Overview PDE PDE ODE FD FD FD FV FV FV

Roger Peyret

Description

LogoINRIA Overview 1 PDE 1-2 PDE 2 ODE 3 FD 4 FD 5 FD 6 FV 7-8 FV 8-9 FV 10 Numerical Methods for PDE: Finite Differences and Finites Volumes B. Nkonga JAD/INRIA Lectures References: Roger Peyret (NICE ESSI : 89), Tim Warburton (Boston MIT : 03-05), Pierre Charrier (Bordeaux Matmeca 96-08) B. Nkonga Lectures References: Roger Peyret (NICE ESSI : 89), Tim Warburton (Boston MIT : 03-05), Pierre Charrier (Bordeaux Matmeca 96-08) 1 / 26

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• scalar nonlinear


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• Langue: Français

Extrait

LesalgorithmesLta´hoeirdelecamoexpl´eitnp:ud’eutsiheriolcaLessalassPLacaclaeNPLsEapssPedecuec´Rarspontieunimocises siotCrhexitomplAULCpheP3NIMU-ee´cnavae´NPladeieor´eTh45

September 24, 2007

Christophe PAUL

Complexite´avanc´ee-UMIN345 Th´eoriedelaNP-Comple´tude(2)

om-C´epldetu)(2

seaLhte´roeiedalLesalgorithmotsih’dualcaLerixilempcopeune:t´esEPlcsaRee´pscaLaclssPNPLaasequelr´esusieQuescrpnomitcudsnoinnescaraeco−NPBoLscaalssdecuitnosnoitasire´tc irhCledeiroe´hT543NIe(udetl´mpCoP-aNpmelLUoCehAPtspoe-UMnc´eeavaxit´

3

La classeNP Quelquesr´eductions La classeco−NP Bonnescaract´erisations

2

La classeP

1

Lath´eoriedelacomplexit´e:unpeud’histoire

Les algorithmes

)2

R´eductionsparcimonieuses

La classe PEspace

6

4

5

ent3onti t: Vc 3-sa aFniT,teteBsosmm i esxetmmsoe2qusi raveuqahcruop i xt ement`aNentclair cuitno’d 2 P oCsnrtpa`airrtgrunheapcnatedIenu’dsnie te i x,i i xocolostnsdiffri´ement´ere.FteTrap euqahca`,oseauclieocssna ailbxe. i B{T,F,e}stuntriangledeGaisni∀euqB{,i, i x,} O x i erbstiva:∀on

3-coloration

Montrer que3-sat6 K

Exercice :

)2(edtu´eplom-CNPladeUAPemoCLsirhhpot ivsut C angaleetdg hTe´roeiU-IM3N54avanc´eeplexit´e deleoeirlpxecamorithalgoath´mesLseLsEapec´RdecuitnolaseNPLaclassePeriolcaLssacaLP´eitnp:ud’eusthierisact´scaronneN−BPesoclcsasnaLioctdu´esruelqueQsesueinomicrps nappartioloratio3 1 c- oitasn

LstahtemogirselaLcirsponseeunimoecapsEPeitcude´RLaclionsco−NasseqleuQseuudtcrse´itex:u´eeunphid’oe´hdeircalelpmoaclaseNPLaclasstsioeraLlcsasLPt´eraracnescPBonoisnsita tse}rtnugnaiedelinGaqusii,e∀,x{B{B,T,F e´vana´cmolpxetiphePAULC t Christo ustenavieleigdagna,oocssclueseauhcqaa` }x ii , 2()uted

Exercice :Montrer que3-sat6 K 3-coloration 1 3-colorationappartientclairementa`NP 2 Constructiond’ungraphea`partird’uneinstanceIde3-sat: Vcontient 3 sommetsB,TetFainsi que 2 sommetsx i etx i pour chaque variablex i .

Observation:∀i,x i etx i sontcolori´esdiff´erementparTetF.

