Baccalaureat 2000 mathematiques sciences economiques et sociales recueil d'annales

[BaccalauréatES2000\ L’intégraledeseptembre1999 àjuin2000 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Antilles-Guyaneseptembre1999 ..................... 3 Franceseptembre1999 ............................... 6 Polynésieseptembre1999 ...........................10 Sportifsdehaut-niveauoctobre1999 ................13 AmériqueduNordjuin2000 .........................17 Antilles-Guyanejuin2000 ........................... 20 Asiejuin2000 ........................................23 Centresétrangersjuin2000 ..........................26 Francejuin2000 .....................................30 LaRéunionjuin2000 ................................33 Libanjuin2000 .......................................37 Polynésiejuin2000 .................................. 412[BaccalauréatESAntilles–Guyaneseptembre1999\ EXERCICE 1 5points Communàtouslescandidats Effectuerlescalculsàl’aidedelacalculatrice.Aucundétailn’estdemandé. LetableausuivantdonnelePNBainsiquelenombred’hôpitauxpour1milliond’ha- bitantsdansquelquespayseuropéens. Pays A B C D E F G H PNB, x, en euro 5 100 7 800 11 200 15 800 20 100 26 230 28 910 31 910 parhabitant Nombre y d’hô- 620 1 080 1 550 2 100 3 000 3 800 4 200 4 400 pitaux par mil- liond’habitants 1. Représenterlenuagedepointsassociéàlasérie(x, y). Unités : en abscisse : 1 cm pour 1 000 euros, en ordonnée : 1 cm pour 200 hôpitaux. OnprendrapouroriginelepointM (5000; 600).0 OnappelleGlepointmoyendecenuage. 2. a. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre x et y (donner la −2valeurdécimalearrondieà10 près). On admet qu’un ajustement affine par la méthode des moindres carrés estjustifié. b. DonneruneéquationdeladroiteDderégressionde y enx. c. TracerDdanslerepèreprécédent(question1.). d. Calculer les coordonnées de G et vérifier graphiquement que G appar- tientàD. 3. UnpaysaunPNBde23 400euros.Quelleestimationpeut-onfairedunombre d’hôpitauxdanscepays? EXERCICE 2 5points (obligatoire) Un lycée propose trois options facultatives : arts plastiques, histoire des arts, mu- sique.Unélèvenepeutchoisirqu’uneseuledecestroisoptions. Legroupedesélèves ayantfait l’un deceschoix àlarentrée1997 sedécompose de lafaçonsuivante:35%enartsplastiques,45%enhistoiredesarts,20%enmusique. À la rentrée 1998, 60% des élèves en artsplastiques, 70% en histoire des arts, 80% enmusique,conserventleuroption. Des animateurs, ne connaissant pas les élèves, organisent une réunion du groupe desélèvesinscritsen1997dansunedesoptions. Onnoteainsilesévènementssuivants: A«L’élèveestinscritenartsplastiquesàlarentrée1997». H«L’élèveestinscritenhistoiredesartsàlarentrée1997». M«L’élèveestinscritenmusiqueàlarentrée1997». C«L’élèveaconservésonoptionàlarentrée1998». 1. Décrirelasituationàl’aided’unarbrederépartition. 2. Onadmetquel’animateur choisitauhasardunélève.BaccalauréatES L’intégrale2000ES a. Calculer laprobabilitédel’évènement «ilétaitinscritenartsplastiques en1997etaconservécetenseignementen1998». b. Montrerquelaprobabilitédel’évènementCestégaleà0,613 5. 