Baccalauréat S Amérique du Sud novembre

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Niveau: Secondaire, Lycée
Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2004 Exercice 1 7 points Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f (x)= xe?x . On note ? la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal(O, ??ı , ??? ) (unité graphique : 10 cm). Partie A 1. a. Déterminer la limite de f en +∞. b. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations. c. Construire ? dans le repère (O, ??ı , ??? ). 2. a. Montrer que, pour tout réel m de ] 0 ; 1e [ , l'équation f (x) = m admet deux solutions. b. Dans le cas où m = 14, on nomme ? et ? les solutions (avec ? 0.

  • axe des ordonnées de l'arc de courbe ?ab

  • points d'affixes respectives

  • similitude de centre a0

  • boules noires indiscernables


Publié le : lundi 1 novembre 2004
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Source : maths-france.fr
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BaccalauréatSAmériqueduSudnovembre2004
Exercice1 7points
Soit f lafonctiondéfiniesur[0; +∞[par
−xf(x)=xe .
OnnoteΓlacourbereprésentativedelafonction f dansunrepèreorthonormal¡ ¢→− →−
O, ı ,  (unitégraphique:10cm).
PartieA
1. a. Déterminerlalimitede f en+∞.
b. Étudierlesvariationsde f etdressersontableaudevariations.
¡ ¢→− →−c. ConstruireΓdanslerepère O, ı ,  .
# "
1
2. a. Montrer que, pour tout réel m de 0; , l’équation f(x)= m admet
e
deuxsolutions.
1
b. Danslecasoùm= ,onnommeαetβlessolutions(avecα<β).
4
−2Déterminerunencadrementd’amplitude10 deα.
1
c. Résoudrel’équation f(x)=m danslecasoùm=0etm= .
e
PartieB
1. Onconsidèrelasuite(u )définiesurNparn
½
u = α0
−unu = u e ,pourtoutentiernaturelnn+1 n
oùαestleréeldéfiniàlaquestionA.2.b.
a. Montrerparrécurrenceque,pourtoutentiernatureln,u >0.n
b. Montrerquelasuite(u )estdécroissante.n
c. Lasuite(u )est-elleconvergente?Sioui,déterminersalimite.n
2. Onconsidèrelasuite(w )définiesurNparw =lnu .n n n
a. Montrerque,pourtoutn entiernaturel,onau =w −w .n n n+1
b. OnposeS =u +u +???+u .n 0 1 n
MontrerqueS =w −w .n 0 n+1
c. Endéduire lim S .n
n→+∞
3. On considèrela suite (v ) définie surN par son premier terme v (v >0) et,n 0 0
−vnpourtoutentiernatureln,v =v e .n+1 n
Existe-t-il une valeur de v différente de α telle que, pour tout n? 1, on ait0
u =v ?n n
Sioui,préciserlaquelle.TerminaleSAmériqueduSud
Exercice2 3points
A
2
B
1
0
O0 1 2 3
¡ ¢→− →−
Onareprésentéci-dessus,dansunrepèreorthonormal O, ı ,  ,lacourbere-
présentativedelafonction f dérivablesurR,solutiondel’équationdifférentielle
′(E) : y +y=0 ettelleque f(0)=e.
1. Déterminer f(x)pourtoutx réel.
2. Soitt unréeldonnédel’intervalle[1;e].
1−xRésoudredansRl’équatione =t d’inconnuex.
3. SoitAlepointd’abscisse0etBlepointd’abscisse1delacourbe.
On considère le solide obtenu par rotation autour de l’axe des ordonnées de
•l’arcdecourbeABcommereprésentéci-dessous.OnnoteVsonvolume.
Ze
2OnadmetqueV=π (1−lnt) dt.
1
CalculerVàl’aidededeuxintégrationsparpartiessuccessives.
2
1
−2 −1 1
