Corrigé du baccalauréat S Pondichéry avril

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007\ EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats 1. a. Les vecteurs ???AB et ???AC ont pour coordonnées ??AB (?2 ; 0 ; ?2) et ???AC (1 ; ?4 ; ?1). Ils ne sont manifestement pas colinéaires. Conclusion : les trois points A, B et C définissent un plan. b. A ?P ?? 2?3+2?2?6+4 = 0 est vrai ; B ?P ?? 2?1+2?2?4+4 = 0 est vrai ; C ?P ?? 2?4+ (?2)?2?5+4 = 0 est vrai. Le plan P est donc bien le plan (ABC). 2. a. D'après 1., ???AB ·???AC = (?2)?1+0?(?4)+(?2)?(?1)= 0. Les vecteurs ???AB et ???AC sont donc orthogonaux, les droites (AB) et (AC) perpendiculaires. Conclusion : le triangle ABC est rectangle en A. b. Le vecteur ??n (a ; b ; c) est un vecteur normal au plan d'équation ax+by+cz = d = 0. Ici le vecteur??n (2 ; 1 ; ?2), vecteur normal au plan P est donc un vecteur directeur de la droite (∆). Si M ? (∆) alors????OM =???n .

• ·· ·


• ?p ??


• triangle rectangle


• vecteur ???ab


• yk ?


• gravité du triangle abc


• ??


• affixe


• points commun

Sujets

• Triangle rectangle
• Affixe

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 avril 2007
• Nombre de lectures: 27
• Langue: Français

