I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles I Définitions I Propriétés

Description

Probabilités Table desmatières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II Le vocabulaire des événements 3 II.1 Les événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II.2 Evénéments incompatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II.3 Événements contraires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• fréquence d'apparition de l'événement ek


• expérience aléatoire


• vocabulaire des événements


• événements contraires


• contraire de l'évé- nement


• loi équirépartie

Sujets

• Expérience aléatoire

Informations

• Publié par: Ecole-pour-tous
• Nombre de lectures: 27
• Langue: Français

Extrait

Probabilités
Tabledesmatières
I Petitsrappelssurlevocabulairedesensembles 2
I.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II Levocabulairedesévénements 3
II.1 Lesévénements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.2 Evénémentsincompatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.3 Événementscontraires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III Calculdeprobabilités 4
III.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III.2 Loidesgrandsnombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III.3 Loiéquirépartie,équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
III.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
III.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III.6 Utilisationd’unarbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IV Variablealéatoire 7
IV.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
IV.2 Espérance,varianceetécart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
V Probabilitésconditionnelles,événementsindépendants 8
V.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
V.2 Conditionnementparunévénement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
V.3 Événementsindépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
V.4 Variablesaléatoiresindépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
V.5 Formuledesprobabilitéstotales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1I Petitsrappelssurlevocabulairedesensembles
I.1 Définitions
Soient A etB deuxensembles.
A∪B estlaréunionde A etdeB :c’estl’ensembledesélémentsappartenantà A ouàB (ouauxdeux).
A∩B estl’intersectionde A etdeB :c’estl’ensembledesélémentsappartenantà A etàB. A∈B selit: A est
inclusdansB ;c’estlecassitouslesélémentsde A sontdansB.
A∪B : A∩B
Remarque: A∪B=B∪A; A∩B=B∩A .
Soit E un ensemble et A un sous-ensemble (donc A∈E). on note A le complémentaire de A dans E ; A est
formédetouslesélémentsdeE quinesontpasdans A.
I.2 Propriétés
Soient A,B,C troisensembles:
• A∩A=A
• A∪A=A
• Si A∈B, A∩B=A et A∪B=B
• A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
• A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
• A∩B=A∪B
• A∪B=A∩B
Page2/10II Levocabulairedesévénements
II.1 Lesévénements
Définition
On effectue une expériencealéatoire (c’est-à-dire une expérience dont on ne peut prévoir le résultat)
conduisantàn éventualitésouissues:e ,e ,???,e ,???,e .1 2 i n
L’ensembledetoutesleséventualitésdel’expériencealéatoireestl’univers,notégénéralement
Ω={e ;e ;???;e ;???,e }.1 2 i n
Toutepartiedel’universestunévénement.
Unévénementquinecontientqu’uneseuleévéntualitéestunévénementélémentaire.
Ωestl’événementcertain;
;estl’événementimpossible.
Exemples:
• Onlanceunepiècedemonnaieetonregardelafacesupérieure.Lerésultatestalors«Pile»ou»Face«.
Onprendalorscommemodèle:Ω={P ; F}
• Onlanceunefoisundé.
L’universestΩ={1;2;3;4;5;6}.
1estuneéventualité.
Obtenirunnombrepairestl’événement:{2;4;6}.
Obtenir6estunévénementélémentaire.
• On lance deux dés rouge et vert; on note en premier le résultat du dé rouge et ensuite, le résultats du dé
vert:
Ω={(1; 1); (1; 2); (1; 3);???(1; 6); (2; 1); (2; 2)???(6; 6)}
