Relations d'ordre Vocabulaire

Description

Relations d'ordre. Vocabulaire 17 decembre 2010 1. Definition. Exemples Definition 1 Soit E un ensemble non vide. Une relation binaire R sur E est un sous-ensemble G de E?E. On note xRy si (x, y) ? G. Le sous-ensemble G est parfois appele graphe. Cette terminologie de graphe est source de confusion : on evitera de l'employer et on la reservera aux fonctions ou applications. Exemple : le graphe d'une application de E dans E est une relation binaire sur E. Nous concernant, nous nous interessons a des relations binaires particulieres : les relations d'ordre. Definition 2 Soit E un ensemble non vide. Une relation binaire R sur E est une relation d'ordre sur E si elle verifie : 1. ?x ? E, xRx (reflexivite) 2. ?(x, y) ? E2, (xRy et yRx) ? x = y (antisymetrie) 3. ?(x, y, z) ? E3, (xRy et yRz) ? xRz (transitivite) On dit que le couple (E,R) est un ensemble ordonne. S'il n'y pas de confusion possible, on dit que E est ordonne (sous-entendu par la relation d'ordre R). Remarque : Il est d'usage de noter une relation d'ordre ≤ au lieu de R.

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Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 décembre 2010
• Nombre de lectures: 62
• Langue: Français

Extrait

Relations d’ordre. Vocabulaire

17d´ecembre2010

1.D´efinition.Exemples D´efinition1SoitEun ensemble non vide. Unerelation binaireRsurEest un sous-ensembleGdeE×E. On notexRysi(x, y)∈G. Le sous-ensembleGartpisfo´lepeasepgraphe. Cette terminologie degrapheterealnose´revretevideraeml’oyplraauxfonctionsecruostse´eonn:iousnfcode ou applications. Exemple :le graphe d’une application deEdansEest une relation binaire surE. Nousconcernant,nousnousinte´ressonsa`desrelationsbinairesparticulie`res:lesrelationsd’ordre.

D´efinition2SoitEun ensemble non vide. Une relation binaireRsurEest unerelation d’ordresurEsi elleve´rifie: 1.∀x∈E, xRxe´)(r´eflexivit 2 2.∀(x, y)∈E ,(xRyetyRx)⇒x=yysitte´m)eiran( 3 3.∀(x, y, z)∈E ,(xRyetyRz)⇒xRznsit(tra)e´tivi

On dit que le couple (E,R) est unoedrno´nesnmelbe. S’il n’y pas de confusion possible, on dit queEest ordonn´e(sous-entenduparlarelationd’ordreR). Remarque :Il est d’usage de noter une relation d’ordre≤au lieu deRlarge´ottuua.Onprendragardem fait que≤nts:uivalesssembseneuolrllpetieuabehdrord’ontilaeralengise´dN,Z,QetR.

De´finition3SoitEun ensemble non vide. Une relation d’ordre≤esttotalesi

2 ∀(x, y)∈E , x≤youy≤x.

On dit que le couple(E,≤)nn´eordomenttale.bmesoteltsenenu

Une relation d’ordre qui n’est pas totale estpartielle. Nousreviendronsdefa¸conplusd´etaille´esurlarelationd’ordrehabituellepourl’ensembleR.Avant cela, donnons quelques exemples de relations d’ordre partiel et total. Exemple : 1. L’ensembleNnemelatotelbmesnnetuesleelsueudre.onn´torditno’droedaleralmuni 2. LesanneauxZetQisindsumusrellueonesestdraletalednoidro’entordonn´es.Ainneesbmeltstolame 1 4 ≤onerifiereuisilut.´velruoPnte:ortampatlacopoirenrpiepme´´tl’adavecit´eibiltl-ialumnoteidit 3 5 plication. 3. LecorpsRrdton´onalotenemiA.eisndreusueltiond’orsnmelbteelseutenaleraledinume≤πpuisque 2≤e <3≤πefiiraitl(pai`ereentv´eredeeE(e) = 2, celle deπifierv´eE(π) = 3). 4. SoitEun ensemble non vide. La relation d’inclusion⊂dansErsurer´de’odnidtifionaetruelnP(E). Enge´ne´ral,ils’agitd’unordrepartiel.(Q.A quelle condition surEest-elle totale?)

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