novembre2004 2TerminaleSAmériqueduSud
Exercice3 5points
Onnote p (B)laprobabilitéconditionnelledel’évènement Bsachantquel’évè-A
nement Aestréalisé.
Uneurnecontient4boulesrougeset2boulesnoiresindiscernablesautoucher.
1. Oneffectueauhasarduntiragesansremisededeuxboulesdel’urne.
OnnoteA l’évènement; «onn’aobtenuaucuneboulenoire»;0
OnnoteA l’évènement: «onaobtenuuneseuleboulenoire»;1
OnnoteA l’évènement: «onaobtenudeuxboulesnoires».2
CalculerlesprobabilitésdeA , A etA .0 1 2
2. Aprèscepremiertirage,ilrestedonc4boulesdansl’urne.
On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules de
l’urne.
oOnnoteB l’évènement: «onn’aobtenuaucuneboulenoireautiragen 2»0
oOnnoteB l’évènement: «onaobtenuuneseuleboulenoireautiragen 2»1
oOnnoteB l’évènement: «onaobtenudeuxboulesnoiresautiragen 2»2
a. Calculerp (B ),p (B )etp (B ).A 0 A 0 A 00 1 2
b. Endéduirep(B ).0
c. Calculerp(B )etp(B ).1 2
d. Onaobtenuuneseuleboulenoirelorsdecesecondtirage.Quelleestla
probabilitéd’avoirobtenuuneseuleboulenoirelorsdupremier?
3. Onconsidèrel’évènement R:«ilafalluexactementlesdeuxtiragespourque
lesdeuxboulesnoiressoientextraitesdel’une».
1
Montrerquep(R)= .
3
Exercice4 5points
PartieA
¡ ¢→− →−Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u, v .
Pourréaliserlafigure,onprendrapourunitégraphique1cm.
SoitPlepointd’affixep oùp=10etΓlecercledediamètre[OP].
OndésigneparΩlecentredeΓ.
Soit A, B, C les points d’affixes respectives a, b et c, où a= 5+5i, b= 1+3i et
c=8−4i.
1. MontrerqueA,BetCsontdespointsducercleΓ.
2. SoitDlepointd’affixe2+2i.
MontrerqueDestleprojetéorthogonaldeOsurladroite(BC).
PartieB
′À tout point M duplan différent deO, d’affixe z,onassocie le point M d’affixe
′z telque
20′
z = oùz désignelenombreconjuguédez.
z
′1. MontrerquelespointsO,M etM sontalignés.
2. SoitΔladroited’équationx=2etM unpointdeΔd’affixez.
′OnseproposededéfinirgéométriquementlepointM associéaupointM.
a. Vérifierquez+z=4.
novembre2004 3TerminaleSAmériqueduSud
³ ´
′ ′ ′′ ′ ′b. Exprimerz +z enfonctiondez etz etendéduireque5 z +z = z z .
′c. En déduire que M appartient à l’intersection de la droite (OM) et du
cercleΓ.
′PlacerM surlafigure.
Exercice4 5points
Exercicedespécialité
SoitA etB deuxpointsduplanorientételsqueA B =8.Onprendralecenti-0 0 0 0
mètrepourunité.
1 3π
SoitSlasimilitudedecentreA ,derapport etd’angle .0
2 4
Ondéfinitunesuitedepoints(B )delafaçonsuivante:n
pourtoutentiernatureln,B =S(B ).n+1 n
1. ConstruireB , B ,B etB .1 2 3 4
2. Montrerque,pourtoutentiernatureln,lestrianglesA B B etA B B0 n n+1 0 n+1 n+2
sontsemblables.
3. Ondéfinitlasuite(l )par:pourtoutentiernatureln,l =B B .n n n n+1
a. Montrerquelasuite(l )estunesuitegéométriqueetprécisersaraison.n
b. Exprimerl enfonctionden etdel .n 0
c. OnposeΣ =l +l +???+l .n 0 1 n
DéterminerlalimitedeΣ lorsquen tendvers+∞.n
4. a. Résoudrel’équation3x−4y=2oùx ety sontdeuxentiersrelatifs.
b. SoitΔladroiteperpendiculaireenA àladroite(A B ).0 0 0
Pourquellesvaleursdel’entiernatureln,B appartient-ilàΔ?n
novembre2004 4

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