Sujet du bac ES 2010: Mathématique Obligatoire

Education Nationale

Description

QCM analyse de fonction, arbre pondéré de proba, calcul de variation de pourcentage, étude de fonctions et d'air.
Sujet du bac 2010, Terminale ES, Métropole

Sujets

• bac
• sujet bac
• bac es
• sujets bac
• sujet du bac

Informations

• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 68
• Langue: Français

Extrait

Bac ES – France – juin 2010 Exercice 1(4 points) (Commun  tous les candidats) Cet exercice est un questionnaire  choix multiples (QCM). Les questions indpendantes les unes des autres. Pour chacune des questions, une seule des quatre rponses proposes est exacte. Une seule rponse par question est accepte etaucune justification nest demande. Une bonne rponse rapporte un point. Une mauvaise rponse ou labsence de rponse rapporte ni nenlve aucun point. Indiquer sur la copie le numrode la questionet la rponse choisiecorrespondante. Question 1 Le nombre –3 est solution de lquation : xlnxx •lnx= –ln 3•ln(e )= –3•–3e =•–3e = Question 2 3 1 –2x+ 3x  La limite en+∞de la fonctiondfinie sur lintervalle ];+∞([ parx) = 3 est : 2 (2x– 1) 1 •−∞•+∞•–1•– 4 Question 3 Soitla fonction dfinie et drivable sur lintervalle ]0 ;+∞[ par(x) = 3lnx– 2x+ 5. Dans le plan muni dun repre, la tangente  la courbe reprsentative de la fonctionen son point dabscisse 1 admet pour quation : •y=x+ 2•y= –x+ 4•y= 3x+ 1•y=x+ 3 Question 4 Un jeu consiste  lancer une fois un d cubique non pip dont les faces sont numrotes de 1  6. Un joueur donne 3 eurospour participer  ce jeu. Il lance le d et on lit le numro inscrit sur la face suprieure de ce d : •si le numro est 1, le joueur reoit 10 euros, •si le numro est 2 ou 4, il reoit 1 euro, •sinon, il ne reoit rien.  ce jeu, lesprance mathmatique du gain algbrique, exprime en euros, est : •1•0•–1•–2

ES-France-juin10

Page 1 sur 6

Exercice 2(5 points) (Pour les candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit) Une entreprise a quip chacun de ses employs dun seul ordinateur. Pour le suivi de ses ordinateurs, lentreprise fait appel  un mme service de maintenance informatique. Pour valuer ce service, lentreprise ralise une enqute et dispose ainsi, chaque employ, dune fiche prcisant la marque de son ordinateur et son avis sur le service de maintenance. Il y a trois marques dordinateurs Aliet, Balart et Celt. •25 % des employs ont un ordinateur Aliet, •40 % des employs ont un ordinateur Balart, •le reste des employs a un ordinateur Celt. Lenqute a fourni les rsultats suivants : •parmi les employs quips dun ordinateur Aliet, 90 % sont satisfaits du service de  maintenance, •parmi les employs quips dun ordinateur Balart, 65 % sont satisfaits du service de  maintenance, •parmi les employs quips dun ordinateur Celt, 80 % sont satisfaits du service de  maintenance. On choisit au hasard la fiche dun employ de lentreprise, chacune ayant la mme probabilit dtre choisie. On note : •Alvnement : « La fiche choisie est celle dun employ quip dun ordinateur Aliet », •Blvnement : « La fiche choisie est celle dun employ quip dun ordinateur Balart », •Clvnement : « La fiche choisie est celle dun employ quip dun ordinateur Celt », •Slvnement : « La fiche choisie est celle dun employ satisfait du service de maintenance ». 1)Construire un arbre pondr dcrivant la situation. 2)Calculer la probabilit que la fiche choisie soit celle dun employ quip dun ordinateur Aliet et satisfait du service de maintenance. 3)Dmontrer que la probabilit que la fiche choisie soit celle dun employ satisfait du service de maintenance est 0,765. 4)Sachant que la fiche choisie est celle dun employ satisfait du service de maintenance, calculer la probabilit que cet employ soit quip dun ordinateur de la marque Celt. −3 Le rsultat sera arrondi  10.

