réel des fonctions continues sur [-1, l] muni du produit scalaire pour u,2) E 1. a) La famille (Pn)nE~ est-elle une famille orthogonale dans &? b) Calculer (P, ] P,) pour chaque n E N. 4.a) Soit n > 1. Montrer que & ((x2 est orthogonal à xm pour tout m E N tel que 0 < m < n - 1. b) Montrer que, pour tout n E N, P, est solution de l’équation ...

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• Publié par: shura
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