Baccalauréat S Asie juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Asie 21 juin 2010\ EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats Cet exercice est un QCM qui comporte 8 questions, numérotées de 1 à 8. À chaque question, une seule des trois réponses notée a, b ou c est exacte. On demande au candidat d'indiquer sur sa copie, pour chaque question, quelle est la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou une absence de réponse n'en- lèvent pas de point. Dans l'espace rapporté à un repère or- thonormal ( O, ?? ı , ?? ? , ?? k ) , on considère les points : A(1, 0, 0), B(1, 1, 0), C(1, 2, 0), D(1, 0, 1), E(1, 1, 1), F(1, 2, 1), G(0, 0, 1), H(0, 1, 1), I(0, 2, 1), J(O, 1, 0), K(0, 2, 0) comme indiqués sur la figure ci -contre : A O B J C K F I E H D G x y z 1.

• barycentre du système de points


• équipe d'archéologie pré- ventive


• triangle cha en le triangle ahb


• probabilité égale


• repère orthonormal direct

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2010
• Nombre de lectures: 17

Extrait

[BaccalauréatSAsie21juin2010\
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
CetexerciceestunQCMquicomporte8questions,numérotéesde1à8.Àchaquequestion,
uneseuledestroisréponsesnotéea,boucestexacte.Ondemandeaucandidatd’indiquer
sur sa copie, pour chaque question, quelle est la bonne réponse. Aucune justification n’est
demandée.
Uneréponseexacterapporte0,5point.Uneréponsefausseouuneabsencederéponsen’en-
lèventpasdepoint.
z
Dans l’espace rapporté à un repère or-? ?→− →− →−
thonormal O, ı ,  , k , on considère G H I
lespoints:A(1,0,0),B(1,1,0),C(1,2,0),
D F
D(1, 0, 1), E(1, 1, 1), F(1, 2, 1), G(0, 0, 1), E
yJO KH(0, 1, 1), I(0, 2, 1), J(O, 1, 0), K(0, 2, 0)
commeindiquéssurlafigureci-contre:
A B C
x
1. Question1:LetriangleGBIest:
Réponsea:isocèle. Réponseb:équilatéral. Réponsec:rectangle.
2. Question2:Lebarycentredusystèmedepointspondérés{(O, 2), (A,-1), (C, 1)}est:
Réponsea:lepointK. Réponseb:lepointI. Réponsec:lepointJ.
−→ −→
3. Question3:LeproduitscalaireAH?FC estégalà:
Réponsea:1. Réponseb:−1. Réponsec:2.
4. Question4:LespointsB,C,I,H:
Réponsea : sont non co-Réponseb : forment unRéponsec : forment un
planaires. rectangle. carré.
5. Question5:Unereprésentationparamétriquedeparamètret deladroite(KE)est:
Réponsea Réponseb Réponsec  
x = t x = 3+4t x = 1−t  
y = 2+t y = t y = 1+t. . .
  
