Première composition de Mathématiques 2004 CAPES de mathématiques CAPES (Externe)

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Concours de la Fonction Publique CAPES (Externe). Sujet de Première composition de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Première composition de Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.

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• 2004

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 01 avril 2008
• Nombre de lectures: 72
• Langue: Français

Extrait

Objectifs et notations
Ce probl` eme propose essentiellement l’´ etude de deux d´ efinitions classiques de la fonction
exponentielle. La premi` ere partie ´ etablit des r´ esultats fondamentaux qui seront utilis´ es
dans les deux parties suivantes, mais ` a l’exception de la toute derni` ere question, la
deuxi` eme et la troisi` eme partie sont totalement ind´ ependantes.
Les candidats sont invit´ es ` a lire soigneusement les en-tˆ etes de chaque partie et ` a se
conformer strictement aux exigences qui y sont formul´ ees. Toute solution ne respectant
pas ces exigences sera rejet´ ee.
Certaines questions comportent des indications ou des suggestions de solutions. Les
candidatspeuventbiensˆ urnepasentenircompteetproposerdessolutionspersonnelles.
d´ esigne l’ensemble des nombres entiers naturels, ∗
= r{0} et
b
= r{0,1}.
d´ esigne l’ensemble des nombres r´ eels, et ∗+
l’ensemble des nombres r´ eels strictement
positifs.
E d´ esigne l’application usuelle partie enti` ere.
n d´ esignant un entier naturel non nul, on appelle n-uplet de r´ eels un´ el´ ement du produit
cart´ esien n
.
L’´ ecriture (u
n
)
n>1 d´ esigne une suite index´ ee par ∗
, de terme g´ en´ eral u
n
et si a d´ esigne
un r´ eel positif, (u
n
)
n>a d´ esigne une suite index´ ee ` a partir du premier entier strictement
sup´ erieur ` a a et de terme g´ en´ eral u
n
. Dans certaines questions, l’indexation de la suite
ne sera pas pr´ ecis´ ee et la notation (u
n
) utilis´ ee.
Partie A : Quelques r´ esultats fondamentaux
Le but de cette partie est essentiellement la d´ emonstration d’in´ egalit´ es qui seront utilis´ ees
dans les parties suivantes, au service de constructions de l’exponentielle. On s’ interdit
donc tout emploi de propri´ et´ es de la fonction exponentielle exp, de la fonction logarithme
ln et des fonctions puissances dans le cas d’un exposant non rationnel.
Par contre, les propri´ et´ es des fonctions puissances ` a exposant rationnel sont suppos´ ees
connues.
A. I. L’in´ egalit´ e de Bernoulli
Il s’agit de l’in´ egalit´ e suivante :
pourtoutr´ eelastrictementsup´ erieur` a−1ettoutentiernaturelnappartenant
` a
b
, (1+a)
n
>1+na avec ´ egalit´ e si et seulement si a=0
D´ emontrer cette in´ egalit´ e de deux mani` eres diff´ erentes, par des m´ ethodes´ el´ ementaires. On´ etudiera
le cas d’´ egalit´ e.
Suggestion : Une m´ ethode possible est de poser x=1+a et d’utiliser une factorisation.
A. II. L’in´ egalit´ e de Cauchy
Il s’agit de l’in´ egalit´ e suivante :
pour tout entier naturel non nul n, pour tout n-uplet de r´ eels strictement positifs
(x
1
,··· ,x
n
),
1
n
n
X
k=1
x
k>
ˆ
n
Y
k=1
x
k
!
1
n
avec ´ egalit´ e si et seulement si x
1 =···=x
n
encore appel´ ee in´ egalit´ e de la moyenne arithm´ etique et de la moyenne g´ eom´ etrique.
1. D´ emontrer l’in´ egalit´ e dans le cas particulier n=2. On ´ etudiera le cas d’´ egalit´ e.
12. La premi` ere d´ emonstration propos´ ee du cas g´ en´ eral est due ` a Cauchy lui-mˆ eme.
2.1. Soit une partie de ∗
poss´ edant les trois propri´ et´ es suivantes :
8
>
<
>
:
i) 1∈ ii) ∀n∈ ∗
,n∈ ⇒2n∈ iii)∀n∈ ∗
,n+1∈ ⇒n∈ D´ emontrer que = ∗
Indication : on pourra commencer par d´ emontrer que, pour tout n∈ , 2
n
∈ .
2.2. En d´ eduire l’in´ egalit´ e de Cauchy et son cas d’´ egalit´ e.
Indication : pour le passage de n ` a 2n, on pourra utiliser le cas n=2 et pour le passage
de n+1 ` a n, on pourra g´ en´ eraliser l’´ egalit´ e :
a+b+
a+b
2
3
=
a+b
2
.
3. Deuxi` eme d´ emonstration : soit n un entier naturel non nul, et (x
1
,··· ,x
n
) un n-uplet de r´ eels
strictement positifs suppos´ es pas tous ´ egaux. On d´ efinit une application φ de [0,1] vers en
posant φ(t)=
n
Y
k=1
"
x
k +
t
n
n
X
h=1
(x
h−x
k
)
#
.
3.1. Justifier que, pour tout t∈[0,1], φ(t)>0.
3.2. D´ emontrer que φ est strictement croissante sur [0,1].
Indication : Utiliser