Ωcomprend36éléments:Card(Ω)=36
• Ensupposantquele sexed’unbébésurvientauhasard,quellessontlespossibilitéspourlessexesdes en-
fantsdesfamillesdedeuxenfants:
Ω={GG ; FG ; GF ; FF}
Page3/10II.2 Evénémentsincompatibles
Définition
Deuxévénementsquin’ontaucuneéventualitécommunesontditsincompatiblesoudisjoints.
Exemple:Ontireunecarted’unjeude32cartes.
Lesévénements«tirerunroi»et«tirerunsept»sontincompatibles.
Par contre, les événements «tirer un roi»et «tirer une carte de coeur»ne sont pas incompatibles : ils ont
l’éventualité«roidecoeur»encommun.
II.3 Événementscontraires
Définition
Si A estunévénementdel’universΩ,l’événementconstituédetoutesleséventualitésdeΩquinesont
pasdans A estappelél’événementcontrairedeA,etilestnoté A.
Exemple:Quandonlanceunefoisundé,l’événement«obtenirunnombrepair»estlecontrairedel’évé-
nement«obtenirunnombreimpair».
III Calculdeprobabilités
III.1 Définition
SoitΩ={e ;e ;???;e ;???,e }l’universd’uneexpériencealéatoire.1 2 i n
Àchaqueévénementélémentaire{e },onassocieunnombreréel p de[0;1],appeléprobabilité deceti i
événementélémentaire{e },p =P=(e )telque:i i i
• 0≤p ≤1,i
• lasommedecesnombresest:p +p +???+p +???+p =11 2 i n
III.2 Loidesgrandsnombres
Onrépèteungrandnombredefois.uneexpériencealéatoireidentiqueayantn issuespossibles:
e ,e ,...e .1 2 n
On note f (k) la fréquence d’apparitionde l’événemente . On définitune loi de probabilitésurΩ : on noten k
p(k)laprobabilitédee .k
Onaunmodèlecohérentsi lim f (k)=p(k).n
n→+∞
Page4/10III.3 Loiéquirépartie,équiprobabilité
Définition
– Sitouslesévénementsélémentairese ;e ;???;e ;???;e ontlamêmeprobabilité,onditquelesévéne-1 2 i n
1
mentsélémentairessontéquiprobables.Alors:p =p =???=p = .1 2 n
n
– S’ilyaéquiprobabilité,alorspourtoutévénement A,
nombred’élémentsdeA Card(A)
p(A)= =
Nombred’élémentsdeΩ Card(Ω)
Exemples:
1. Onlanceunepièceéquilibrée.Lesévénements:tombersurpileettombersurfacesontéquiprobables;
1
ilsontchacununeprobabiliéde .
2
2. Onlanceundéàsixfaceséquilibré.Lesévénements:obtenirun1;obtenirun2;??? ;obtenirun6sont
1
équiprobables.Ilsontchacununeprobabiliéde .
6
3. Sil’onreprendl’exempledudénonpipé.Onconsidèrel’événement A :obtenirunnombrepair.
3 1
Alors A={2;4;6}.Chaqueévénementétantéquiprobable,p(A)= = .
6 2
III.4 Propriétés
PartiesdeΩ Vocabulairedesévénements Propriété
A A événementquelconque 0≤P(A)≤1
A⊂Ω
; événementimpossible P(;)=0
Ω événementcertain P(Ω)=1
A∩B=; A etB sontincompatibles P(A∪B)=P(A)+P(B)
A événementcontrairede A P(A)=1−P(A)
A,B A etB événementsquelconques P(A∪B)
=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Remarque:p(;)=0,maisp(A)=0n’impliquepasque A=;,saufpourunensemblefini.
Card(A)
Encasd’équiprobabilitéavecununiversfini,ona:p(A)= ,doncp(A)=0⇒Card(A)=0⇒A=;.
Card(Ω)
Page5/10III.5 Exemples
1. On considère un jeu de 32 cartes. A est l’événement : «tirer une carte de pique»; B est l’événement :
«tirerunvalet».
8
Ilyahuitcartesdepiquedanslejeu,donc,lesévénementsétantéquiprobables,p(A)= .
32
4
Ilyaquatrevaletsdanslejeu.Lesévénementsétantéquiprobables,p(B)= .
32
1
L’événement A∩B est:«tirerunvaletdepique».Saprobabilitéestdonc .
32
8 4 1 11
Alorsp(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩B)= + − = .
32 32 32 32
2. Danslejeudetrente-deuxcartes,l’événement:«obtenirunecartedecoeur,carreauoutrèfle»estl’évé-
nementcontrairedel’événement A :«obtenirunecartedepique».
8 32 8 24 3
Doncp(A)=1−p(A)=1− = − = = .
32 32 32 32 4
3. Onlance3foisdesuiteunepiècedemonnaieéquilibréeetonnotelafaceobtenueàchaquefois.
Ω={PPP ; FPP ; PFP ; PPF ; FFP ; FPF ; PFF ; FFF}
A={PPP;FFF}estunévénement.
Lesévénementsélémentairessont:{PPP};{FPP};{PFP}
{PPF};{FFP};{FPF};{PFF};{FFF}
SiB={PPF;PFP;FFP}alors A∩B=;ou A etB sontincompatibles
A={FPP ; PFP ; FPF ; FFF}
III.6 Utilisationd’unarbre
Exemple1:onsupposequelaprobabilitépourunefamillequelconqued’avoirunefilleestlamêmeque