Corrige BTS MAI Mathematiques 2008

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777BTS - groupement B - 2008Correction de l’´epreuve de Math´ematiquesExercice 1A . R´esolution d’une ´equation diff´erentielle .′1. R´esolution de (E ) : y −2y = 0 .0bD’apr`es le formulaire : la fonction x→ =−2, cette fonction admet pour primitive : x→− 2x.a2xLes solutions de l’´equation diff´erentielle sont donc d´efinies sur R par y(x) = ke , ou` k est un nombre r´eelquelconque.x2. g d´efinie surR par h(x) = (−x−1)e est une solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle (E).xg(x) = (−x−1)e donc′ x xg (x) =−1×e +(−x−1)ex= (−x−2)e′ xon v´erifie que : g (x)−2g(x) = [(−x−2)−2(−x−1)]ex= xexCe qui prouve que g(x) = (−x−1)e est solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle (E).3. Ensemble des solutions de l’´equation diff´erentielle (E)Toutes les solutions de l’´equation (E) sont obtenues en faisant la somme des fonctions solutions de (E ) et d’une0solution particuli`ere de l’´equation (E).2x xIl en r´esulte que y(x) =ke −(x+1)e .4. Solution particuli`ere f telle que f(0)= 0 .2x x 0 0f(x) =ke −(x+1)e donc f(0) = ke −(0+1)e =k−1La condition initiale n´ecessite que: k−1 = 0 donc que k = 1.2x xOn en d´eduit que: f(x) =e −(x+1)eB. Etude locale d’une fonction′1. a. Calcul de f (x)2x xf(x) = e −(x+1)e′ 2x x xdonc f (x) = 2e −[(x+1)e +e ]2x x= 2e −(x+2)ex x= e [2e −(x+2)]x x= e (2e −2−x)b. Tangente au point d’abscisse 0′ 0 0f (0) = e 2e −2−0= 1(2−2)= 0La tangente a un coefficient directeur nul, elle est donc horizontale.2x2. a. ...

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BTS  groupement B  2008 Correctiondel’´epreuvedeMathe´matiques

Exercice 1 A.R´esolutiond’unee´quationdiff´erentielle. ′ 1.tulose´RE(ednoi 0 ) :y−2y= 0 . b D’apr`esleformulaire:lafonctionx−7→=−2, cette fonction admet pour primitive :x7−→−2x. a 2x Lessolutionsdel’e´quationdiffe´rentiellesontdoncd´efiniessurRpary(x) =ke,o`uker´reelestunnomb quelconque. x 2.g´edrsuiefinRparh(x) = (−x−1)e).elti(Ele´ffidnereauqenoitlu`itrcile´’redenesoestuonpaluti x g(x) = (−x−1)edonc ′x x g(x) =−1×e+ (−x−1)e x = (−x−2)e ′x onve´rifieque:g(x)−2g(x[() =−x−2)−2 (−x−1)]e x =xe x Ce qui prouve queg(x) = (−x−1)e`elicuti´el’derednoitauqtnere´ffiielle(E).stlosepnratuoi 3.’´eluaeqontiff´dinereleitE(el)Ensemlbdeseosulitnods Touteslessolutionsdel’e´quation(E)sontobtenuesenfaisantlasommedesfonctionssolutionsde(E 0 ) et d’une solutionparticulie`redel’´equation(E). 2x x Ilenr´esultequey(x) =ke−(x+ 1)e. 4.lu`itrcireeSoonpalutiftelle quef(0) = 0 . 2x x0 0 f(x) =ke−(x+ 1)edoncf(0) =ke−(0 + 1)e=k−1 Laconditioninitialene´cessiteque:k−1 = 0 donc quek= 1. 2x x Onende´duitque:f(x) =e−(x+ 1)e B. Etude locale d’une fonction ′ 1. a.Calcul def(x) 2x x f(x) =e−(x+ 1)e ′2x xx doncf(x2) =e−[(x+ 1)e+e] 2x x = 2e−(x+ 2)e x x =e[2e−(x+ 2)] x x =e(2e−2−x) b.Tangente au point d’abscisse 0   ′0 0 f(0) =e2e−2−0 = 1(2−2) = 0 La tangente a un coefficient directeur nul, elle est donc horizontale. 2x 2. a.mitinelt’lroe´a`auvodre2agedisinofaled0enoitcn´eDloveemppx−→7e. 2 2 t(2x) t2 2x2 On sait que :e= 1 +t+ +t ε(t) donce= 1 + 2x+ +x ε(x) 2 2 2x2 2 d’o`ue= 1 + 2x+ 2x+x ε(xlim) avecε(x) = 0 x→0 b.meppoleve´Ded0eofalitcnnogadesiniuaovrd2el’or´e`aimitentlf. 2x x f(x) =e−(x+ 1)e   2   x 2 2 doncf(x) =1 + 2x+ 2x−(x1 ++ 1)x+ +x ε(x) 2 2 x 2 22 = 1 + 2x+ 2x−x−x−1−x−+x ε(x) 2 2 x 2 = +x ε(x) 2

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