Le theoreme fondamental de l'algebre rendu effectif une preuve reelle algebrique par les suites de Sturm

Charles - Franc¸Ois Sturm

Description

Le theoreme fondamental de l'algebre rendu effectif : une preuve reelle algebrique par les suites de Sturm Michael Eisermann Institut Fourier, Universite Grenoble I www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm 23 janvier 2009 Carl Friedrich Gauß (1777–1855) Augustin Louis Cauchy (1789–1857) Charles-Franc¸ois Sturm (1803–1855) Seminaire de calcul formel et complexite, Universite Rennes I

• racines complexes de polynomes complexes


• racines reelles de polynomes reels


• theoreme fondamental de l'algebre


• seminaire de calcul formel

Sujets

• Cauchy
• Théorème de d'Alembert-Gauss

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 42
• Langue: Français

Extrait

Le théorème fondamental de une preuve réelle algébrique

l’algèbre rendu effectif : par les suites de Sturm

Michael Eisermann

Institut Fourier, Université Grenoble I wwwfourier.ujfgrenoble.fr/˜eiserm

23 janvier 2009

Carl Friedrich Gauß (1777–1855) Augustin Louis Cauchy (1789–1857) CharlesFranc¸ ois Sturm (1803–1855) Séminaire de calcul formel et complexité, Université Rennes I

Plan

1

2

3

4

Le théorème fondamental de l’algèbre

Sturm 1829/1835 : racines réelles de polynômes réels

Sturm 1836 : racines complexes de polynômes complexes

Conclusions et perspectives

Plan

1

2

3

4

Le théorème fondamental de l’algèbre Le théorème et son histoire Racines réelles de polynômes réels Racines complexes de polynômes complexes

Sturm 1829/1835 : racines réelles de polynômes réels

Sturm 1836 : racines complexes de polynômes complexes

Conclusions et perspectives

Le théorème fondamental de l’algèbre

Théorème (version brève) Toutpolyn ô mecomplexededegr é nadmetnracines complexes.

Le théorème fondamental de l’algèbre

Théorème (version brève) Toutpolyn ô mecomplexededegr é nadmetnracines complexes.

Théorème (version longue) 2 SoitR le corps des nombres réels et soit C=R[i]oùi=−1.

Le théorème fondamental de l’algèbre

Théorème (version brève) Toutpolyn ô mecomplexededegr é nadmetnracines complexes.

Théorème (version longue) 2 SoitR le corps des nombres réels et soit C=R[i]oùi=−1. Alors pour tout polynôme n n−1 F=Z+c 1 Z+∙ ∙ ∙+c n−1 Z+c n à coefficients c 1 , . . . , c n−1 , c n ∈C

Le théorème fondamental de l’algèbre

Théorème (version brève) Toutpolyn ô mecomplexededegr é nadmetnracines complexes.

Théorème (version longue) 2 SoitR le corps des nombres réels et soit C=R[i]oùi=−1. Alors pour tout polynôme n n−1 F=Z+c 1 Z+∙ ∙ ∙+c n−1 Z+c n à coefficients c 1 , . . . , c n−1 , c n ∈Cil existez 1 , z 2 , . . . , z n ∈Ctels que F= (Z−z 1 )(Z−z 2 )∙ ∙ ∙(Z−z n ).

Le théorème fondamental de l’algèbre

Théorème (version brève) Toutpolyn ô mecomplexededegr é nadmetnracines complexes.

Théorème (version longue) 2 SoitR le corps des nombres réels et soit C=R[i]oùi=−1. Alors pour tout polynôme n n−1 F=Z+c 1 Z+∙ ∙ ∙+c n−1 Z+c n à coefficients c 1 , . . . , c n−1 , c n ∈Cil existez 1 , z 2 , . . . , z n ∈Ctels que F= (Z−z 1 )(Z−z 2 )∙ ∙ ∙(Z−z n ).

Questions naturelles :

Le théorème fondamental de l’algèbre

Théorème (version brève) Toutpolyn ô mecomplexededegr é nadmetnracines complexes.

Théorème (version longue) 2 SoitR le corps des nombres réels et soit C=R[i]oùi=−1. Alors pour tout polynôme n n−1 F=Z+c 1 Z+∙ ∙ ∙+c n−1 Z+c n à coefficients c 1 , . . . , c n−1 , c n ∈Cil existez 1 , z 2 , . . . , z n ∈Ctels que F= (Z−z 1 )(Z−z 2 )∙ ∙ ∙(Z−z n ).

Questions naturelles : Existetil une démonstration élémentaire ? qui capte la géométrie ?

Le théorème fondamental de l’algèbre

Théorème (version brève) Toutpolyn ô mecomplexededegr é nadmetnracines complexes.

Théorème (version longue) 2 SoitR le corps des nombres réels et soit C=R[i]oùi=−1. Alors pour tout polynôme n n−1 F=Z+c 1 Z+∙ ∙ ∙+c n−1 Z+c n à coefficients c 1 , . . . , c n−1 , c n ∈Cil existez 1 , z 2 , . . . , z n ∈Ctels que F= (Z−z 1 )(Z−z 2 )∙ ∙ ∙(Z−z n ).

Questions naturelles : Existetil une démonstration élémentaire ? qui capte la géométrie ? Peuton affaiblir l’hypothèse ? à quels corps ordonnés au lieu de R?