Extrait

[CorrigédubaccalauréatSPondichéry12avril2007\
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
?! ?! ?!
1. a. LesvecteursAB etAC ontpourcoordonnéesAB(?2; 0;?2)et
?!
AC(1; ?4; ?1). Ilsnesont manifestement pascolinéaires. Conclusion :
lestroispointsA,BetCdéfinissentunplan.
b. A2P () 2?3?2?2?6?4?0estvrai;
B2P () 2?1?2?2?4?4?0estvrai;
C2P () 2?4?(?2)?2?5?4?0estvrai.
LeplanP estdoncbienleplan(ABC).
?! ?! ?!
2. a. D’après1.,AB?AC ?(?2)?1?0?(?4)?(?2)?(?1)?0.LesvecteursAB
??!
et AC sont doncorthogonaux, les droites (AB)et (AC)perpendiculaires.
Conclusion:letriangleABCestrectangleenA.
?!
b. Levecteur n (a ; b ; c)estunvecteurnormalaupland’équation
?!
ax?by?cz?d?0.Icilevecteurn (2; 1;?2),vecteurnormalauplanP
??! ?!
estdoncunvecteurdirecteurdeladroite(Δ).SiM2(Δ)alorsOM ?λn .
Cetteégalitévectoriellesetraduitparlesystème:
8
x ? 2λ<
y ? λ , λ2R.
:
z ? ?2λ
c. Puisque (KO) ?P, (KO)?Δ. Le point K est commun à (Δ) et àP.
En utilisant la question précédente, on a 2x ?y ?2z ?4? 0 ()K K K
4
2?λ?λ?2?(?2λ)?4?0 () 9λ?4?0 () λ?? .
9? ?
8 4 8
Conclusion:lescoordonnéesdeKsontdonc ? ;? ; .
9 9 9
? ? ? ? ? ?2 2 28 8 8 64 16 64 144 162DoncOK ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .Conclu-
9 9 9 81 81 81 81 9
4
sion:OK ? .
3
2d. Onprendpourbase(ABC)etlahauteurestdonc[OK].D’après1.,AB ?
p p
24?4?8,doncAB?2 2;AC ?1?16?1?18,doncAC?3 2.L’airedup p
AB?AC 2 2?3 2
trianglerectangleABCest: ? ?6.
2 2
46?6?OK 83
DoncV(OABC)? ? ? .
3 3 3
3. a. LebarycentreGexistecarlasommedescoefficients3?1?1?1 estnon
??! ?! ?! ?! ?!
nulle.Ilesttelque3GO ?GA?GB ?GC ?0 .
b. I centre de gravité du triangle ABC est l’isobarycentre du système de
pointspondérés {(A,1),(B,1),(C,1)}.
D’après l’associativité du barycentre, G est le barycentre (plus précise-
mentl’isobarycentre)dusystèmedepointspondérés{(O,3),(I,3)}.Gest
donclemilieude[OI],doncappartientàladroite(OI).
? ??! 1 ?! ?! ??!
c. On sait que OI ? OA?OB ?OC . Les coordonnées de I sont donc
3? ? ? ?
8 2 15 4 1 5
; ; .CellesdeG: ; ; .
3 3 3 3 3 2
LadistancedeGauplanP estdonnéepar
? ?? ? 8 1? ? ? ?? ?52x ?y ?2z ?4 2G G G 3 3d(G,P)? p ? ? .
2 2 2 3 32 ?1 ?(?2)BaccalauréatS
???! ??! ??! ??! ???! ??!
4. En utilisant la relation de Chasles 3MO ?MA ?MB ?MC ?3MG ?3GO ?
???! ??! ???! ??! ???! ??! ???!
MG ?GA ?MG ?GB ?MG ?GC ?6MG,pardéfinitiondubarycentre.
? ? ? ???! ??! ??! ??! ??! 5? ? ? ?
Onadonc?3MO ?MA ?MB ?MC??5. () ?6MG??5 () GM? .
6
5
L’ensembleΓestdonclaspèredecentreGetderayon .
6
2 4 5
D’après la question 3 c, la distance de G au planP est égale à ? ? . Le
3 6 6
planP etlaspèreΓsontdoncsécants:l’intersection estuncercle.
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
0z ?ω
1. Questiondecours:ilsuffitdemontrerquelecomplexe apourmodule
z?ω
1etaunargumentégalàθ à2πprès.
0 02. a. D’aprèslerésultatprécédentsiM (z )estl’imagedeM(z)parlarotation
π0 i
3R onaalors:z ?(2?2i)?e [z?(2?2i)] ()? !p
1 30z ? ?i [z?(2?2i)]?2?2i ()
2 2
? ! ? !p p
p p1 3 1 30 0z ? ?i z?(1?i 3)(1?i)?2?2i () z ? ?i z?1? 3?
2 2 2 2
? p ?
i 1? 3 quiestl’écriturecomplexedeR.
b. Enappliquant cetterelationàl’affixedeI,onobtient:
? p ? ? p ?1 i
z ? 3? 3 ? 3? 3 .A
2 2
2 2 2 2c. OnaIB ?j1?ij ?2;demêmeIO ?j1?ij ?2.
D’après la définition de la rotation R, le triangle BIA est isocèle d’angle
πausommetdemesure :c’estdoncuntriangleéquilatéral.3p
DoncIB=AB=IA=IO= 2.
EnparticulierlespointslespointsO,AetBsontéquidistantsdeI.Ilssontp
surlecercledecentreIetderayon 2.
0?(2?2i)
Ona1?i? ,c’est-à-direqueIest lemilieu dudiamètre[OB].
2
LetriangleOABestdoncinscritdanslecercleprécédent:ilestdoncrec-
tangleenA.
? ??! ?! π π πParcomplément àπ,ontrouveque OA, OB ?π? ? ? .
2 3 6
? ??! ?! πd. Ona u , OB ?arg(z )? .I 4
? ? ? ? ? ??! ?! ?! ?! ?! ?!
EnappliquantlarelationdeChasles: u , OA ? u , OB ? OA, OB ?
π π π
? ? .
4 6 12
?!03. a. A ?T(A).L’affixeduvecteurIO est?1?i.Onadonc
? p ? ? p ? ? p ? ? p ?1 1 i
z 0? 3? 3 ?i 3? 3 ?1?i? 1? 3 ? 1? 3 .A
2 2 2
??!?! 0 0b. On a par définition de la translation IO ?AA ()(OIAA est un paral-
0lélogramme; de plus d’après 2 c AI = IO; La quadrilatère OIAA est un