ES-France-juin10

Page 2 sur 6

Exercice 2(5 points) (Pour les candidats ayant suivi lenseignement de spcialit) Un quipementier fabrique pour une usine de lindustrie automobile deux types de siges : un modle « luxe » et un modle « confort ». Soitxle nombre, exprimen centaines, de siges « luxe » etyle nombre, exprimen centaines, de siges « confort » produits chaque mois. La fonction cot mensuel de production est la fonctionFdfinie pourxetyappartenant  lintervalle [0 ; 3] par : 2 2 F(x,y) =x– 2x+y– 4y+ 6. F(x,y) dsigne le cot mensuel de production, exprimen dizaine de milliers deuros, pourx centainesde siges « luxe » et pourycentainesde siges « confort ». 1)Au mois de janvier 2010, lquipementier a produit 120 siges « luxe » et 160 siges « confort ». Justifier que le cot de production mensuel a t de 12 000 euros. 2 22 2 2)Vrifier que,xetytant deux nombres rels,x– 2x+y– 4y+ 6 = (x– 1)+ (y+ 1– 2) En dduire que le cot de production mensuel minimal est 10 000 euros. Prciser pour quelles quantits mensuelles respectives de siges « luxe » et « confort » produites ce cot de production est obtenu. 3) partir du mois de juillet 2010, la production mensuelle prvue de siges et exactement 250. a. Justifier quey= 2,5 –x.  Dmontrerque, sous cette condition, le cot de production mensuel, exprim en 2  dizainesde milliers deuros, est gal  2x– 3x+ 2,25. 2 b. On notela fonction dfinie sur lintervalle [0 ; 2,5] par(x) = 2x– 3x+ 2,25.  Dresseren le justifiant le tableau de variation de la fonctionsur lintervalle [0 ; 2,5]. c. En dduire les quantits mensuelles respectives de siges « luxe » et « confort » que  lquipementierdoit produire  partir du mois de juillet 2010 pour minimiser le cot  mensuelde production. Prciser ce cot minimal.

ES-France-juin10

Page 3 sur 6

Exercice 3(5 points) (Commun  tous les candidats) Pourinombre entier variant de 0  8, on dfinit le tableau suivant qui donne les valeurs du SMIC horaire brut, exprim en euros, de 2001  2009 (source INSEE). On se propose den tudier lvolution : Anne 20012002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Rang de lanne :x i 1 2 3 4 5 6 7 8 0 SMIC horaire brut 6,67 6,83 7,19 7,61 8,03 8,27 8,44 8,71 8,82 (en euros),y i Dans tout lexercice les pourcentages seront arrondis  0,01 % et les valeurs du SMIC horaire brut au centime deuro. Partie A : Observation des donnes 1)Pourientier variant de 0  8, reprsenter le nuage de pointsM i (x i ;y i ) dans le plan muni dun repre orthogonal dfini de la faon suivante : •sur laxe des abscisses, on placera 0  lorigine et on choisira 1 cm pour 1 anne, •on graduera laxe des ordonnes en commenant  6 et on choisira 5 cm pour 1 euro. 2)Calculer le pourcentage daugmentation de la valeur du SMIC horaire brut entre 2001 et 2009. 3)Dmontrer quune valeur approche du pourcentage annuel moyen daugmentation de la valeur du SMIC horaire brut entre 2001 et 2005 est 4,75 %. On observe sur le graphique un changement de tendance  partir de 2005 : le pourcentage annuel moyen daugmentation de la valeur du SMIC horaire brut est alors de 2,4 % environ. En supposant que cette nouvelle tendance se poursuive, on dsire estimer la valeur du SMIC horaire brut en 2012. Dans la suite de lexercice, on ne sintresse quau sous-nuage constitu des cinq derniers points M 4 , M 5 , M 6 , M 7 et M 8 du nuage prcdent. Partie B : Modlisation de la srie statistique (x i ;y i ) 4i8 par un ajustement exponentiel En observant le pourcentage annuel moyen daugmentation de la valeur du SMIC horaire brut n entre 2005 et 2009, on estime  8,031,024la valeur, exprime en euros, du SMIC horaire brut pour lanne 2005+n,ndsignant un entier naturel. On considre que ce nouveau modle reste valable jusqu lanne 2016. 1)Calculer une estimation de la valeur du SMIC horaire brut en 2012. 2) partir de quelle anne la valeur du SMIC horaire brut dpassera-t-elle 10 euros ?