3. Undesanimateurssouhaiteconnaîtrelesmotivationsdesélèvesquin’ontpas conservéleuroptionen1998. Ildemandeàcesélèvesdeleverlamainetilenappelleunauhasard. Calculer la probabilité de l’évènement «cet élève était inscrit en histoire de artsen1997». EXERCICE 2 5points (spécialité) LesquestionsIetIIsontindépendantes. I.25élèvesd’uneclassedesecondesontadmisenpremière.Ilsserépartissentdela façonsuivante: – 10ensérieL; – 9ensérieES; – 6ensérieS. Onchoisitauhasardtroisélèvesdecetteclassedesecondequisontadmisenclasse depremière. Calculerlaprobabilitédel’évènement :«LestroisélèvessontadmisensérieES». II.Dansl’établissement,sur300élèvesdesecondeadmisenpremière,onalarépar- titionsuivante: – 75élèvesensérieL; – 120élèvesensérieES; – 105élèvesensérieS. 1. ParmilesélèvesadmisensérieL,60%sontdesfilles.Demême,55%desadmis ensérieESet40%desadmisensérieSsontdesfilles. On choisit au hasard un élève admis en classe de première. Onnote ainsi les évènements suivants: – L:«L’élèveestadmisensérieL»; – E:«L’élèveestadmisensérieES»; – S:«UnélèveestadmisensérieS»; – F:«L’élèveestunefille». a. Quelle est la probabilité de l’évènement suivant : «L’élève est une fille admiseensérieES»? b. Calculerlaprobabilitédel’évènement F. 2. Onprendauhasardledossierd’undesélèvesadmisenpremière.Aprèsutili- sation,onleremetaveclesautres.Oneffectue,autotal,cinqfoiscetteopéra- tion. Calculer la probabilité de l’évènement : «Trois dossiers exactement sont des dossiersdefilles». PROBLÈME 10points L’objetdeceproblèmeestl’étuded’unefonction. Onconsidèrelafonction f définiesurI=]−∞;+1[par: ln(1−x) f(x)= +x+1. 1−x On désigne parC la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère³ ´ →− →− orthonormal O, ı ,  ,unitégraphique:2cm. Antilles-Guyane 4 septembre1999BaccalauréatES L’intégrale2000ES PartieA-Étuded’unefonctionauxiliaire Soitg lafonctiondéfiniesurIpar 2g(x)=x −2x+ln(1−x). 1. Étudierlavariationdeg surI(onnedemandepaslecalculdeslimites). 2. Calculer g(0). Étudierlesignedeg(x)sur]-∞;+1[. PartieB-Étudedelafonction f 1. a. Calculerlalimitede f en−∞. ln(1−x) Onadmettralerésultatsuivant:lalimitede quand x tendvers 1−x −∞vautzéro. b. Calculerlalimitede f en+1etinterprétergraphiquementlerésultat. ′2. Onadmetqueladérivée f delafonction f vérifiel’égalitéci-dessous: g(x)′f (x)= . 2(1−x) Endéduirelesvariationsde f. Dresserletableaudesvariationsde f surI. 3. SoitladroiteDd’équation y=x+1. a. DéterminerlapositiondeC parrapportàDsuivantlesvaleursdex. b. MontrerqueDestasymptoteàC auvoisinagede-∞. 4. Tracer la courbeC avec ses asymptotes dans le repère orthonormal défini dansl’introduction.(Unitégraphique:2cm.) PartieC-Calculd’uneaire SoitlafonctionHdéfiniesurIpar 1 2H(x)=− [ln(1−x)] . 2 1. VérifierqueH estuneprimitivedelafonctionh définiesurIpar ln(1−x) h(x)= 1−x 2. a. Donner la valeur exacte en unité d’aire, de l’aire de la partie du plan li- mitée par la courbeC, la droite D et les droites d’équations x=− 1 et x=0. 