Sujet du bac ES 2009: Mathématique Obligatoire

Education Nationale

Description

QCM résolutions d'équations, étude de courbe et de dérivée, arbre de probabilités et ajustement affine.
Sujet du bac 2009, Terminale ES, Antilles

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 51
• Langue: Français

Extrait

Bac ES – Antilles-Guyane – juin 2009 Exercice 1(4 points) Commun  tous les candidats PARTIE A : aucune justification nest demande Cette partie est un questionnaire  choix multiplies. Pour chacune des questions, trois rponses sont proposes.Une seulede ces rponses est exacte. Indiquer sur la copie le numro de la question et la lettre correspondant  la rponse choisie. Une rponse exacte rapporte 0,5 point. Une rponse fausse enlve 0,25 point. Labsence de rponse ne rapporte ni nenlve aucun point. Si le total des points de la partie A est ngatif, la note attribue  cette partie est ramene  zro. On notelensemble des rels. −x Soitla fonction dfinie surpar(x) = (–x+ 2)e. a.−∞ 1. La limite de la fonctionen+∞est gale  : b. 0 c.+∞ a. nadmet aucune solution dans 2. Lquation(x) = 0 : b. admet une seule solution dans c. admet deux solutions dans a.y= –3x+ 2 3. Lquation rduite de la tangente  la courbe b.y= –x+ 2 reprsentative deau point dabscisse 0 est : c.y=x+ 2 1 a. 3e –1 b. 3 4. Le minimum desurest : e 1 c. –3 e PARTIE B : la rponse devra tre justifie La fonctionest celle dfinie dans la partie A. On notesa courbe reprsentative dans un repre orthogonal. tudier la position relative de la courbeet de la droiteΔdquationy= –x+ 2 sur lintervalle ]0 ; 2[.

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Exercice 2(6 points)Commun  tous les candidats Les parties A et B de cet exercice sont indpendantes. On considre la fonctiondfinie sur ]0 ;+∞[ dont on donne la reprsentation graphique () dans le repre ci-dessous.

()

On admet que : -le point A de coordonnes (1 ; 1) appartient  () ; -la tangente (T) en A  la courbe () passe par le point de coordonnes (2 ; 0) ; -la courbe () admet une tangente horizontale au point dabscisse 2 ; -laxe des ordonnes est asymptote  la courbe () de la fonction. Partie A 1.Donner, par lecture graphique ou en utilisant les donnes de lnonc, les valeurs de(1), (1) et(2), oest la fonction drive desur ]0 ;+∞[. 2.On admet que lexpression de(x) sur ]0 ;+∞[ est :(x) =ax+b+clnx oa,betcsont des nombres rels. a.Calculer(x) en fonction dexet dea,betc. a+b= 1   a+c= –1 b.Dmontrer que les relsa,betcvrifient le systme  . c a0+ =   2 c.Dduire de la question prcdente les valeurs dea,betc, puis lexpression de(x). Partie B Dans cette partie, on admet que la fonctionreprsente ci-dessus est dfinie pour tout relx appartenant  ]0 ;+∞[ par :(x) =x– 2lnx. 1.Justifier que laxe des ordonnes est asymptote  la courbe reprsentative de. 2.a.Calculer la driveg de la fonctiongdfinie pour tout relx∈]0 ;+∞[ par : g(x) =xlnx–x. b.En dduire une primitiveFde la fonctionsur ]0 ;+∞[. c.Dterminer la valeur exacte, en units daires, de laire du domaine gris sur le  graphiqueci-dessous, dlimit par la courbe (), laxe des abscisses et les droites  dquationx= 1 etx= e.

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Exercice 3(5 points) Commun  tous les candidats Au tennis, le joueur qui « est au service » joue une premire balle. Si elle est juge « bonne », il joue lchange et peut gagner ou perdre. Si elle est juge « faute », il joue une deuxime balle. Si cette deuxime balle est juge « bonne », il joue lchange et peut gagner ou perdre. Si cette deuxime balle est juge « faute », il perd. re On dsigne par :S 1 balle de service est « bonne » » ;lvnement « la 1 e  S 2 lvnement « la 2balle de service est « bonne » » ;  Glvnement « le point est gagn par le joueur qui est au service ». Pour le joueur Naderer qui est au service, on dispose des donnes suivantes : •sa premire balle de service est juge « bonne » dans 40 % des cas ; •sa deuxime balle de service est juge « bonne » dans 95 % des cas ; •si sa premire balle de service est juge « bonne », il gagne lchange dans 80 % des cas ; •si sa deuxime balle de service est juge « bonne », il gagne lchange dans 60 % des cas. Pour tout vnementA, on noteAlvnement contraire. 1.Recopier et complter larbre suivant :