ES-France-juin10

Page 4 sur 6

Exercice 4(6 points) (Commun  tous les candidats) Lannexe 1 est  rendre avec la copie. Un nouveau modle de mini-ordinateur portable est mis sur le march. Soitxla quantit dappareils pouvant tre vendus, exprimeen milliers. La fonction doffre de cet appareil est la fonctiondfinie sur lintervalle [0 ; 35] par : 0,05x (x.) = 153 e Le nombre rel(x) dsigne le prix unitaire en euros dun appareil, propos par les fournisseurs, en fonction de la quantitx, exprime en milliers, dappareils pouvant tre vendus. La fonction de demande de cet appareil est la fonctiongdfinie sur lintervalle [0 ; 35] par : g(x) = –116 ln(x+ 1) + 504. Le nombre relg(x) dsigne le prix unitaire en euros dun appareil, accept par les consommateurs, en fonction de la quantitx, exprime en milliers, dappareils disponibles. 1)a. Dmontrer que la fonctionest strictement croissante sur lintervalle [0 ; 35]. b. Dmontrer que la fonctiongest strictement dcroissante sur lintervalle [0 ; 35].   c. Les courbes reprsentatives respectives  et g des fonctionsetg, traces dans un  repreorthogonal, sont fournies en annexe 1 rendre avec la copie.  Lireavec la prcision autorise par le graphique une valeur approche des  coordonnesde leur point dintersectionE. 2)Afin de dterminer les coordonnes du pointEde faon prcise, on est amen  rsoudre dans lintervalle [0 ; 35] lquation(x) =g(x). Pour cela on considre la fonctionhdfinie sur lintervalle [0 ; 35] parh(x) =(x) –g(x). a. Dterminer le sens de variation de la fonctionhsur lintervalle [0 ; 35].  Onpourra utiliser la question 1. b. Dmontrer que lquationh(x) = 0 admet une solution uniquex 0 dans lintervalle  [0; 35]. c.  laide de la calculatrice, dterminer larrondi dex 0 au millime.  d. On posey 0 = (x 0 ). En utilisant la question prcdente, calculer larrondi dey 0 au  centime. e. Sachant quey 0 reprsente le prix unitaire dquilibre de cet appareil, prciser ce prix   uncentime deuro prs. Quel est le nombre dappareils disponibles  ce prix ? 3)On prendra dans cette questionx 0 = 8,871 ety 0 = 238,41. a. Dterminer une primitiveFde la fonctionsur lintervalle [0 ; 35]. b. On appelle surplus des fournisseurs le nombre relSdfini par la formule : x 0  S=x 0 y 0 –(x) dx.  0  Hachurer,sur le graphique de la feuille annexe 1 rendre avec la copie, le domaine  duplan dont laire en units daire est le nombre relS.  Dterminerla valeur arrondie au millime du nombre relS.

ES-France-juin10

Page 5 sur 6

ES-France-juin10

ANNEXE 1 :  rendre avec la copie

Exercice 4 :commun  tous les candidats

Page 6 sur 6