ACCALAUREAT GENERAL Session 2004 MATHEMATIQUES Série S ENSEIGNEMENT de SPECIALITE - Session 2004

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Niveau: Secondaire, Lycée

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Session 2004 BACCALAUREAT GENERAL Session 2004 MATHEMATIQUES Série S ENSEIGNEMENT de SPECIALITE Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 9 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Du papier millimétré est mis à la disposition du candidat. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 7 pages numérotées de 1 à 7. 1

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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Nombre de pages : 7
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BACCALAUREAT GENERAL
Session 2004
MATHEMATIQUES
Série S
Session 2004
ENSEIGNEMENT de SPECIALITE
Durée de l'épreuve : 4 heures
Coefficient : 9
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Du papier millimétré est mis à la disposition du candidat.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 7 pages numérotées de 1 à 7.
1
EXERCICE 1 (4 points )
Commun à tous les candidats
On considère la fonctionfdéfinie sur l'intervalle[0; +[par
Son tableau de variations est le suivant :
x
f(x)
0 1
2 2 1x f(x) = 1x e.
1
0
+1
Sa courbe représentativeCet son asymptoteΔ, d'équationy= 1, sont tracées en annexe, à rendre avec la copie.
A - Lecture graphique
1)kest un nombre réel donné. En utilisant la représentation graphique, préciser en fonction dekle nombre de solutions dans l'intervalle[0; +[de l'équationf(x) =k.
1 2)nétant un entier naturel non nul, déterminer les valeurs denpour lesquelles l'équationf(x) = n admet deux solutions distinctes.
B - Définition et étude de deux suites
1 1)Soitnun entier supérieur ou égal à2. Montrer que l'équationf(x) =admet deux solutions n unetvnrespectivement comprises dans les intervalles[0; 1]et[1; +[.
2)les réelsSur la feuille en annexe, construire sur l'axe des abscisses unetvnpournappartenant à l'ensemble{2; 3; 4}.
3)
Déterminer le sens de variation des suites(un)et(vn).
4)Montrer que la suite(un)est convergente et déterminer sa limite. Procéder de même pour la suite (vn). En déduire que les suites(un)et(vn)sont adjacentes.
2
EXERCICE 2 (5 points )
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat : p1 « soitpun nombre premier etaun entier naturel premier avecp; alorsaest divisible parp».
1)
Soitpun nombre premier impair. k a)Montrer qu'il existe un entier naturelk, non nul, tel que21 [p]. k b)Soitkun entier naturel non nul tel que21 [p]et soitnun entier naturel. n Montrer que sikdivisen, alors21 [p]. b c)Soitbtel que21 [p],bétant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété. n Montrer, en utilisant la division euclidienne denparb, que si21 [p], alorsbdivisen.
q 2)Soitqun nombre premier impair et le nombreA= 21. On prend pourpun facteur premier deA. q a)Justifier que :21 [p]. b)Montrer quepest impair. b c)Soitbtel que21 [p],bétant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété. Montrer en utilisant1)quebdiviseq. En déduire queb=q. d)Montrer queqdivisep1, puis montrer quep1 [q].
17 3)SoitA1= 21. Voici la liste des nombres premiers inférieurs à400et qui sont de la forme 34m+ 1, avecmentier non nul :103,137,239,307. En déduire queA1est premier.
3
EXERCICE 3 (5 points )
Commun à tous les candidats
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève un demi-point ; l'absence de ré-ponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
Première partie
Pour réaliser des étiquettes de publipostage, une entreprise utilise deux banques de données : B1, contenant6000adresses, dont120sont erronées et5880sont exactes, B2, contenant4000adresses, dont200sont erronées et3800sont exactes,
1)On prélève au hasard, avec remise,10étiquettes parmi les6000réalisées à l'aide deB1. La probabilité qu'exactement trois de ces étiquettes comport ent une adresse erronée est :     120 5880 + 3 3 7 A: B: 6000 120 10            3 7 3 7 10 120 5880 10 3 7 C:× ×D:× × 3 6000 6000 3 120 5880
2)Parmi les10000étiquettes, on en choisit une au hasard. Sachant que l'etiqu ette comporte une adresse exacte, la probabilité qu'elle ait été réalisée à l' aide deB1est :
A: 0,98
0,4×0,95 B: 0,6×0,98 + 0,6×0,02
C: 0,6×0,98
Deuxième partie
D:
0,6×0,98 0,6×0,98 + 0,4×0,95
La durée de vie, exprimée en heures, d'un robot jusqu'à ce que survienne la première panne est modélisée par une loi de probabilitépde durée de vie sans vieillissement définie sur l'intervalle [0; +[(loi exponentielle de paramètreλ= 0,0005). Ainsi la probabilité que le robot tombe en panne avant l'instanttest : Z t λx p([0;t[) =λe dx. 0
1)
La probabilité qu'un robot ait une durée de vie supérieure à2500heures est :
2500 A:e 2000
5 B:e 4
2500 C: 1e 2000
4
2000 D:e 2500
2)
La durée de vie moyenne d'un robot ménager est donnée par la fo rmule : Z t λx E= limλxe dx. t+0 Z t λx a)L'intégraleλxe dxest égale à : 0
2 t λt A:λ e 2
λt e1 λt B:te+ λ λ
λtλt C:λteλeλ
b)La durée de vie moyenne des robots, exprimée en heures, est :
A: 3500
B: 2000
C: 2531,24
5
D: 3000
λt e λt D:teλ
EXERCICE 4 (6 points )
Commun à tous les candidats
On désigne parfune fonction dérivable surRet parfsa fonction dérivée. Ces fonctions vérifient les propositions suivantes : 2 2 (1) pour tout nombre réelx,[f(x)][f(x)] = 1, (2)f(0) = 1, (3) la fonctionfest dérivable surR.
1)
a)Démontrer que pour tout réelx,f(x)6= 0. b)Calculerf(0).
2)En dérivant chaque membre de l'égalité de la proposition(1), démontrer que : ′′ ′′ (4) pour tout nombre réelx,f(x) =f(x), oùfdésigne la fonction dérivée seconde de la fonctionf.
3)
4)
′ ′ On pose :u=f+fetv=ff. a)Calculeru(0)etv(0). ′ ′ b)Démontrer queu=uetv=v. c)En déduire les fonctionsuetv. xx ee d)En déduire que, pour tout réelx,f(x) =. 2
a)Etudier les limites defen+et en−∞. b)Dresser le tableau de variations de la fonctionf.
5) a)Soitmun nombre réel. Démontrer que l'équationf(x) =ma une unique solutionαdansR. b)Déterminer cette solution lorsquem= 3(on en donnera la valeur exacte puis une valeur 2 approchée décimale à10près).
6
ANNEXE DE L'EXERCICE 1
A compléter et à rendre avec la copie
7
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