Chapitre I Les fonctions Limite d'une fonction en l'infini a Limites réelles en l'infini Définition Soient f une fonction réelle et intervalle On note alors Remarques Graphiquement cette propriété se traduit par le fait que la courbe représentative de f se rapproche On dit que la droite d'équation est Les définitions de cette section sont analogues pour les limites en en remplaçant pour assez grand

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Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Chapitre 1 I – Les fonctions 1) Limite d'une fonction en l'infini a) Limites réelles en l'infini. Définition : Soient f une fonction réelle et intervalle ………………………………. On note alors ……………………………. Remarques : • Graphiquement, cette propriété se traduit par le fait que la courbe représentative de f se « rapproche …………………………………………………………………. On dit que la droite d'équation ………………….. est ………………………………………………………………….. • Les définitions de cette section sont analogues pour les limites en ∞, en remplaçant « pour assez grand ………………………… » Exemples : Citer des fonctions admettant des limites réelles en l'infini. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. Théorème : Si une fonction a pour limite L en Pour une démonstration analogue, voir le II b) Limites infinies en l'infini Définition : Soit f une fonction réelle. On dit que de la forme ;∞ (resp ………………….) ……………………………………………………………………………………………………………………. Définition : Si une fonction f admet une limite infinie en l'infini, elle peut asymptote ………………………. en l'infini. La courbe d'une fonction f admet une asymptote …………………. d'équation ………………….. en ………… si…………………………………………………………. LES LIMITES l un nombre réel. On dit que f a pour limite l contient toutes les valeurs de pour » de ………………… » par « …………... ∞, alors L est………………………….. – 1). f a pour limite ∞ (resp ∞) en contient toutes les valeurs de …………………………………… éventuellement Terminale S l en ∞, si tout ………………………….

• limite ∞


• limite en l'infini


• limites


• droite d'équation ………………


• asymptote

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• Première
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• Limites
• Asymptote

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Chapitre 1 LES LIMITES Terminale S I – Les fonctions 1) Limite d’une fonction en l’infini a) Limites réelles en l’infini. Définition :Soientfunefonctionréelletlun nombre réel. On dit quefapourlim telen∞, si tout intervalle…………………………… .lcontient toutes les valeurs depour …………………………. Onnotealors……………………………. Remarques : •Graphiquement,cettepropriétésetra uitparlefaitquela courbe représentative defse « rapproc e » de ………………… ……………………………………… ………………………. Onditqueladroited’équation…………………..est ……………………………………… ……………………….. •Lesdéfinitionsdecettesectionsontanaloguespourleslimites en∞, en remplaçant « pourassezpar « …………...ran » ………………………… » Exemples :Citerdesfonctionsadmett ntdeslimitesréellesenl’infini. ……………………………………… …………………………………………… …………………………. ……………………………………… …………………………………………… …………………………. ……………………………………… …………………………………………… …………………………. Théorème :Si une fonctionapourl miteLen∞, alorsLest………………… …….. ourunedémonstrationanalogue,voileII– 1). b) Limites infinies en l’infini Définition :Soitfunefonctionréelle.nditquefa pour limite∞(resp∞) en∞si tout intervalle ouvert de la forme ; ∞ (resp………………….)contienttouteslesvaleursde……… ………………………… ……………………………………… …………………………………………… ………………………….

Définition :Si une fonctionfadmetu elimiteinfinieenl’infini,ellepeutéventuel ementadmettre une asymptote……………………….enl’infini. La courbe d’une fonctionfadmetunesymptote………………….d’équation… ……………..en………… si………………………………………………………….

Exemples :a)Citerdesfonctionsadm ttantdeslimitesinfiniesenl’infini. ……………………………………… …………………………………………… …………………………. ……………………………………… …………………………………………… …………………………. ……………………………………… …………………………………………… ………………………….  )Montrerquelacourbedelafonctiof:1   2  définie sur 0; ∞ ad etuneasymptoteen∞.   ……………………………………… …………………………………………… …………………………. ……………………………………… …………………………………………… …………………………. ……………………………………… …………………………………………… …………………………. Remarque importante :L’étude dusig edeladifférence      indiqulaposition relativede la courbeC arrapportàladroited’équa iony=……….

La courbeC est au- …………… ………de l’asymptote

La courbeC est au- l’asy

…………..……..de ptote

2 2x−3x+5 Exemple) :On considère la fonctionf éfiniesur  2par :f(x) = x−2 a)Démontrezqueladroite(d)d’équat ony=2x+1estasymptoteobliqueàlacou be C représentative def dans un repère choisi. b) Etudiez la position de C  arrapport(d).

