Sujet du bac S 2010: Mathématique Obligatoire

Education Nationale

Description

Vrai/faux tirage de probabilités, équations complexes, étude d'une fonction et analyse de suites (convergence..)
Sujet du bac 2010, Terminale S, Antilles

Sujets

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Informations

• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 37
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

Baccalauréat S AntillesGuyane 18 juin 2010

E X E R C IC E 1 4points Commun à tous les candidats Pour chacune des questions suivantes,une ou deux des réponsesproposées sont cor rectes. Un point est attribué à chacune des questions. Toute réponse inexacte est pénalisée de 0,25 point. Il n’y a pas de pénalité en cas d’absence de réponse. Aucune justification n’est atten due. Si le total des points obtenus est négatif, le note attribuée à l’exercice est 0. Recopier le numéro de la question et la ou les réponses correctes (deux au maxi mum). 1.On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes. La probabilité de n’obtenir ni un as, ni un pique, est égale à :

5 2111 3 A :B :C :D : 8 3232 8 2.artes.On tire au hasard et simultanément deux cartes d’un jeu de 32 c La probabilité de n’obtenir ni un as, ni un pique, est égale à : ¡ ¢ 21 2 2 105 215 2 A :B : ¡ ¢ D :C : 32 22 248 328 2 3.On suppose que la durée d’attente à un guichet de service, exprimée en heure, suit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 1]. La probabilité que la durée d’attente d’une personne prise au hasard soit com prise entre 15 min et 20 min est :

1 11 1 A :B :C :D : 3 5 124 4.On considère 10 appareils identiques, de même garantie, fonctionnant indé pendamment les uns des autres. La probabilité pour chaque appareil de tom ber en panne durant la période de garantie est égale à 0,15. La probabilité pour qu’exactement 9 appareils soient en parfait état de marche à l’issue de la période de garantie est égale à :

−2 9 A :près0,35 à 10B :0,85

9 C :0,85×0,15

9 D :0,85×0,15×10

E X E R C IC E 2 5points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormal directO,u,vd’unité 1 cm. 1. Restitutionorganisée de connaissances ′ PourM6=Ω, on rappelle que le pointMest l’image du pointMpar la rotation rde centreΩet d’angle de mesureθsi et seulement si : ( ′ ΩM=ΩM(1) ³ ´ −→− −→−− ′ ΩM;ΩM=θà 2kπprès (k∈Z) (2)

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

′ ′ a.Soientz,zetωles affixes respectives des pointsM,MetΩ. Traduire le relations (1) et (2) en termes de modules et d’arguments. ′ b.En déduire l’expression dezen fonction dez,θetω 2.Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation :

2 z−4 3z+16=0. On donnera les solutions sous forme algébrique. p p 3.SoientAetBles points d’affixes respectivesa=2 3−2i etb=2 3+2i. a.Écrireaetbsous forme exponentielle. b.Faire une figure et placer les pointsAetB. c.Montrer que OABest un triangle équilatéral. 4.SoitCle point d’affixec= −8i etDson image par la rotation de centre O et 2π d’angle . 3 Placer les pointsCetD. p Montrer que l’affixe du pointDestd=4 3+4i. 5.Montrer queDest l’image du pointBpar une homothétie de centre O dont on déterminera le rapport. 6.Montrer que OADest un triangle rectangle.

E X E R C IC E 2 Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormal directO,u,vd’unité 1 cm.

