Baccalauréat S Liban juin 2005

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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures Baccalauréat S Liban juin 2005 EXERCICE 1 4 points Pour chacune des huit affirmations (entre guillemets) ci -dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la mention « vrai » ou « faux ». Une réponse correcte rapporte 0,5 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de points. Un éventuel total négatif sera ramené à zéro. 1. « Si a est un nombre réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante sur [a ; +∞[, alors lim x?+∞ f (x)=?∞. » 2. Soient f et g deux fonctions définies sur [0 ; +∞[, g ne s'annulant pas : « Si lim x?+∞ f (x)=?∞ et si lim x?+∞ g (x)=+∞ alors lim x?+∞ f (x) g (x) =?1 ». 3. « Si f est une fonction définie sur [0 ; +∞[ telle que 0 f (x) x sur [0 ; +∞[ alors lim x?+∞ f (x) x = 0 » 4.

  • unique entier naturel

  • affixes respectives des points a?

  • entier

  • reste de la division euclidienne de a141

  • plan complexe


Publié le : mercredi 1 juin 2005
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Source : ac-aix-marseille.fr
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Durée : 4 heures
Baccalauréat S Liban juin 2005
EXERCICE14 points Pour chacune des huit affirmations (entre guillemets) ci -dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la mention « vrai » ou « faux ». Une réponse correcte rapporte 0,5 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de points. Un éventuel total négatif sera ramené à zéro.
1.« Siaest un nombre réel quelconque etfune fonction définie et strictement décroissante sur [a;+ ∞[, alorslimf(x)= −∞. » x→+∞ 2.Soientfetgdeux fonctions définies sur [0 ;+ ∞[,gne s’annulant pas : f(x) « Silimf(x)= −∞limet sig(x)= +∞alors lim= −1 ». x→+∞x→+∞x→+∞ g(x) 3.« Sifest une fonction définie sur [0 ;+∞[ telle que 0f(x)xsur [0 ;+∞[ f(x) alors lim=0 » x→+∞ x   4.O,On considère un repèreı,du plan. « Sifest une fonction définie surRalors la droite d’équationx=0 est asymp-  tote à la courbe représentative defdans le repèreO,ı,».   2x 5.« La fonctionfdéfinie surRparf(x)=x+3x+1 eest une solution surR x de l’équation différentielleyy=(2x+3)e ». 6.Soient A, B, C trois points du plan. On appelle I le barycentre des points A et B affectés respectivement des coefficients 3 et2. « Si G est le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coeffi-cients 3,2 et 1 alors G est le milieu du segment [CI] ». 7.Soient A, B, C trois points du plan et G le barycentre de A, B et C affectés res-pectivement des coefficients 3,2 et 1 −−→ −−→−−→ « L’ensemble des pointsMdu plan tels que3MA2MB+MC =1 est le cercle de centre G et de rayon 1 ». 8.Soient A et B deux points distincts du plan. On désigne parMun point quel-conque du plan. « Le produit scalaireMAMnul si et seulement siB estM= A ouM= B ».
EXERCICE23 points Un fabricant d’écrans plasma teste une première fois ses appareils à la sortie de la chaîne de fabrication. Si le test est positif (c’est-à-dire si l’écran fonctionne correctement), l’écran est ache-miné chez le client. Sinon l’écran retourne en usine où il est réparé puis testé une se-conde fois. Si ce deuxième test est positif, l’écran est acheminé chez le client, sinon il est détruit. Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour 70 % des écrans neufs sortis directement des chaînes de fabrication, mais que parmi les écrans ré-parés, seulement 65% d’entre eux passent le second test avec succès. On note T1l’évènement :« le premier test est positif ».
Baccalauréat S 6 juin 2005
On note C l’évènement : « l’écran est acheminé chez le client ».
1.On choisit un écran au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication. Déterminer les probabilités des évènements T1, et C. 2.La fabrication d’un écran revient à 1000au fabricant si l’écran n’est testé qu’une fois. Cela lui coûte 50de plus si l’écran doit être testé une seconde fois. Un écran est facturéaeuros (aétant un réel positif) au client. On introduit la variable aléatoireXqui, à chaque écran fabriqué, associe le « gain » (éventuellement négatif) réalisé par le fabricant.
a.Déterminer la loi de probabilité deXen fonction dea. b.Exprimer l’espérance deXen fonction dea. c.À partir de quelle valeur dea, l’entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices ?
EXERCICE3
8 points
Partie A On considère la suite (un) définie par : 1 n t pour tout entier naturelnnon nul,un=(1t) e dt. 0 t t 1.Montrer que la fonctionf:t(2t)e estune primitive deg:t(1t)e sur [0 ; 1]. En déduire la valeur deu1. 2.Montrer à l’aide d’une intégration par parties que, pour toutnnon nul,
un+1=(n+1)un1 (R)
Partie B On regarde d’abord ce qu’affichent deux calculatrices différentes pour les va-leurs approchées des 25 premiers termes de la suite (un) en utilisant pour le calcul la relation de récurrence (R) ci-dessus.
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Voici les résultats affichés par ces deux calculatrices :