parallélogramme ayantdeuxcôtésconsécutifs demêmelongueur:c’est
? ??! ?! 2π
doncunlosange(maispasuncarrécar IO, IA ? .)
3
? ? ? ???! ?! π ?! ?! π0c. Onsaitque OA , OI ? et OA, OI ? ;enappliquantlarelationde
3 6? ? ? ? ? ???! ??! π π π?! ?! ?! ?!0 0Chaslesonobtient u , OA ? u , OA ? OA , OA ? ? ?? .
12 6 12
Pondichéry 2 12avril2007BaccalauréatS
B
I
A
O
0A
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
1. Voirlecours
p p p
2. a. Triangle(OAG):onaOA=2, OG 9?1? 10, AG? 2.
p p
TriangleOEF:onaOE? 2, OF? 5,EF?1.
p p
pOA 2 OG 10 AG 2
Onremarqueque ?p ? ? p ? ? ? 2.
OE OF EF 12 5
Conclusion:LestrianglesOAGetOEFsontdoncsemblables.
b. S’ilexisteunesimilitude indirecteS transformantOAGenOEF,sonécri-
0tureestdelaforme:z ?az?b,aveca2C, b2C.Onadonc
8
b ? 08 8 >>S(O)?O 0 ? a?0?b< < < 1
a ? (1?i)S(G)?F () 1?i ? a?2?b () 2: : > 2?i>S(A)?E 2?i ? a?(3?i)?b : a ?
3?i
(2?i)(3?i) 5?5i 1
Ora? ? ? (1?i).
(3?i)(3?i) 10 2
? ?10L’écriturecomplexedeS estdonc:z ? 1?iz .
2
1
0c. L’écriturecomplexedeh est:z ?p z.
2
p20 0L’affixedeA estdonc p ? 2.LemilieuIde[EA ]apouraffixe
2
p
1? 2 1
? i.
2 2
??!1 ?! 0L’équation deladroite(OI)estdonc y?? p ?x.CalculonsOI?EA ?
1? 2
p
?p ?1? 2 1 1 1
? 2?1 ? ?(?1)? ? ?0.
2 2 2 2
Eestl’imagedeAparl’homothétieh suiviedelasymétrieσ.? !p
3 20DemêmeG(3?i),doncG p ?i .
22
? !p p
3 2 2 10LemilieuJde[FG ]apouraffixe ?1?i ? .
4 4 2
Pondichéry 3 12avril2007
bbbbbBaccalauréatS
? !p p p p
? p ?2 1 2 1 1 2 3 2
On a ? 1? 2 ? ? ? ? ?1? . Donc le point J
4 2 4 2 2 2 4
appartientbienàladroite(OI).
? ! ? ! ? !p p p p
??!?! 1? 2 3 2 1 2 3 2 30De même OI ?FG ? ? ?2 ? ? ?1 ? ? ?
2 2 2 2 4 2
p
p 2 1 01? 2? ? ?0. F est donc l’image de G par la symétrieσ et F est
4 2
l’imagedeGparl’homothétieh suivie delasymétrieσ.
EnfinOestl’imagedeOparl’homothétieh suiviedelasymétrieσ.
Conclusion:d’aprèslaquestion1,onaS?σ?h.
FE G
G’I
A’ A
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
1. Lenumérateurde f estlacomposéed’unefonctionaffineetdelafonctionln.
Elle estdoncdérivablepour x??3.Ledénominateur estunefonctionaffine.
f est donc dérivable comme quotient de fonctions dérivables, le dénomina-
teurnes’annulantpassur[0;?1[.
1?ln(x?3)0 2Oncalcule f (x)? .Comme(x?3) >9?0,ladérivéeestdusigne
2(x?3)
de1?ln(x?3).
Or1?ln(x?3)?0 () lne?ln(x?3)?() e?x?3 () x?e?3?0.
On ax>0 () x?3>3?e)x?3?e () ln(x?3)?lne () ln(x?3)?
1 () 0?1?ln(x?3).
0Conclusion : sur [0 ; ?1[, f (x)?0 et la fonction est décroissante sur cet in-
tervalle.
ln3 lnu
Ona f(0)? etenposantu?x?3, lim f(x)? lim ?0.
x!?1 u!?13 u
D’oùletableaudevariationsde f :
x 0 ?1
0 ?f
ln3
3
f(x)
0
2. a. Sin6x6n?1alorspardécroissancedelafonctionsur f sur[0;?1[, f(n?
1)6 f(x)6 f(n).
b. Enintégrantden àn?1lesfonctionsprécédentesonobtientl’encadre-
ment:
Pourtoutentiernatureln,
Pondichéry 4 12avril2007
bbbbbbbBaccalauréatS
Z Z Zn?1 n?1 n?1
f(n?1)dx6 f(x)dx6 f(n)dx ou
n n n
f(n?1)6u 6 f(n).n
c. Enappliquant le théorème des gendarmes,u qui est encadrépar deuxn
nombresquiontpourlimite0apourlimite0.
3. a. La fonction définie par x7!u(x)?ln(x?3) est dérivable sur [0 ; ?1[,
2ainsi que la fonction définie paru7!u . Parcomposition, la fonctionF
estdérivablesur[0;?1[.
1 ln(x?3)0 0Sur cet intervalle, F (x)?2u?u ?2?ln(x?3)? ? 2 ?
x?3 x?3
2f(x).
b. D’aprèslaquestion précédente,pourtoutentiernatureln :
? ?Z nn F(x) 1 1n
I ? f(x)dx? ? [F(x)] ? [F(n)?F(0)]?n 02 2 20 0
2 2[ln(n?3) ?[ln3]
I ? .n
2
Z Z1 2
4. Pour tout entier n, S ?u ?u ????u? ? f(x)dx? f(x)dx?????n 0 1 n?1
0 1Z Zn n
f(x)dx ? f(x)dx par application de la relation de Chasles. Finale-
n?1 0
2 2[ln(n?3) ?[ln3]
ment:S ?I ? .n n
2
2Comme lim (n?3)??1, lim ln(n?3)??1, lim [ln(n?3)] ??1et
n!?1 n!?1 n!?1
lim S ??1.n
n!?1
Lasuite(S )estdivergente.n
EXERCICE 4 6points
Communàtouslescandidats
1. LavariablealéatoireX suituneloibinomialedeparamètresn?50etp?0,1.? ?50 k 50?kPour06k650, P(X?k)? 0,1 ?0,9 .k
50– P(A)?1?P(X ?0)?1?(0,9) ?0,9948?0,995aumillième.
50 49 50?49– P(B)?P(X ?0)?P(X?l)?P(X ?2)?0,9 ?50?0,1?0,9 ? ?
2
2 480,1 ?0,9 ?0,111729?0,112 aumillième.
– P(C)?1?P(B)