SUPER RIGIDITE GEOMETRIQUE ET

Description

SUPER-RIGIDITE GEOMETRIQUE ET APPLICATIONS HARMONIQUES par Pierre PANSU1,2 Resume. — Ce texte relate une tentative d'utilisation des applications harmoniques combinatoires pour prouver que des groupes ne sont pas lineaires. Abstract (Geometric superrigidity and harmonic maps) This paper accounts for an attempt to use combinatorial harmonic maps to prove nonlinearity of groups. Table des matieres 1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Superrigidite et finitude des representations. . . . . . . . . . 6 3. Applications harmoniques equivariantes. . . . . . . . . . . . . . 12 4. Applications harmoniques combinatoires . . . . . . . . . . . . . 15 5. Formule de Garland. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6. Calculs de bas de spectre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 7. Modeles de groupes aleatoires a densite . .

• triangle de meme


• reseaux


• espace metrique


• margulis


• decomposition


• representations lineaires de dimension finie


• modeles de groupes aleatoires


• irreductibles des produits de groupes


• groupe discret


• produit riemannien

Sujets

• Gromov
• Réseau
• Espace métrique
• Margulis
• Décomposition
• Groupe discret

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Extrait

´ ´ ´ SUPER-RIGIDITE GEOMETRIQUE ET APPLICATIONS HARMONIQUES

par

Pierre PANSU 1,2

R´esum´e. —Ce texte relate une tentative d’utilisation des applications harmoniques combinatoires pour prouver que des groupes ne sont pas line´aires. Abstract(Geometric superrigidity and harmonic maps) This paper accounts for an attempt to use combinatorial harmonic maps to prove nonlinearity of groups.

Tabledesmatie`res

1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.Superrigidite´etfinitudedesrepr´esentations..........6 3.Applicationsharmoniques´equivariantes..............12 4. Applications harmoniques combinatoires . . . . . . . . . . . . . 15 5. Formule de Garland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6. Calculs de bas de spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 7.Mode`lesdegroupesale´atoiresa`densite´..............51 Re´fe´rences..............................................53

Classificationmath´ematiqueparsujets(2000). —53C24 - 53C43 - 58E20 - 58E40 - 20F65 - 20F67 - 11F75. Mots clefs. —oupee,grtiqumhe´ratiuoep,ergt´digirir-pesue,uqinomrahnoitacipalp al´eatoire,espacea`courburen´egative,pointfixe.

1 ,tLha´beomraattioairries-dSeuMdaasU,yriOnaPsvuqse’drO5F-y,4091 2 CNRS, Orsay, F-91405.

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PIERRE PANSU

1. Introduction

1.1. De quoi s’agit-il ?—Le termeid´teuperrigisuaug´rpe,niD.G.ar Mostowlorsqu’ilalulacontributiondeG.A.Margulisaucongre`sde Vancouver [Ma2si´eeugnh´npomend,]ceparcederniere`enimes´nvedine en1974:lesrepre´sentationsline´airesdedimensionfinienonunitaires desr´eseauxdecertainsgroupesdeLieproviennent,parrestriction,du groupeambiant.Lasituationmode`leestcelledur´eseauSL(n,Z) du groupe de Lie SL(n,R).

Pareuqirtpuresdit´rigiom´eeg´e, on entend un ensemble de techniques permettantd’´etendrelesr´esultatsdeMargulis`adesclassespluslargesde groupesdiscrets,ete´ventuellementdepasserdesrepre´sentationsline´aires dedimensionfiniea`desactionssurdesespacesplusgeneraux. ´ ´

1.2.Lethe´ore`medesuperrigidite´deMargulis(1974).—

Th´eor`eme1. — (Margulis [Ma2]).SoientG,Hdes groupes

alge´briquessemi-simplessurdescorpslocaux,sansfacteurscompacts. On suppose queGaarnu´rgnlee>2. SoitΓdecuri´rdeeitlbuseaunr´e G.

Tout homomorphismeΓ→Hariskinre´eeZtsentnoobnodegami’lt denses’´etendenunhomomorphismeG→H.