φ
0
φ
¶
0
.
3.3. En d´ eduire l’in´ egalit´ e de Cauchy et son cas d’´ egalit´ e.
4. La troisi` eme d´ emonstration est plus ´ elabor´ ee (on signale aux candidats que sa recherche n’a
aucune incidence sur la suite du probl` eme). Elle repose sur les trois id´ ees suivantes :
4.1. Si les x
k
ne sont pas tous ´ egaux, alors soient m= min
16k6n
x
k
et M = max
16k6n
x
k
. On a donc
m < M ; si dans le n-uplet (x
1
,··· ,x
n
) on remplace m et M par
m+M
2
, on obtient un
n-uplet diff´ erent dont la moyenne arithm´ etique est la mˆ eme, et la moyenne g´ eom´ etrique
est strictement plus grande.
4.2. L’in´ egalit´ e de Cauchy dans le cas g´ en´ eral se d´ eduit de l’in´ egalit´ e obtenue dans le cas
particulier o` u on suppose que les x
k
v´ erifient de plus l’´ egalit´ e :
n
X
k=1
x
k =1.
4.3. L’application ψ : (x
1
,··· ,x
n−1
) 7→
ˆ
1−
n−1
X
k=1
x
k
!
n−1
Y
k=1
x
k
poss` ede un maximum sur
l’ensemble Ω des (n−1)-uplets v´ erifiant x
1 >0,··· ,x
n−1 >0,
n−1
X
k=1
x
k <1 atteint unique-
ment en
¡
1
n
,··· ,
1
n
¢
.
D´ emontrer ces trois propri´ et´ es, sans faire appel au calcul diff´ erentiel ` a plusieurs variables.
Indication : pour la propri´ et´ e 3), on pourra commencer par d´ emontrer que le maximum de
ψ existe sur l’adh´ erence de Ω.
5. En d´ eduire l’in´ egalit´ e de Cauchy et son cas d’´ egalit´ e.
2A. III. Un calcul d’int´ egrale
Soient a et b deux nombres r´ eels tels que a<b. Soit f une application de [a,b] vers , continue par
morceaux sur [a,b]. Soit F une application de [a,b] vers . On suppose que f et F satisfont ` a la
condition suivante :
pour tout (x,y)∈[a,b]
2
, F(y)−F(x)>(y−x)f(x)
1. D´ emontrer que f est croissante sur [a,b].
2. D´ emontrer que F est convexe sur [a,b].
3. Soit n∈ ∗
. D´ emontrer que, si a=a
0 <a
1 <···<a
n =b est une subdivision de [a,b], alors :
n−1
X
k=0
(a
k+1−a
k
)f(a
k
)6F(b)−F(a)6
n−1
X
k=0
(a
k+1−a
k
)f(a
k+1
)
4. En d´ eduire que
Z
b
a
f(x)dx=F(b)−F(a).
A. IV. Continuit´ e des applications convexes
Soit f une application de vers , convexe sur .
1. D´ emontrer l’in´ egalit´ e dite des pentes : pour tous r´ eels a,b,c, si a<b<c alors :
f(b)−f(a)
b−a
6
f(c)−f(a)
c−a
6
f(c)−f(b)
c−b
2. En d´ eduire que f est continue sur .
Indication : on pourra ´ etudier les limites ` a droite et ` a gauche en x
0 arbitraire.
Partie B :
´
Etude de la fonction exponentielle
Comme application des in´ egalit´ es fondamentales de la partie A, on se propose de con-
struire ” ` a partir de rien ” la fonction exponentielle.
On s’interdit donc, dans cette partie, tout emploi de propri´ et´ es de la fonction exponen-
tielle exp, de la fonction logarithme ln, et par voie de cons´ equence des fonctions puis-
sances dans le cas d’un exposant non rationnel, ` a moins qu’elles n’aient pr´ ealablement
´ et´ e red´ emontr´ ees.
Cettepartiefaitunusageintensifdesin´ egalit´ esdelapartieA,enparticulierdel’in´ egalit´ e
de Bernoulli.
1. Soit x un nombre r´ eel fix´ e ; on note, pour tout entier n> 1, u
n
(x) =
‡
1+
x
n
·
n
, et pour tout
entier n>|x|, v
n
(x)=
‡
1−
x
n
·
−n
.
1.1. D´ emontrer que la suite
¡
u
n
(x)
¢
n>|x|
est croissante.
Suggestion : Une m´ ethode est de partir de l’´ egalit´ e
1+
n
X
k=1
‡
1+
x
n
·
=(n+1)
•
1+
x
n+1
‚
31.2. En d´ eduire que la suite
¡
v
n
(x)
¢
n>|x|
est d´ ecroissante.
1.3. D´ emontrer que les suites
¡
u
n
(x)
¢
n>|x|