BACCALAURÉAT GÉNÉRAL (Session 2006) - Épreuve: MATHÉMATIQUES Série S

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Niveau: Secondaire, Lycée

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6MAOSME1 Session 2006 BACCALAUREAT GENERAL Session 2006 MATHEMATIQUES Série S ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 7 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Du papier millimétré est mis à la disposition du candidat. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 5 pages numérotées de 1 à 5. 1

  • fréquences de sorties fk

  • z? ?

  • points du plan d'affixes respectives1

  • plan privé du point origine

  • repère orthonormal direct


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 5
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6MAOSME1
BACCALAUREAT GENERAL
Session 2006
MATHEMATIQUES Série S
Session 2006
ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
Durée de l'épreuve : 4 heures
Coefficient : 7
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Du papier millimétré est mis à la disposition du candidat.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 5 pages numérotées de 1 à 5.
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EXERCICE 1 (5 points )
Commun à tous les candidats
Soit(, k, jO, i)un repère orthonormal de l'espace.   3 9 On considère les pointsA(2,4,1),B(0,4,3),C(3,1,3),D(1,0,2),E(3,2,1),I ,4,. 5 5
Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse. Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte et zéro sinon.
1)Une équation du plan(ABC)est :2x+ 2yz11 = 0.
2)Le pointEest le projeté orthogonal deDsur le plan(ABC).
3)Les droites(AB)et(CD)sont orthogonales.
4)La droite(CD)est donnée par la représentation paramétrique suivante : x=1 + 2t (CD)y=1 +t(tR). z= 1t
5)Le pointIest sur la droite(AB).
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EXERCICE 2 (5 points )
Commun à tous les candidats
2 1x 1)Soitfla fonction définie surRpar :f(x) =x e. On désigne parCsa courbe représentative dans un repère orthonormal(O, i, j)d'unité graphique2cm. a)Déterminer les limites defen−∞et+; quelle conséquence graphique peut-on en tirer ? b)Justifier quefest dérivable surR. Déterminer sa fonction dérivéef. c)Dresser le tableau de variation defet tracer la courbeC.
Z 1 n1x 2)Soitnun entier naturel non nul. On considère l'intégraleIndéfinie parIn=dxx e. 0 a)Etablir une relation entreIn+1etIn. b)CalculerI1puisI2. c)Donner une interprétation graphique du nombreI2. On le fera apparaître sur le graphique de la question1c).
3) a)Démontrer que pour tout nombre réelxde[0; 1]et pour tout entier naturelnnon nul, on a n n1x n l'inégalité suivante :xx eex. b)En déduire un encadrement deInpuis la limite deInquandntend vers+.
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EXERCICE 3 (5 points )
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
On considère le plan complexePrapporté à un repère orthonormal direct(O, u, v). Dans tout l'exercice,P\ {O}désigne le plan privé du point origineO.
1) Question de cours
On prend comme pré-requis les résultats suivants : ′ ′- Sizetzsont deux nombres complexes non nuls, alors : arg(zz) =arg(z) + arg(z)à2près, aveckentier relatif. −→ −→−→ - Pour tout vecteurwnon nul d'affixezon a : arg(z) = (u;w)à2près, aveckentier relatif.   z ′ ′ a)Soitzetzdes nombres complexes non nuls, démontrer que arg=arg(z)arg(z)à2z près, aveckentier relatif b)Démontrer que siA,BetCsont trois points du plan, deux à deux distincts, d'affixes re spectives   caa,b,c, on a : arg= (AB, AC)à2près, aveckentier relatif. ba
2)On considère l'applicationfdeP\ {O}dansP\ {O}qui, au pointMdu plan d'affixez, associe 1 ′ ′le pointMd'affixezdéfinie par :z=. On appelleUetVles points du plan d'affixes respectives z 1eti. a)Démontrer que pourz6= 0, on a arg(z) =arg(z)à2près, aveckentier relatif. En déduire que, pour tout pointMdeP\ {O}les pointsMetM=f(M)appartiennent à une même demi-droite d'origineO. b)Déterminer l'ensemble des pointsMdeP\ {O}tels quef(M) =M. c)Mest un point du plan distinct deO,UetV, on admet queMest aussi distinct deO,UetV.     z1 1z1z1 Etablir l'égalité= =i. zzi i+i zi   z1z1 En déduire une relation entre arget arg. zi zi
3) a)Soitzun nombre complexe tel quez6= 1etz6=iet soitMle point d'affixez. Démontrer que z1 Mest sur la droite(U V)privée deUet deVsi et seulement siest un nombre réel non nul. zi b)Déterminer l'image parfde la droite(U V)privée deUet deV.
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EXERCICE 4 (5 points )
Commun à tous les candidats
1)Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre un ballon afin de le crever. A chacun de ces tirs, il a la probabilité 0,2 de crever le ballon. Le tireur s'arrête quand le ballon est crevé. Les tirs successifs sont supposés indépendants. a)it intact ?Quelle est la probabilité qu'au bout de deux tirs le ballon so b)Quelle est la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon ? c)Quelle est la probabilitépnquentirs suffisent pour crever le ballon ? d)Pour quelles valeurs dena-t-on :pn>0,99?
2)Ce tireur participe au jeu suivant :
Dans un premier temps il lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de 1 à 4 (la face obtenue avec un tel dé est la face cachée) ; soitkle numéro de la face obtenue. Le tireur se rend alors au stand de tir et il a droit àktirs pour crever le ballon. Démontrer que, si le dé est bien équilibré, la probabilité de crever le ballon est égale à0,4096(on pourra utiliser un arbre pondéré).
3)il est bien équilibré ou s'il est pipé.Le tireur décide de tester le dé tétraédrique afin de savoir s' Pour cela il lance200fois ce dé et il obtient le tableau suivant : Facek1 2 3 4 Nombre de sorties de la facek58 49 52 41 a)Calculer les fréquences de sortiesfkobservées pour chacune des faces. 4 2 X 1 2 2 b)On posed=fk. Calculerd. 4 k=1 c)On effectue maintenant1000simulations des200lancers d'un dé tétraédrique bien équilibré 2 et on calcule pour chaque simulation de nombred. On obtient pour la série statistique des1000 2 valeurs dedles résultats suivants : MinimumD1Q1MédianeQ3D9Maximum 0,00124 0,001920,00235 0,00281 0,00345 0,004520,1015 Au risque de10%, peut-on considérer que ce dé est pipé?
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