Nousned´efinironspastouslestermes,renvoyanta`lalitte´ratureclas- sique [Bo1], [Ma3].g´Lam´eoirtemocecnemrolesqu’onvoitlesgropuse alg´ebriquesGetHmmcoesuproege´mosi’de’dseirtesm´spacquesetri. ´ Depuis E. Cartan [Caqu’il existe un dictionnaire entre les], on sait groupes de Lie semi-simples surRouCet leseusiqtr´eymsscepaes sansfacteurseuclidiens.Unevari´et´eriemannienneestsyme´triquesi pour chaque pointxmysal,´geirte´vnreesottuseelseod´esique,quire g´eod´esiquespassantparx,utsesien´t´ireaonnaciitC.derteimoe´ e e ´etenduparF.BruhatetJ.Tits[BT] au cas des corps locaux non archime´diens.Laclassedesespacessym´etriquesestremplac´eepar celle desimmeubles euclidiens dictionnaire permet de reformuler le. Ce ´ ltat de Margulis. resu

Th´eor`eme2. —SoientX,Ydseseapecssseduoseuqirte´my-im meubles euclidiens de dimension finie, sans facteurs compacts. On

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suppose queXest de rang>2. SoitΓeugnorpudesicretirr´eductibl d’isometries deXtel queVol(Γ\X)<+∞. ´ Touteactionisom´etriquere´ductivedeΓsurYlaisse stable ou bien un point, ou bien un sous-ensemble convexe deYqui est pluriisometrique a ´ ` unproduitdefacteursirr´eductiblesdeX, et sur lequel l’action se prolonge enuneactionisome´triqued’unquotientdeIsom(X).

Certainstermessontplusaise´sa`d´efinirdanscelangage.Lorsque Xriemduitnprommeupuegnorneu,naintnriec’´soctnemelaivirtno d’isome´triesdeXest ditleude´bitcrris’il ne contient aucun sous-groupe detypefiniquipre´servelad´ecompositionenproduit.Toujourslorsque Xudtiirmenainneo,npeutmodi-ce´’ntirrtnoaivimeleconteummronps fierlame´triqueenmultipliantcelledechaquefacteurparuneconstante diff´erente.Onobtientainsilesespacesrte´mosiseuqiluripa`X. Lerangde Xmaximale d’un espace euclidien qu’on peut plongerest la dimension isome´triquementdansX. Une action estvieudtcre´(M. Gromov ditsta- ble, N. Monod ditnaovne´csenetneemtnsurpoustos´le´eelis,)gd’un syste`´´teurfini,lafonctionde´placementy7→d(y, gy) surYtend me genera vers l’infini lorsqued(y, y 0 ) tend vers l’infini (y 0 est un point base quel- conque).Onpeuteˆtremoinsexigeant(cf.J.JostetS.T.Yau[JY1] et J. Jost [J2, p. 76]).

Larestrictionsurlerangapueˆtrepartiellementleve´e.

Th´eore`me3. — (Corlette [Co], Gromov-Schoen [GS]).Lesr´esultats ´ce´dentss’e´tendentaucasou`Xest un espace hyperbolique quaternion-pre ien de dimension>4ou le plan hyperbolique des octonions.

Remarque 1. —psesertnuEsecals,is’nevarehencsaptaxuaete´nedn syme´triquesderangun(lesespaceshyperboliquesr´eelsH n Ret complexes H n C) ni aux immeubles de rang un (les arbres).

C’estparticuli`erementfrappantpourleplanhyperboliquere´eletles immeublesderangun,quiposse`dentdesr´eseauxquisontdesgroupes libres.Ilexisteentoutesdimensionsdesvari´et´eshyperboliquesre´elles quiposse`dentuneinvolutionisome´triquedontlelieudespointsfixes, unehypersurfacetotalementg´eod´esique,s´eparelavarie´t´eendeux[Mi]. Lesr´eseauxdeSO(n,itosmpconioorre1)cdantsponteetasmddee´tnnu

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PIERRE PANSU

nontrivialeenproduitamalgam´eΓ=A∗ C B centralisateur de. Le C⊂SO(n,1) dans SO(n+ 1,1) contient un sous-groupe SO(2) qui ne centralise niAniB. Pourt∈SO(2) assez petit, l’homomorphisme ρ t : Γ→SO(n+ 1,e´titnedrus)q1’itlesuiAet la conjugaison part surB`dnocuaaohnuomom,msesnaiorecsprerphismetsaZedineirks SO(n,1)→SO(n+ 1,1).

1.3.Arithm´eticite´.—d’reunpno’avuo´dtiiudergulisamontr´equaM th´eor`emederigidit´elefaitquelesr´eseauxsontarithme´tiques[Ma1].

