Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

Gwénaëlle Castellan

Description

• fiche - matière potentielle : no


• cours - matière potentielle : des n épreuves

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math 314 Année 2007–2008 Fiche no 2 Ex 1. Covariances d'une loi multinomiale1 On considère une suite de n épreuves répétées indépendantes, chaque épreuve ayant k résultats possibles r1, . . . , rk. On note pi la probabilité de réalisation du résultat ri lors d'une épreuve donnée. Par exemple si on lance n fois un dé, k = 6 et pi = 1/6 pour 1 ≤ i ≤ 6. Pour 1 ≤ i ≤ k, notons Xi le nombre de réalisations du résultat ri au cours des n épreuves. 1) Expliquer sans calcul pourquoi Var(X1 + · · ·+ Xk) = 0. 2) Quelle est la loi de Xi ? Que vaut sa variance ? 3) Pour i 6= j, donner la loi et la variance de Xi + Xj. 4) En déduire Cov(Xi, Xj). 5) Contrôler ce résultat en développant Var(X1+· · ·+Xk) et en utilisant la première question. Ex 2. Soit a > 0. On rappelle que ∫ +∞ 0 t a?1e?t dt converge, et on note ?(a) cette intégrale. 1) Pour b > 0, l'intégrale ∫ +∞ 0 t a?1e?bt dt est-elle convergente ? Si oui, que vaut-elle ? 2) En déduire que fa,b(x) = b a ?(

• point d'accumulation


• a?1e?t dt


• applica- tion linéaire


• variable aléatoire


• loi du vecteur aléatoire


• mn ≤


• indépendant

Sujets

• Point d'accumulation
• Variable aléatoire
• Indépendant

Informations

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• Langue: Français

Extrait

IS Math 314

UniversitÉ U.F.R. de

des Sciences et MathÉmatiques

Technologies de Lille Pures et AppliquÉes

AnnÉe 2007–2008

o Fiche n2 1 Ex 1.Covariances d’une loi multinomiale On considÈre une suite denÉpreuves rÉpÉtÉes indÉpendantes, chaque Épreuve ayantk rÉsultats possiblesr 1 , . . . , r k . On notep i la probabilitÉ de rÉalisation du rÉsultatr i lors d’une Épreuve donnÉe. Par exemple si on lancenfois un dÉ,k= 6etp i = 1/6pour 1≤i≤6. Pour1≤i≤k, notonsX i le nombre de rÉalisations du rÉsultatr i au cours desnÉpreuves. 1) Expliquersans calcul pourquoiVar(X 1 +∙ ∙ ∙+X k ) = 0. 2) Quelleest la loi deX i ? Que vaut sa variance? 3) Pouri6=j, donner la loi et la variance deX i +X j . 4) EndÉduireCov(X i , X j ). 5) ContrÔlerce rÉsultat en dÉveloppantVar(X 1 +∙ ∙ ∙+X k )et en utilisant la premiÈre question. R +∞ a−1−t Ex 2.Soita >0. On rappelle quet edtconverge, et on noteΓ(a)cette 0 intÉgrale. R +∞ a−1−bt 1) Pourb >0, l’intÉgralet edtest-elle convergente ? Si oui, que vaut-elle ? 0 a b a −1−bx 2) EndÉduire quef a,b (x) =x e1 ]0,+∞[ (x)est une densitÉ de probabilitÉ Γ(a) surR. 3) SoitUetVdeux variables alÉatoires rÉelles indÉpendantes, de densitÉs respec- tivesf a,b etf c,b . DÉterminer la loi deU+V. Soit maintenantX 1 , . . . , X n nvariables alÉatoires indÉpendantes, de mme loi normale centrÉe rÉduite (n >1). 2 4) DÉterminerune densitÉ deX, pouri∈ {1, . . . , n}. En dÉduireΓ(1/2). i 2 2 +∙ ∙ ∙+X. La loi deZs’appelle loi du 5) DÉterminerune densitÉ deZ n :=X 1 n n 2 khi-deux ÀndegrÉs de libertÉ, et est notÉeχ(n). 6) QuevautE(Z n )? 2 Ex 3.Soit(X, Y)un vecteur alÉatoire deRde densitÉ de probabilitÉ   2 2 f(x, y) =Cexp−x+xy−y /2. 1) DÉterminerla loi du vecteur alÉatoire(X, Y−X), et en dÉduire la loi de la 2 2 variable alÉatoireX+ (Y−X)(au passage on prÉcisera la constanteC). 1 Il n’est pas nÉcessaire de connatre la loi multinomiale pour pouvoir faire cet exercice.