5 points

1. Restitutionorganisée de connaissances On utilisera sans démonstration les deux propriétés suivantes : Propriété 1 :Toute similitude indirecte qui transforme un pointMd’affixez ′ ′ en un pointMd’affixezadmet une expression complexe de la forme ′ ∗ z=a z+boùa∈Cetb∈C. Propriété 2 :Soit C une point d’affixec. Pour tout point D, distinct de C, d’af fixedet pour tout point E, distinct de C, d’affixee, on a : ³ ´³ ´ −−→−→ e−c C D;C E=arg (2π). d−c Question :ientéMontrer qu’une similitude indirecte transforme un angle or en son opposé. 2.Soient les pointsCetDd’affixes respectivesc=3 etd=1−3i, etS 1 la simi litude qui à tout pointMdu plan associe le pointM 1 symétrique deMpar ³ ´ −→ rapport à l’axeO ;udes réels. a.Placer les pointsCetDpuis leurs images respectivesC 1 etD 1 parS 1 . On complètera le figure au fur et à mesure de l’exercice. b.Donner l’expression complexe deS 1 . 3.SoitS 2 la similitude directe définie par : ′ ′ – lepointC 1 et son imageCd’affixec=1+4i ; ′ ′ – lepointD 1 et son imageDd’affixed= −2+2i. ′ a.Montrer que l’expression complexe deS 2 est :z=iz+1+i. b.En déduire les éléments caractéristiques de cette similitude.

AntillesGuyane

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18 juin 2010

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

4.SoitSla similitude définie parS=S 2 ◦S 1 . Déterminer l’expression complexe deS. 5.On pourra admettre désormais queSest la similitude indirecte d’expression complexe :

′ z=iz+1+i. a.Quelle est l’image deCparS? Quelle est l’image deDparS? π i b.SoitHle point d’affixehtel que :h−c=e (d−c). 3 Montrer que le triangleC D Hest équilatéral direct. ′ ′′ ′ c.SoitHl’image deHparS. Préciser la nature du triangleC D Het ′ ′ construire le pointH(on ne demande pas de calculer l’affixehdu point ′ H).

E X E R C IC E points3 4 Commun à tous les candidats On donne la représentation graphique d’une fonctionfdéfinie et continue sur l’in tervalleI=[−3 ; 8].

y 3

2

1

4−3−2−1 −1

x 1 2 3 4 5 6 7 8

Z x On définit la fonctionFsurI, parF(x)=f(t)dt. 0 1. a.Que vautF(0) ? b.Donner le signe deF(x) : – pourx∈4] ;[0 ; – pourx∈[−0].3 ; Justifier les réponses. c.Faire figurer sur le graphique donné enANNEXEles éléments permettant de justifier les inégalités 6 6 F(4) 6 12. 2. a.Que représentefpourF? b.Déterminer le sens de variation de la fonctionFsurI. Justifier la réponse à partir d’une lecture graphique des propriétés def. 3.On dispose de deux représentations graphiques surI.

AntillesGuyane

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18 juin 2010

Baccalauréat S

Courbe A 10 8 6 4 y 2

x 4−3−2−1 12 3 4 5 6 7 8

Courbe B 10 8 6 4 y 2

A. P. M. E. P.

x 4−3−2−2 3 4 5 6 7 81 1

L’une de ces courbes peutelle représenter la fonctionF? Justifier la réponse.

E X E R C IC E 4 6points Commun à tous les candidats Partie A Soitgla fonction définie pour tout nombre réelxde l’intervalle ]0 ;+∞[ par

g(x)=x−xlnx.

1.Déterminer les limites de la fonctiongen 0 et+∞. ′ 2.Montrer quegest dérivable sur l’intervalle ]0 ;+∞[ et queg(x)= −lnx. 3.Dresser le tableau de variations de la fonctiong.

Partie B n e ∗ Soit (u n ) la suite définie pour toutn∈Nparu n =. n n 1.Conjecturer, à l’aide de la calculatrice : a.le sens de variation de la suite (u n ) ; b.la limite éventuelle de la suite (u n ). ∗ 2.Soit (v n ) la suite définie pour toutn∈Nparv n =ln(u n ). a.Montrer quev n =n−nlnn. b.En utilisant laPartie A, déterminer le sens de variation de la suite (v n ). c.En déduire le sens de variation de la suite (u n ). 3.Montrer que la suite (u n ) est bornée. 4.Montrer que la suite (u n ) est convergente et déterminer sa limite.

AntillesGuyane

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18 juin 2010

Baccalauréat S

FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie) Exercice 3 Commun à tous les candidats

y 3

2

1

A. P. M. E. P.

x −4−3−2−2 3 4 5 6 71 1

AntillesGuyane

−1

−2

5

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