Systemes lineaires Ce qu'il faut savoir

Description

Systemes lineaires. Ce qu'il faut savoir 6 mai 2010 Un systeme lineaire1 de m equations a n inconnues (x1, · · · , xn) est un systeme d'equations de la forme : ? ??????? ??????? a1,1 x1 + · · ·+ a1,j xj + · · ·+ a1,n xn = b1 ... ... ai,1 x1 + · · ·+ ai,j xj + · · ·+ ai,n xn = bi ... ... am,1 x1 + · · ·+ am,j xj + · · ·+ am,n xn = bm (1) ou ai,j ? K pour 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n ; bi ? K pour 1 ≤ i ≤ m. Il s'agit de decrire l'ensemble S des solutions dans Kn d'un systeme lineaire de la forme (1). I Systemes equivalents Un systeme lineaire de p equations a n inconnues (x1, · · · , xn) ? ??????? ??????? c1,1 x1 + · · ·+ c1,j xj + · · ·+ c1,n xn = d1 ... ... ci,1 x1 + · · ·+ ci,j xj + · · ·+ ci,n xn = di ... ... cp,1 x1 + · · ·+ cp,j xj + · · ·+ cp,n xn = dp (2) est equivalent au systeme lineaire (1

• espaces vectoriels de dimension finie


• dimension


• espaces vectoriels


• systeme lineaire


• rang du systeme lineaire


• lineaire associee


• pivot de gauss au systeme

Sujets

• Dimensión
• Espace vectoriel
• Système linéaire
• maths
• cours

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 mai 2010
• Nombre de lectures: 40
• Langue: Français

Extrait

Syst`emeslin´eaires.Cequ’ilfautsavoir

6mai2010

1 Unsyste`melin´eairedem´eqaons`uatininconnues (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n :lefaroemes)t`ysnstuqe´’demedsnoitau  a 1,1 x 1 +∙ ∙ ∙+a 1,j x j +∙ ∙ ∙+a 1,n x n =b 1   . . a i,1 x 1 +∙ ∙ ∙+a i,j x j +∙ ∙ ∙+a i,n x n =b i (1) ..   a m,1 x 1 +∙ ∙ ∙+a m,j x j +∙ ∙ ∙+a m,n x n =b m ou`a i,j ∈Kpour 1≤i≤met 1≤j≤n;b i ∈Kpour 1≤i≤m.

n Ils’agitded´ecrirel’ensembleSdes solutions dansKsnu’dofmredal.(e)1emelyst`airein´e

ISyste ` mese ´ quivalents

Unsyste`meline´airedep´qeauitons`aninconnues (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )  c 1,1 x 1 +∙ ∙ ∙+c 1,j x j +∙ ∙ ∙+c 1,n x n =d 1   . . c i,1 x 1 +∙ ∙ ∙+c i,j x j +∙ ∙ ∙+c i,n x n =d i (2) . .   c p,1 x 1 +∙ ∙ ∙+c p,j x j +∙ ∙ ∙+c p,n x n =d p n estnet´equivalai´e(1reil)sns’elbmesedeulosnoitsdsnaasusy`tmeleniKse´t(e)2`adegalS. L’undesobjectifsestdetrouverunsyst`eme´equivalent`a(1)plussimple`ar´esoudre.C’estlecasd’un syst`emeline´aireheec´´ennlotse`nuys´naeemilmmenincoenirtobtorrevsuoolsulpsn.Nviuqnelate´irheecnnlo´e´e a`(1)a`l’aidedelam´ethodedupivot de Gausss:vantssiuiotnelpsseruoseperodth´eemttecede´tidilavaL. •aceremplRduonnsnceaulnairleinaonntnpualralumtlpie´iaerneemt`inel’undysnsuqe´oita-ialeme` syst`emeline´aire´equivalent; •yst`’unsiondquatneuliaernie´melembconetuanutjoiaeriae´nilnosianiedastuer´sqeauitonsemRe`-ie´emcalpalre donneunsyst`emeline´aire´equivalent. Ledernierpointrevienta`remplaceruncertainnombredefoislai-`eme´equationenluiajoutantα−fois une autree´quation. 3 Exemple :DansR,e`emlsnilseystssreai´e   x+y+z=−1 (3) x−y+ 2z(4)= 1  et   2x+ 2y+ 2z=−2 (5) 2x+ 3z(6)= 0  sonte´quivalents.Eneffet: 1 Enabr´eg´e.syst`emeline´airem×n.

1