Valeur den 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Valeur deunaffichée par la première calculatrice 7,1828182845E01 4,3656365691E01 3,0969097075E01 2,3876388301E01 1,9381941508E01 1,6291649051E01 1,4041543358E01 1,2332346869E01 1,0991121828E01 9,9112182825E02 9,0234011080E02 8,2808132963E02 7,6505728522E02 7,1080199309E02 6,6202989636E02 5,9247834186E02 7,2131811612E03 8,7016273909E01 1,7533092042E+01 3,5166184085E+02 7,3858986580E+03 1,6249077047E+05 3,7372887209E+06 8,9694930302E+07 2,2423732585E+09
Baccalauréat S 6 juin 2005
Valeur deunaffichée par le deuxième calculatrice 7,1828182846E01 4,3656365692E01 3,0969097076E01 2,3876388304E01 1,9381941520E01 1,6291649120E01 1,4041543840E01 1,2332350720E01 1,0991156480E01 9,9115648000E01 9,0272128000E02 8,3265536000E02 8,2451968000E02 1,5432755200E01 1,3149132800E+00 2,0038612480E+01 3,3965641216E+02 6,1128154189E+03 1,1614249296E+05 2,3228488592E+06 4,8779825043E+07 1,0731561499E+09 2,4682591448E+10 5,9238219474E+11 1,4809554869E+13
Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite (un) quand on exa-mine les résultats obtenus avec la première calculatrice? Et avec les résultats obte-nus avec la deuxième calculatrice?
Partie C Dans cette partie on se propose d’étudier la suite (un) à partir de la définition : 1 n t pour tout entier naturelnnon nul,un=(1t) e dt. 0 1.Montrer que pour tout entier naturelnnon nul,un0. 2. a.Montrer que pour tout réeltde l’intervalle [0 ; 1] et pour tout entier na-turel non nuln
n tn (1t) ee×(1t) . e b.En déduire que pour toutnnon nul,un. n+1 3.Déterminer la limite de la suite (un).
Partie D Dans cette partie, on se propose d’exploiter la relation de récurrence (R) vérifiée par la suite (un).
un+1=(n+1)un1 Étant donné un réela, on considère la suite (vn) définie par :
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Baccalauréat S 6 juin 2005
v1=aet pour tout entier naturel non nuln,vn+1=(n+1)vn1. 1.En utilisant le raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier na-turel non nuln,vn=un+(n!)(a+2e) oùn! désigne le produit desnpremiers entiers naturels non nuls. 2.Étudier le comportement de la suite (vn) à l’infini suivant les valeurs dea. (On rappelle quelimn!= +∞.) n→+∞ 3.En déduire une raison susceptible d’expliquer les résultats affichés par les deux calculatrices.
EXERCICE45 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v. Unité graphique : 0,5cm. 2π i 3 On note j le nombre complexe e. 2 On considère les points A, B et C d’affixes respectivesa=8,b=6j etc=8j . π SoitAl’image de B par la rotation de centre C et d’angle. 3 π SoitB.l’image de C par la rotation de centre A et d’angle 3 π SoitC.l’image de A par la rotation de centre B et d’angle 3  1.Placer les points A, B, C,A,BetCdans le repère donné.     2.On appellea,betcles affixes respectives des pointsA,BetC.
  a.Calculera. On vérifiera queaest un nombre réel. Π  −i b.Montrer queb=16e . 3 En déduire que O est un point de la droite (BB). c.On admet quec=7+7i 3.  Montrer que les droites (AA), (BB) et (CC) sont concourantes en O.
3.On se propose désormais de montrer que la distanceMA+MB+MC est mi-nimale lorsqueM= O.
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a.Calculer la distance OA + OB + OC. 3 2 b.Montrer que j=11 et que+j+j=0. c.On considère un pointMquelconque d’affixezdu plan complexe. 2 On rappelle quea=8,b=6j etc=8j . Déduire des questions précédentes les égalités suivantes :
2 2    (az)+(bz)j+(cz)j=a+bj+cj=22.   d.On admet que, quels que soient les nombres complexesz,zetz:
       z+z+z|z| +z+z.
Montrer queMA+MB+MC est minimale lorsqueM= O.
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EXERCICE4 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
1.On considère l’équation (E) :
109x226y=1 xetysont des entiers relatifs.
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5 points
a.Déterminer le pgcd de 109 et 226. Que peut-on en conclure pour l’équa-tion (E)? b.Montrer que l’ensemble de solutions de (E) est l’ensemble des couples de la forme (141+226k, 68+109k), oùkappartient àZ. En déduire qu’il existe un unique entier naturel non nuldinférieur ou égal à 226 et un unique entier naturel non nuletels que 109d=1+226e. (On précisera les valeurs des entiersdete.)
2.Démontrer que 227 est un nombre premier. 3.On note A l’ensemble des 227 entiers naturelsatels quea226. On considère les deux fonctionsfetgde A dans A définies de la manière suivante : 109 à tout entier de A,fassocie le reste de la division euclidienne deapar 227. 141 à tout entier de A,gassocie le reste de la division euclidienne deapar 227.
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a.Vérifier queg[f(0)]=0. On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de Fermat : Sipest un nombre premier etaun entier non divisible parpalors p1 a1modulop. 226 b.Montrer que, quel que soit l’entier non nulade A,a1 [modulo227]. c.En utilisant1. b., en déduire que, quel que soit l’entier non nulade A. g[f(a)]=a. Que peut-on dire def[(g(a)]=a?
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