The´ore`me4. —-ieeLmiseougrsdpebieldsserre´udtc´eseauxiLesr simplesGautres quePO(n,1) = Isom(H n R)etPU(n,1) = Isom(H n C) sontseuqite´hmitartbo.e.i,(e`leemev`antprunuiodtG×L` enus au r ou Lsectmoaptcte`acommensurabilisse`rpe´telemmoc)depeougrceriatsm enti`eresdansunerepr´esentationlin´eairedeGefid´seinruQ.

Commelesgroupesalg´ebriquessurQtne´´tceotsTiJ.s(´eifissla[Ti1]), onaboutit`auneclassificationdesre´seaux`acommensurabilite´pr`es.C’est sansdoutelaconse´quencelaplusfrappanteduth´eor`emedesuperrigidit´e.

Anouveau,leth´eore`me4nes’´etendpasauxgroupesderang1restants. Lˆemesvari´ete´shyperboliquesa`sym´etrie´evoqu´eesauparagraphe1.2 es m servent`afairedesre´seauxnonarithme´tiquesentoutesdimensions[GP] : M. Gromov et I. Piatetski-Shapiro choisissent soigneusement deux telles vari´ete´s,tellesqueleshypersurfacess´eparantessoientisome´triques,et

recollentlesmoiti´esrespectives.Desr´eseauxnonarithme´tiquesdans SU(2,1) et SU(3,tow[tGerDe´.Mo.cssonrt)i1unsot´atpMos]. ´ 1.4. EspacesCAT(0). —rtCaaoan2519E.,se`Des-seuel´vqesbre pacessym´etriquesdetypenoncompactsatisfontdesin´egalit´esm´etriques la`o`ul’espaceeuclidiensatisfaitdesidentite´s.Ils’enestservipour montrerquetoutgroupecompactd’isome´triesposs`edeunpointfixe, etparconse´quent,quelessous-groupescompactsmaximauxdugroupe desisom´etriessontdeuxa`deuxconjgu´ u es. ´ D´efinition2. —SoitYEtantdonn´eunpaesm´cerietgeuqdoe´ise´.euq untriangledecˆote´sa,betcdansYemedemˆonnc,oeltiurtselgnairt ` cˆote´sa 0 =a,b 0 =betc 0 =c A un pointdans le plan euclidien.uucˆode´t

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bcorrespond un pointu 0 toe´sevicˆleqdiuib 0 snelmseˆadrtions.mespropo On noted(resp.d 0 ) la distance deu(resp.u 0 otppmoema)su.Onos´e dit queYestCAT(0)si pour tout triangle,d 0 >d.

L’observationdeCartanentraıˆnequelesespacessym´etriquesdetype ompact sont CAT(0). D ˆ , les arbres, les immeubles euclidiens non c e meme sontg´eode´siquesetCAT(0),voir[BH]. Pourunevarie´te´riemannienne,ˆetreCAT(0)este´quivalent`aˆetresim- plementconnexeeta`courburesectionnellen´tiveounulle.Unproduit ega d’espaces CAT(0) est CAT(0).

1.5.G´ene´ralisation.—Onpetuabtpsireuseprrte´moe´ge´tidigiequri le programme suivant.

Question. SoitXcem´espaunuorTdrevirte.euqnsiorsucoesitnd XuotruogtopruuqpecretΓd’iroupedisetrisom´esdeX, de covolume fini,touteactionisome´triquedeΓsurunespaceCAT(0)g´eod´esiqueet completYxfitnuo,eneibsialnpies`oseuedoinpobusu-nuosbaelests ensemble convexe deY`aueqirte´mosiirulpX.

Exemple 3. —re.SchroedsiquedeVe`emlcsanUhte´ro[Sch], faisant suite`a[GW]et[LY]eselougrffir,aqumesneirbilaseple´bdentesposs`e cetteproprie´te´desuperrigidit´ege´ome´trique,aumoinspourlesactions sur les varietes riemanniennes. ´ ´

Exemple 4. —taed.NoMondU´enrltsu[Mon],´etenduparT.Ge- lander, A. Karlsson et G.A. Margulis[GKM]p,orsapuvulegidierrit´e, unehypoth`eseden´ourlesre´seauxuniformes sous on evanescence, p i ´ductibles des produits de groupes localement compacts. rre

Voiciletyped’applicationsenvisage´es. –Expliquerenquo(selise´rxuaeUPedn,1) ne sont pas superrigides. ´ –x.aulesrdieresenepr´Eutiefininonse´esrdedsnoitatisnemide