2 − 2b. Donner une valeur approchée de cette aire en cm à 10 près par dé- faut. c. SurlegraphiqueconstruitenPartieB4,hachurerledomainecorrespon- dant. Antilles-Guyane 5 septembre1999[BaccalauréatESFranceseptembre1999\ EXERCICE 1 5points Communàtouslescandidats LelycéeIXEadécidéd’organiserunvoyageenAustraliepourassisterauxJeuxolym- piquesdel’an2000quisedéroulerontàSydney.Pourréduirelecoût,élèvesetadultes cherchentàorganiserdesactivitésquirapportentdel’argent. LeClubPoésiedécided’éditeretdevendreunrecueildetextesécritsparlesélèves. Pourcelailcommenceparréaliserune«étudedemarché»auprèsdelapopulation du lycée, afin de savoir à quel prix vendre ce recueil pour avoir la plus importante rentréed’argent. Lesrésultatsdecetteétudefigurentdansletableauci-dessous. x estleprixdeventeenfrancsd’unrecueil.i y estlenombredepersonnesprêtesàacheterlerecueilauprixx .i i x 15 20 25 30 35 40 45 50i y 1 200 900 800 550 500 350 300 100i Touslescalculsstatistiquesserontfaitsàlacalculatrice. 1. ConstruirelenuagedepointsM (x ; y )dansleplanmunid’unrepèreortho-i i i gonal. On prendrapour originele point decoordonnées (10; 0), 2 cm pour 5 francsenabscisseet1cmpour100personnesenordonnée. 2. Déterminer le coefficientdecorrélationlinéaire(donner unevaleur arrondie − 3à10 . Pourquoiunajustementlinéaireest-iljustifié? 3. Donner une équation de la droite d’ajustement de y en x par la méthode de − 2moindres carrés.Le coefficient directeur sera arrondià10 près et l’ordon- néeàl’origineàl’unitéprès. 4. a. Calculer alors, en fonction du prix de vente x, la somme que peut en- caisserleClubPoésiesilaréalitéestconformeàlaprévision.Onnomme S(x)cettesomme. b. ÉtudierlesvariationsdecettefonctionSetendéduireleprixx pourle-0 quelcettesommeatteintsonmaximum(x seraarrondiaufrancleplus0 proche). EXERCICE 2 5points Communàtouslescandidats Pourrecueillir desfondspourunvoyageenAustralieenl’an2000, lelycéeorganise une fête. Le Club Maths décide de monter un stand de loterie. Le «futur gagnant» tire au hasard une boule dans une ume contenant 15 boules bleues et 10 boules rouges. S’iltireuneboulebleue,illancelarouebleue. S’iltireuneboulerouge,illancelarouerouge. Chaqueroueestpartagéeen8secteursdemêmedimension.Quandlaroueestlan- cée,elle s’arrêtedefaçon aléatoire et laflèche nepeut indiquer qu’un seul secteur. Touslessecteursontdonclamêmechancede«sortir».BaccalauréatES L’intégrale2000ES RouerougeRouebleue 50F Perdu 25F Perdu Perdu 20F Perdu 10F 10F Perdu Perdu Perdu Perdu 10F Perdu 10F OnnoteBl’évènement «Tireruneboulebleue»,Rl’évènement «uneboulerouge» etGl’évènement«Gagner». Ondonneralesrésultatssousformedefractionsirréductibles. 1. a. Calculerlaprobabilitédel’évènement B,puiscelledel’évènement R. b. Onatiréuneboulebleue:quelleestlaprobabilitédegagner? c. Endéduirelaprobabilitédel’évènement G∩B. 2. Calculeralorslaprobabilitédegagneràcestand. 3 3. Vérifierquelaprobabilitédegagner50Fest . 