2) Limite d’une fonction en un nomb Définition :Dire quea pour limit signifie que tout intervalle ouvert de la contient toutes les valeurs de ………… ……………………………………… ……………………………………… Silim ∞(ou Propriété :     ……………….. est ………………… ……………………………………… ………………………………………

Exemples :Citer des fonctions admettant des limites infinies en un nombre réel. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. Définition :Soitlun réel. Dire queadmetlpour limite au voisinage deasignifie que tout intervalle ouvert centré enlcontient aussi ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………….   Exemple :Soitf la fonction définie sur 1; ∞ par .  Déterminer la limite def lorsquetend vers 0. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. Remarque :Il existe des cas importants où les limites à gauche et à droite d’un réelasont différentes. Exemples :……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….

3) Règles opératoires et théorèmes sur les limites Dans ce qui suitfetgsont deux fonctions réelles,letl’sont deux réels etadésigne un nombre réel ou!∞. a) Somme de deux fonctions Si limf(x) = → α L L ∞ - L + ∞∞ + x et lim g(x) = L’ + ∞ - ∞ + ∞ - ∞ - ∞ x→ α alors lim (f+ g)(x) = x→ α b) Produit de deux fonctions Si limf(x) = L L≠+ ∞ ou - ∞0 0 x→ α et lim g(x) = ∞ ou - ∞ + ∞ ou - ∞ x→ α L’ + +∞ ou - ∞ alors lim (f× g)(x) = x→ α c) Quotient de deux fonctions Si limf(x) = L L≠0 L ±∞ 0 ±∞ x→ α et lim g(x) = L ‘≠0 0 ±∞ L’ 0 ±∞ x→ α f x ) Alors lim = x→ α g ( x ) Exemple : 1 Déterminez la limite de la fonction g définie sur ]0 ; + ∞[ par : g(x) = 1+x )

a) en 0 b) en + ∞ ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 4) Composition de deux fonctions Soit"  # $ la composée defet deg, en supposant qu’elle existe bien. Dans la propriété qui suit,a,betldésignent des nombres réels ou!∞. lim  m Propriété :Si   etli % #  & , alors ………………………………….  Exemples :Soitfla fonction définie pour tout réel par   '1  .   Déterminer la limite defen∞. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….

5) Limites et ordre Théorème (des gendarmes) :f,gethsont 3 fonctions définies sur J  ; ∞ etlest un réel. Sipour toutde J, ( # ( "etsiet"ont la même limitelen∞, alors………………………… Démonstration du théorème des gendarmes. Soit I un intervalle ouvert centré enl. On doit montrer que I contient tous les réels#pourassez grand. l   & Par hypothèse,im ) , donc I contient ……………………………………………………………. Plus précisément, il existe un réel A tel que ………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. Remarque :Le théorème des gendarmes est encore valable si l’on remplace∞* ; par*   ∞; et la limite&en∞par la limite&en∞. Il est également valable si l’on remplace* ; ∞par* ; et la limite&en∞par la limite&en+(où + , *).  - Exemple :Soitf la fonction définie surparsin     .  Déterminer la limite defen 0 par valeurs positives. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. Théorème :fetgsont deux fonctions définies sur J  ; ∞ etlest un réel.  | lim #  0 Sipour tout de J,   &| ( # etsi ) , alors………………………………………… Théorème :fetgsont deux fonctions définies sur J ∞ ; . 1)Sipour toutde J, 3 #etsi ∞ lim # , alors…………………………………………… ) 2)Sipour toutde J, ( #etsi………………………., alors…………………………………………… Exemple :Déterminer la limite en∞de la fonction définie par     cos en utilisant l’une de ces règles. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 6) Méthodes de calculs de limites indéterminées a) Factorisation forcée Dans le cas du calcul d’une limite enl’infini, on peut avoir recours à unefactorisation forcée. On factorise de manière artificielle le terme présentant une indétermination, ou bien le numérateur et le dénominateur dans le cas d’une fraction, par son terme …………………………… On fait ainsi apparaître des termes dont la limite sera nulle, ce qui simplifiera le calcul et permettra de lever l’indétermination. 6  7  Exemples :Déterminerlimet lim 8  4 97 ) ) ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….