 2.Calculerp(S 1  G). 3.Montrer que la probabilit que le joueur Naderer gagne lchange est de 0,662. 4.Sachant que le joueur Naderer a gagn lchange, calculer la probabilit que sa premire balle de service ait t juge « bonne ». Le rsultat sera arrondi au millime. 5.Calculer la probabilit que le joueur Naderer gagne quatre changes conscutifs. On donnera le rsultat arrondi au millime.

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Exercice 4(5 points) Pour les candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit Daprs lINSEE, lindice du chiffre daffaires du secteur de Btiment gros œuvre (base 100 en 2000) a volu entre 2000 et 2007 de la manire suivante : Anne 20002001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Rang de lannex i , 0 1 2 3 4 5 6 7 0i7   Indicey i , 0i 7 106,9 110,8 121,3 132,5 145,5 161,8100 105,6 Partie 1 : Un ajustement affine est –il possible ?   1.Dans un repre orthogonal, reprsenter le nuage de points (x i ;y i ) 0i(units 7 graphiques : 2 cm pour 1 anne sur laxe des abscisses ; 2 cm pour 10 units dindice sur laxe des ordonnes, en graduant ce dernier  partir dey= 90). 2.Expliquer pourquoi un ajustement affine de ce nuage de points ne parait pas appropri. Partie 2 : On essaie un autre ajustement −2 1.Recopier et complter le tableau ci-dessous ; on donnera les rsultats  10. x i , 0i 1 2 3 4 5 6 77 0  z i = lny i , 0i 7 2.a. laide de la calculatrice, donner une quation de la droite dajustement dezenx  obtenuepar la mthode des moindres carrs : les coefficients seront arrondis au  centime. Bx b.En dduire une expression deyen fonction dexsous la formey= Aeo A et B  sontdes rels. 0,07x c.Dans le repre prcdent, reprsenter la fonctiondfinie par(x) = 95,6e. d. laide de ce modle, donner une estimation de lindice du chiffre daffaires du  secteurdu Btiment gros œuvre pour lanne 2009. Partie 3 : Ce nouvel ajustement permet-il de prvoir lavenir ? « Baisse des permis de construire et donc des mises en chantier, stocks de logements neufs trop importants, hausse des taux dintrts, des cots des matriaux et de la main dœuvre …  en croire le numro 1 de lassurance crdit en France, qui publiait jeudi son tude intitule «Immobilier, construction :  quand la sortie de crise ?», le BTP franais donne des signes de faiblesse et doit sattendre selon lassureur, tout dabord  une dgradation de sa rentabilit » .  la lecture de cette analyse faite en avril 2008, peut-on utiliser le modle exponentiel de la partie 2 pour pronostiquer le chiffre daffaires du secteur btiment gros œuvre en 2009 ?

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Exercice 4(5 points) Pour les candidats ayant suivi lenseignement de spcialit On considre le graphe suivant : B F

E

C A D 1.Le graphe G est-il connexe ? Expliquer la rponse. 2.Le graphe G admet-il des chanes eulriennes ? Si oui, en prciser une. 3.Justifier la non-existence dun cycle eulrien pour le graphe G. Quelle arte peut-on alors ajouter  ce graphe pour obtenir un graphe contenant un cycle eulrien ? 4.Dterminer un encadrement du nombre chromatique du graphe G. Justifier la rponse. 5.Dterminer alors ce nombre chromatique, en explicitant clairement la dmarche. 6.Dterminer la matriceMassocie  ce graphe (les sommets sont pris dans lordre alphabtique). 4 108 106 5   10 611 611 10   3 8 11 8 1111 6 7.On donneM= . 10 611 611 10   6 1111 118 8  8 45 10 6 10  Dterminer le nombre de chanes de longueur 3 partant du sommet A et aboutissant au sommet F. Citer alors toutes ces chanes.

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