40 Soit X la variablealéatoire égale au gain(éventuellement nul) du joueur. Re- copier letableausuivant donnantlaloideprobabilitéde X etcalculer lesré- sultatsmanquants. gainx 0 10 20 25 50i 11 3 3 p(X=x )i 20 40 40 4. Calculerl’espérancemathématiquedeX. Onpeutcomptersur150participantsàcestandpendantlafête,etonvoudrait faire un bénéficed’au moins 1 000 francs. Quelle participation minimale, ar- rondieaufrancsupérieur,dechaquejoueurfaut-ilalorsenvisager? EXERCICE 2 5points (spécialité) Le club de football du lycée décide d’organiser un match entre élèves et profes- seurspourrécolterdesfondspourpartirenAustralieenl’an2000.Lesjoueurss’en- traînent,d’autantplusqu’unerencontreamicaleseraorganiséeàSydneycontreune équipedelycéensaustraliens.Pours’entraînerauxtirsaubuts,l’entraîneur dispose 5ballonsfaceauxbuts,etchaquejoueurtireces5ballons. Une étude statistique a montré que sur une série de 5 ballons, un joueur pris au hasardmarque: – 5butsavecuneprobabilitéde0,2; – 4butsavecuneprobabilitéde0,5; – 3butsavecuneprobabilitéde0,3. Chaquejoueur,àchaqueentraînement, tire2sériesde5ballons.Onadmetqueles résultats d’un joueur à chacune des 2 séries sont indépendants. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de tirs aux buts réussis par un un joueur au cours d’un entraînement. 1. a. Calculerlaprobabilité,pourunjoueurprisauhasard,deréussirtousses tirsauxbutslorsd’unentraînement. France 7 septembre1999BaccalauréatES L’intégrale2000ES b. Préciser les valeurs possibles de X et établir sa loi de probabilité (on pourras’aiderd’unarbre). Calculerl’espérancemathématiqueetl’écarttypedeX arrondiavecdeux chiffresaprèslavirgule. 2. Unentraîneurconsidèrequelejoueuraréussil’épreuvedestirsauxbutslorsque X>8. Montrer que la probabilité pour un joueur de réussir cette épreuve lors d’un entraînementestégaleà0,61. 3. Chaquejoueurparticipeà10séancesd’entrainement.Onadmetquelesépreuves detirsauxbutssontindépendanteslesunesdesautres. On appelle Y la variable aléatoire égale au nombre de succès d’un joueur à l’épreuvedestirsauxbutsaucoursdeces10entraînements. Lesrésultatsse- rontdonnéspardéfaut,avectroischiffresaprèslavirgule. Calculerpourunjoueur: a. laprobabilitéden’avoiraucunécheclorsdes10séances; b. laprobabilitéd’avoirexactement6succès; c. laprobabilitéd’avoiraumoins1succès. 4. Calculer le nombre minimum d’entraînements auxquels doit participer un joueur pour que la probabilité d’avoir au moins un succès soit supérieure à 0,99. PROBLÈME 5points Nota:lesparties Bet Csontindépendantes. Àlarentréescolaire,uneétudestatistiques’intéresseauprixdesclasseurs. µ ¶ 6 f(x)=4ln et g(x)=4ln(x−1) x représententrespectivementlesquantitésdemandéesetoffertes,c’est-à-dire: – pour f(x)lesquantitésdeclasseursexpriméesenmilliersquelesconsomma- teurs sont prêts à acheter en fonction du prix unitaire x du classeur exprimé enfrancs; – pour g(x) les quantités de classeurs exprimées en milliers, que les produc- teurs sont prêts à vendre en fonction du prix unitaire x du classeur exprimé enfrancs. PartieA ½ f(x)>0 1. Résoudrelesystème . g(x)>0 L’intervalleIsolutiondusystèmeestl’intervalled’étudedumodèle. 2. Étudierlesvariationsde f etdeg surI.Tracerlesreprésentationsgraphiques respectivesC etC de f et de g, dans un plan muni d’un repère orthogo-f g³ ´ →− →− nal O, ı ,  ;onprendra2cmpour 1 francenabscisse et2 cmpour 1 000 classeursenordonnée. 