NPladeie´eplom-C3NIMU-eeroe´hT54

´eductioPEspaceRaLlcsaeslcsaePNedr´tiucelQuesqueinosesupsnmicr´eriractescaBonn−oPNsscecaalnoLssnoitaseLeiede´ropmelalocoritsalgLathhmescaLeriotaLPssalune:t´xiis’hudpe n:ioatrvseObctlos i noe i xti∀x,emenff´eresdiori´ potsirhCoCLUAPeh TetFtpar. (edu

Exercice :Montrer que3-sat6 K 3-coloration 1 3-colorationappartientclairement`aNP 2 Constructiond’ungraphea`partird’uneinstanceIde3-sat: Vcontient 3 sommetsB,TetFainsi que 2 sommetsx i etx i pour chaque variablex i . {B,T,F}est un triangle deGainsi que∀i,{B,x i ,x i }

)2

`achaqueclause,onassocielegadgetsuivant

eledP-aNmpCoetl´-eMUNI43T5´hoeirmplexit´eavanc´e

i son i etxori´tcolvrtabOesi∀x,oi:n ac . ` tFTe laecquha re´ffidseraptneme 5T34INUMe-´encvaoC-PNaledeiroe´h

Exercice :Montrer que3-sat6 K 3-coloration 1 3-colorationappartientclairementa`NP 2 Constructiond’ungraphea`partird’uneinstanceIde3-sat: Vcontient 3 sommetsB,TetFainsi que 2 sommetsx i etx i pour chaque variablex i . {B,T,F}est un triangle deGainsi que∀i,{B,x i ,x i }

e(2)etudmpl´ cisoegele,usasontnav ∨ 1 x( egdaiust ristophe x 2 ∨x 3 ) Chelix´taeAPLUoCpm noLscuit´rdeuqseBonno−NPssecaclapsnoitcude´RecaelQuesusieonimrcire´itasacsetcarsonsalgLemhserotie´roaLhteLaclassPLaclasePNaLlcsaesEPpsdeiecolalempt´xinu:eduepsih’riot

aimo C .el sirhhpotAUePomLCexpl´eit cuitnoudrgpaehsetclairementpolyn ute´lpmo

Gest 3-coloriable ssiIest satisfiable Siaucuntermedelaclauserec¸oitlacouleurT,alorslegraphe n’est pas 3-coloriable.

Exercice :Montrer que3-sat6 K 3-coloration 1 3-colorationappartientclairement`aNP 2 Constructiond’ungraphe`apartird’uneinstanceIde3-sat

)2(ed

3

´ceevana3N54U-IMorieTh´eNP-Cdela nosctracaestisari´ecessalcannoBPN−or´edquesonsLuctinoeicrmiuQlesuseoitcpsnRecaude´seasspPENPeclLaPaLlcsaLecaalss’histoire:unpeud´tixelpmocaledeior´ethLaeshmitorasgleL g e arhpeets-3ocolriable. 4 Laconstr lcalesuac¸erltioouacurlealT,sloriSinsuaumomedenter

elquesr´eductionpcrminoeisuseuQacsp´eeRctdunsioesaaLPNsalcEPessitnoracaesnnsari´ectssalcaLsoBPN−oceaseLtois’hudpeune:t´lcaLPssalcaLerith´eesLaithmlgorelixocpmedalroei

3

Exercice :Montrer que3-sat6 K 3-coloration 1 3-colorationappartientclairement`aNP 2 Constructiond’ungraphea`partird’uneinstanceIde3-sat

Gest 3-coloriable ssiIest satisfiable Si aucun terme de la clause recoit la couleur T, alors le graphe¸ n’est pas 3-coloriable.

e´lpmoC-)2(edut Siaumoinsuntermealedualceresioc¸actlleouT,uroral 3-coeestraph sle g ocsn 4 . aL baelolir heapgrduontiuctrloptnemerialctse. Christo ynomiale molpxetihpPeUACL-UeeN3MIav´ec´anedeiPNalhT54roe´