z = t z = 4t z = 1−t
6. Question6:Uneéquationcartésienneduplan(GBK)est:
Réponsea:2x+2y−z−2=0.Réponseb: x+y−3=0. Réponsec:x+y+2z=2.BaccalauréatS A.P.M.E.P.
7. Question7:LadistancedupointCauplan(ADH)est:
p 1
Réponsea: 2. Réponseb:2. Réponsec: .
2
8. Question8:LevolumedutétraèdreHJKBestégalà:
1 1 1
Réponsea: . Réponseb: . Réponsec: .
2 6 3
EXERCICE 2 5points
Réservéauxcandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
? ?→− →−
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v . L’unité gra-
π
phiqueest1cm.Onnoteilenombrecomplexedemodule1etd’argument .
2
OnconsidèrelespointsA,B,CetPd’affixesrespectives:
p p
a=−2, b=2−2i 3, c=3+3i 3 et p=10.
PARTIEAÉtudedelaconfiguration
1. Constructiondelafigure.
? ?→− →−
a. PlacerlespointsAetPdanslerepère O, u , v .
b. Déterminerlesmodulesdesnombrescomplexesb etc.
c. UtiliserlescerclesdecentreOetderayonsrespectifs4et6pourconstruireles
pointsBetC.
2. DémontrerqueletriangleBCPestéquilatéral.
π
3. Onnoter larotationdecentreAetd’angle .A
3
p
a. Vérifierquel’imageQdupointCparr apouraffixe:q=−4+4i 3.A
b. Vérifierl’égalité:q=−2b.Quepeut-onendéduirepourlespointsB,OetQ?
4. SoitRlesymétriquedeCparrapportàO.
a. Démontrerquelesdroites(AP),(BQ)et(CR)sontconcourantesenO.
b. Établirque:AP=BQ=CR.
PARTIEB
Onnote f l’application qui,àtoutpoint M duplan,associeleréel f(M)définipar:
f(M)=MA+MB+MC.
1. Calculer f(O).
2. Soient M unpointquelconqueetN sonimageparlarotationr .A
Démontrerque:MA=MN puisqueMC=NQ.
3. Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud’initiatives,même
infructueuses,serapriseencomptedansl’évaluation.
Enutilisantl’inégalitétriangulaire,démontrerquepourtoutpointM duplan,
f(M)>12.
Asie 2 21juin2010BaccalauréatS A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 5points
Réservéauxcandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
? ?→− →−
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct A; u , v . L’unité gra-
phiqueest1cm.
π
Onnoteilenombrecomplexedemodule1etd’argument .
2
OnconsidèrelespointsB,CetHd’affixesrespectives:
b=5i, c=10 et h=2+4i.
Construireunefigurequel’oncompléteraaufuretàmesuredesquestions.
1. ÉtudedelapositiondupointH
a. DémontrerquelepointHappartientàladroite(BC).
? ?h −−→ −−→ π
b. Calculer ,etendéduireque HC,HA =− [2π].
h−c 2
2. Étuded’unepremièresimilitude
BH BA AH
a. Calculerlesrapports: , et .
AH AC CH
b. Démontrerqu’ilexisteunesimilitudedirecteS quitransformeletriangleCHA1
enletriangleAHB.
c. Déterminer l’écriture complexe de cette similitude S ainsi que ses éléments1
caractéristiques.
3. Étuded’unesecondesimilitude
Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud’initiatives,même
infructueuses,serapriseencomptedansl’évaluation
′ ′On note S la similitude qui à tout point M d’affixe z associe le point M d’affixe z2
telleque:
′
z =(−1−2i)z+10.
Démontrer que S est composée d’une symétrie orthogonale d’axe (Δ), et d’une si-2
militudedirectedontlecentreΩappartientà(Δ).Préciser(Δ).
4. Étuded’unecomposée
a. Calculerlerapportdelasimilitude composéeS ◦S .2 1
b. EndéduirelerapportentrelesairesdestrianglesCHAetBAC.
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
Avantledébutdestravauxdeconstructiond’uneautoroute,uneéquiped’archéologiepré-
ventive procèdeàdessondagessuccessifs endespoints régulièrement espacés surleter-
rain.
Lorsquelen-ièmesondagedonnelieuàladécouvertedevestiges, ilestditpositif.
L’évènement : «le n-ième sondage est positif» est noté V , on note p la probabilité den n
l’évènementV .n
L’expérienceacquiseaucoursdecetyped’investigation permetdeprévoirque:
• siunsondageestpositif, lesuivantauneprobabilitéégaleà0,6d’êtreaussipositif;
• siunsondageestnégatif,lesuivantauneprobabilitéégaleà0,9d’êtreaussinégatif.
Onsupposequelepremiersondageestpositif,c’est-à-dire:p =1.1
1. Calculerlesprobabilitésdesévènements suivants:
Asie 3 21juin2010BaccalauréatS A.P.M.E.P.
e ea. A:«les2 et3 sondagessontpositifs»;
e eb. B:«les2 et3 sondagessontnégatifs».
e2. Calculerlaprobabilitép pourquele3 sondagesoitpositif.3
3. n désigneunentiernaturelsupérieurouégalà2.
Recopieretcompléterl’arbreci-dessousenfonctiondesdonnéesdel’énoncé:
Vn+1
pn
Vn+1
Vn+1
1−pn
Vn+1
4. Pourtoutentiernatureln nonnul,établirque:p =0,5p +0,1.n+1 n
5. Onnoteu lasuitedéfinie,pourtoutentiernatureln nonnulpar:u =p −0,2.n n
a. Démontrerqueu estunesuitegéométrique,enpréciserlepremiertermeetla
raison.
b. Exprimer p enfonctionden.n
c. Calculerlalimite,quandn tendvers+∞,delaprobabilitép .n
EXERCICE 4 4points
Communàtouslescandidats
L’objectifdel’exerciceestl’étuded’unefonctionetd’unesuiteliéeàcettefonction
PARTIEA
Onnote f lafonctiondéfiniesurl’intervalle ]0; +∞[par:
11
xf(x)= e .
2x
? ?→− →−
OnnoteC lacourbereprésentativedelafonction f dansunrepèreorthonormal O, ı ,  .
L’unitégraphiqueest1cm.
1. Étudedeslimites
a. Déterminerlalimitedelafonction f quand x tendvers0.
b. Déterminerlalimitedelafonction f quand x tendvers+∞.
c. Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux résultats, pour la courbe
C ?
2. Étudedesvariationsdelafonction f
a. Démontrerque,lafonctiondérivéedelafonction f s’exprime,pourtoutréelx
strictementpositif,par:
1 1′ xf (x)=− e (2x+1).
4x
′b. Déterminerlesignede f etendéduireletableaudevariationde f surl’inter-
valle]0; +∞[.
Asie 4 21juin2010
bbbbbbBaccalauréatS A.P.M.E.P.
c. Démontrerquel’équation f(x)=2auneuniquesolutionnotéeαappartenant
àl’intervalle]0;+∞[etdonnerlavaleurapprochéedeαarrondieaucentième.
? ?→− →−
3. TracerlacourbeC danslerepèreorthonormal O, ı ,  .
PARTIEBÉtuded’unesuited’intégrales
Pourtoutentiernatureln>2onconsidèrel’intégrale I définiepar:n
Z2 1 1
xI = e dx.n nx1
1. Calculer I .2
2. Unerelationderécurrence
a. Démontrer,àl’aided’une intégration parparties,que pourtoutentier naturel
n>2:
p
e
I =e− +(1−n)I .n+1 nn−12
b. Calculer I .3
3. ÉtudedelalimitedelasuitedetermegénéralIn
a. Établirquepourtoutnombreréelx appartenantàl’intervalle [1;2],ona:
1 1 e
x06 e 6 .
n nx x
b. En déduire un encadrement de I puis étudier la limite éventuelle de la suiten
(I ).n
Asie 5 21juin2010