Remarque :Cetteméthodeestparticul èreutiledanslecasdesfonctionspolynômeourationnelles. On en tire la propriété suivante : Propriété :La limite en∞(ou…… …)d’unefonctionpolynôme(ou……… …………..)estlamême quelalimitedesonterme………………………………………(oudu………… ………………………… ……………………………………… …………………………………. @ ? 7 Exemple :Utilisercettepropriétépourdéterminerm li ) 6 . A 7 ……………………………………… …………………………………………… …………………………. ……………………………………… …………………………………………… …………………………. b)Utilisationdelaquantitéconjugu e Ilarriveparfoisd’obteniruneformein éterminéelorsdelarecherched’unelimitenunréela. On peut alors, danscertainscas,utiliserlaméthodedlaquantitéconjuguée. √?7 Exemple :Déterminerlalimitelorsquetend vers 2 de la fonction définie sur \  par   . 7 ……………………………………… …………………………………………… …………………………. ……………………………………… …………………………………………… …………………………. ……………………………………… …………………………………………… …………………………. c) Utilisation du nombre dérivé Rappel :SoitfunefonctiondéfiniesurunintervalleIetaun réel de I. =C7= On dit quefestdérivableenasilaqu ntitéadmetunelimitelorsque………………… C On note …………… cette limite. =7  < On a également    lim  7 DEF  - Exemple :Déterminerlalimiteen0delafonctionfdéfinie surpar   .  ……………………………………… …………………………………………… …………………………. ……………………………………… …………………………………………… …………………………. ……………………………………… …………………………………………… …………………………. II – Les suites 1) Suites convergentes >  Définition :Dire qu’un réel L estlimi ed’unesuite G signifie quetoutinterval eouvertde centre L contient…………………………………………………………………………………………………………... Remarque :On dit aussi que la suite  G  ………………………………….. Cettedéfinitiontraduitl’accumulationdestermes> G autour del.  Onécrit…………………….etonditue> G est ……………….de limitel.

Exemples :Citerdesexemplesdesuitesconvergentesdontvousconnaissezlalimit ……………………………………… …………………………………………… ……………………………………… ……………………………………………

. …………………………... …………………………...

• > |>  Propriétés :suite La G converge vers 0 ssi la suite | G ……………………………………….. • >  >  I La suite G converge vers L ssi la suite  G ……………………………………………………  - L 2  Exemples :Pour toutJ , K, on définit G  √G ……………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………... >  L Théorème (opérations et limites) :Soit  G et G  deux suites définies surKde limites respectives L et L’. Alors, • L >  la suite G G …………………………………………………. >  •pour tout réelM, la suite M G …………………………………….. • > N L  la suite G G …………………………………………………… Q R •siIO P 0, la suite …………………………………………………. S R >  >  Théorème :Soit G une suite de réels. Si G converge vers L, alors L estUNIQUE. Démonstration :  Théorème :Si > G est une suite de réels positifs à partir d’un certain rang et de limite L, alors L est ……………………………………………………………………………………………………………… Idée de la démonstration :démonstration parl’absurde > Corollaires :•Si G  est une suite de réels négatifs à partir d’un certain rang et de limite L, alors L est …………………………………………………………………………………………………………… •  Si> G  est une suite de réels convergeant vers L et majorée à partir d’un certain rang par M, alors……………  •Si > G est une suite de réels convergeant vers L et minorée à partir d’un certain rang par m, alors…………… • >   Si G etL G  sont deux suites convergeant respectivement vers L et L’ et vérifiant à partir d’un certain rang ( L > G G , alors…………………………………………………………… Démonstration d’un point :

Exemples :  J T 0 >  •Pour tout , on pose G  G  G G  •Pour toutJ , K, on définit> etL GG  G  G Théorème des gendarmes : On considère 3 suites (u n ) , (v n ) et (w n )tellesqueu n ≤ …….≤w n  àpartird’uncertainrang. SIlessuites(…….)et(………)conve genttouteslesdeuxverslemêmeréelL,al rslasuite(…….)est convergente et converge vers ……….. sinn Exemple :Onconsidèrelasuitedéfiniparu n n= pour ≥1. n Montrer que (u n ) est convergente vers ……………………………………… …………………………………………… …………………………... ……………………………………… …………………………………………… …………………………... ……………………………………… …………………………………………… …………………………... ……………………………………… …………………………………………… …………………………... ……………………………………… …………………………………………… …………………………... Théorème :lest un réel. |>  &| ( L im L  0 Si, pour toutnsupérieuràuncertainr ngm, G G etsil G) G ,a ors……………………… 2) Suites divergentes a) Définition Définition :Dire qu’une suite> aourlimite∞signifieque……………………………………………… G ……………………………………… …………………………………………… ………………………….. > On dit également que la suite G  div rge………………………………. >finissentpardépasser…………… …………………………. Cettedéfinitiontraduitl’idéequelest rmes G ……………………………………… …………………………………………… …………………………. On écrit …………………….

Exemples :Citerdessuitesquiontpourlimite∞. ……………………………………… …………………………………………… ……………………………………… ……………………………………………

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