3. Déterminer les coordonnées (x , y ) du point A intersection deC etC . La0 0 f g valeurdex estappeléeprixd’équilibre.0 4. Quelestlerevenutotaldesproducteurspourleprixd’équilibre? PartieB 1. MontrerquelafonctionF définiepar: · µ ¶ ¸ 6 F(x)=4 xln +x x estuneprimitivede f sur]0;+∞[. France 8 septembre1999BaccalauréatES L’intégrale2000ES 2. Les consommateurs se procurent les quantités offertes à un prix supérieur à celuid’équilibre.Lasommetotalealorsperçueenplusparlesproducteurest représentée par l’aire dela paffieduplan située entrela courbeC , l’axe desf abscisses, la droite d’équation x= x et la droite d’équation x=6, où x , est0 0 l’abscissedupointd’équilibre;elletraduitlesurplusdesconsommateurs ex- priméenfrancs. Calculercesurplus. PartieC 1. Le prix x augmente de1%.Calculer, enfonction de x, lavariationrelativede lademande. 2. Donner la valeur de la variation de la demande en pourcentage, arrondie à 0,1%,pourunprixinitialde5francsquiaugmentede1%. France 9 septembre1999[BaccalauréatESPolynésieseptembre1999\ EXERCICE 1 5points Communàtouslescandidats Une entreprise peint des jouets. Pour cela, elle utilise deux machines M et M . La1 2 machineM peintunquartdelaproduction.1 OnsaitquelamachineM peintcorrectementunjouetavecuneprobabilitéde0,851 alorsquelamachineM ,plusrécente,lefaitavecuneprobabilitéde0,95.2 Touslesjouetssontmélangéspuisacheminésensembleversl’unitéd’emballage. Onchoisitalorsunjouetauhasard,tousleschoixétantéquiprobables. Onnote: A l’évènement :« lejouetestpeintparM »1 1 A l’évènement :« lejouetestpeintparM »2 2 Bl’évènement :« lejouetestpeintcorrectement». 1. a. Représenterparunarbrepondérélasituationdécrite. b. Définirparunephrasel’évènement c. Calculerlaprobabilitédel’évènement d. Montrerquelaprobabilitédel’évènementB,notéep,estégaleà0,925. e. Lejouetchoisiestpeintcorrectement. Quelleestlaprobabilitépourqu’ilaitétépeintparlamachineM ?1 −22. Danscettequestion,ondonneralesrésultatsarrondisà10 près. Onchoisitmaintenantauhasardetdefaçonindépendante4jouets. a. Quelle est la probabilité pour que les 4 jouets soient peints correcte- ment? b. Quelleestlaprobabilitépourqu’unjouetaumoinsnesoitpaspeintcor- rectement? EXERCICE 2 5points Onconsidèreunefonction f définieetdérivablesurl’intervalle]0 ; +∞[,croissante sur cet intervalle et telle que sa représentation graphique notéeC est donnée parf legraphique1surlafeuilleannexe. La feuille annexe est à remettre avec la copie, en mettant en évidence sur les gra- phiquestouteslesconstructionsutilisées. 1. Les graphiques 2 et 3 donnent les représentations graphiques de la fonction ′g=lnf etdelafonction f dérivéede f. Préciser quelle courbe est donnée par chacun des graphiques 2 et 3 avec les justificationsnécessaires. 1 2. On sait que f(x)= x+2−h(x) où h est une fonction définie et strictement 2 négativesurl’intervalle ]0 ; +∞[,tellequelalimitedeh en+∞estégaleà0. Interprétergraphiquementlesrenseignementsdonnéssurh. 3. Quelgraphiquedel’annexe1permetdedéterminerl’abscisse x dupointde0 lacourbeC oùlatangenteapourcoefficientdirecteur0,6?f Indiquerparmilesintervallessuivantsceluiauquelappartientx :0 I =[0; 1] ; I =[1; 4] ; I =[4; 7].1 2 3 Z6 4. Onconsidèrel’intégrale I définieparI= f(x)dx. 4 Àl’aidedelareprésentationgraphiquede f trouver,enexpliquantladémarche utilisée,unnombreentiern telquen