Epreuve Physique B - Banque Filère PT

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Epreuve Physique B - Banque Filère PT

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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PROBLEME A (50%)    Ce problème s’intéresse à certains aspects du principe de fonctionnement d’un radar. Aucune connaissance préalable de ce dispositif, ni de celui du guide d'onde, n'est requise.  Dans tout le problème Oxyz est un repère orthonormé direct.  Données : r r r ƒ rotr(rotr(A))=grad(divA)− Δ(A);  vitesse de la lumière c = 3,00 108ms-1; ƒ ƒ magnétique du vide µo = 4 perméabilitéπ10-7H m-1.  Dans tout ce problème A, la fréquence des ondes étudiées vaut f = 3,00 GHz .  I) Principe du radar  Un radar situé en O émet une onde électromagnétique en direction d’un obstacle métallique situé sur l’axe Oz appelé cible . L’onde sera considérée comme plane et l’obstacle placé orthogonalement à Oz, sera assimilé à un plan conducteur parfait de section S suffisamment grande pour que l’on puisse négliger effets de bord et diffraction. Les ondes se propagent dans l’air qui sera assimilé au vide pour ses propriétés électromagnétiques.  L’amplitude du champ électrique de l’onde incidente est Eo, celle ci est monochromatique de pulsationωet polarisée rectilignement selon la direction Ox. L’obstacle est situé en z = L.  r 1) Ecrire l’expression du champ électriqueE(M,t)de l’onde incidente en un point M à un instant t. 2) Que vaut le champ électrique dans le métal de la cible? 3) Montrer qu’il existe nécessairement une onde réfléchie dont on donnera l’expression du champ électrique en un point M à un instant t. 4) Un radar émet une impulsion électromagnétique et reçoit un écho après une durée de 2,60 ms . A quelle distance L se trouve l’obstacle ?  II) Etude du détecteur  L’onde réfléchie est détectée par le radar. Le détecteur est modélisé par un cadre rectangulaire orienté de cotés h = 5,00 mm selon Oz et l = 10,0 cm selon Ox de vecteur normaln=ey, de centre z = 0 . Sur ce cadre, supposé centré au point O, sont bobinés N = 1000 tours de fils en série, et reliés à un voltmètre électronique qui présente une grande impédance d’entrée.  x
Oy
O
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z
En déduire que, nécessairement,χ=n avec n entier strictement positif. , y Pourrait-il a avoir une solution si²était négatif ou nul ?
 Dans toute la suite, on suppose queχ=navec n entier strictement positif. a  7) Déterminer le champ magnétique sous forme complexe puis sous forme réelle. Quelles conditions limites (relations de continuité) doit-il vérifier ? Est ce le cas ? 8) Calculer le vecteur de Poynting, puis sa moyenne temporelle. 9) Déterminer la puissance moyenne traversant une section droite du guide d’onde.  10) Conséquences : 10-a) Que se passerait-il si k² était négatif ? En déduire que le guide d’onde est un filtre passe-haut dont on déterminera la pulsation de coupureωc. 10-b) a= 10 cm . Calculer lafréquence de coupure fc Dans quel domaine est-elle . située ? 10-c) La fréquence étant f = 3,00 GHz , quelles sont les valeurs possibles de l'entier positif n ? On donne n = 1, a b , et la puissance moyenne rayonnée par la source vaut = P = 1,00 mW. En déduire la valeur de l’amplitude Eo du champ électrique.  IV Effets de dissipation.  En fait les parois du guide sont faites d’un métal réel de conductivitéγ. L’objet de cette partie est d’estimer la fraction d’énergie perdue par dissipation dans les parois. Le métal est un bon conducteur ; sa conductivité vautγ= 106S m-1 . Pour étudier cet effet, on considère,pour simplifier les calculs, que le métal emplit tout le demi-espace y > 0, le demi espace y < 0 étant vide. On considérera qu’en tout point du métal la densité volumique de charge est nulle.  1) Ecrire les équations de Maxwell dans le métal. Montrer que l’on peut numériquement, à la fréquence considérée, négliger le "courant de déplacement" devant le courant de conduction, dans l'équation de Maxwell-Ampère.  2) En déduire l’équation de propagation du champ électrique dans le métal.  n cherche, cette fois, une solutr )( ,=itk'y),Eotétant un 3) O ion de la forme EoE M tte ux réel positif. 3-a) Montrer que l’équation de dispersion est k'² = - i µoγ ω ,et la résoudre, en posant préal blement2 a . δ= µoωγ 3-b) Montrer que la seule solution possible est de la forme : r E M t=Eoteyeiωtδyux ( )δ. ,  δ est nommée "épaisseur de peau" ; commenter physiquement cette dénomination. Calculer la valeur numérique deδ, avec f = 3,00 GHz . Commenter la valeur obtenue.  4) En déduire l’expression de la densité volumique complexe, puis réelle, de courant à tout instant; calculer la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans une portion de métal
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On veut réaliser l'expérience sans faire l'obscurité totale dans la pièce. On note Ea l'éclairement ambiant reçu par la photodiode. Pour corriger cet éclairement parasite, on réalise le montage de la figure 3 où k est un coéfficient numérique compris entre 0 et 1.  2-b- Exprimer k en fonction de Er, Ea, Ur et e0 que U soit nul avec l'éclairement pour ambiant. Comment réalise-t-on pratiquement ce dispositif de correction d'éclairement et comment le règle-t-on?  2-c- Lorsque l'éclairement ambiant est corrigé, déterminer l'expression de la tension U en fonction de l'éclairement Ei des interférences.  II- Moteur pas à pas.        NB : Aucune connaissance préalable sur le moteur pas-à-pas n'est requise.  On considère le modèle simplifié du moteur pas à pas (voir les figures 4 et 5) :  - petit aimant permanent tourne autour d'un axe de direction UnUzpassant par O ; il est solidaire d'une roue (non représentée sur les figures). On admet que l'aimant est équivalent à un circuit plan indéformable, de moment dipolaire magnétiqueM norme de constante. L'ensemble constitue le rotor. - paires de spires constituent le stator. Les deux spires d'une paire sont placées Deux symétriquement par rapport à O et elles sont branchées en série. Ox est l'axe commun des deux spires de la paire 1, et Oy est l'axe commun des deux spires de la paire 2.  En alimentant correctement les spires du stator, on peut faire tourner le rotor.  On note I1 l'intensitéle sens oriente l'axe Ox en du courant circulant dans la paire 1, dont utilisant la regle du "tire-bouchon de Maxwell", et I2circulant dans la paire 2 ,celui du courant dont le sens oriente Oy de la même façon.  On admet l'absence de phénomène d'induction mutuelle entre le circuit de la paire 1 et celui de la paire 2. On néglige, dans un premier temps, le phénomène d'induction électromagnétique du au
mouvement du rotor.  1- Champ magnetique créé par la paire 1. Les spires sont supposées circulaires de rayon R et on note a la distance de O au centre d'une spire. On noteB1 le champ créé par la paire 1 en O.  1-a- Déterminer la direction deB1.  1-b- Déterminer le champ magnétiqueB+spire placée en x = +a en fonctioncréé en O par la de R, a et I1.  1-c- Déterminer B1en utilisant des considérations de symétrie très claires, en ne tenant compte que des deux spires de la première paire.  On suppose, dans les questions II.2 et II.3, que l'intensité I2est nulle .  2- Moment magnétique dans le champ magnétiqueB1. Dans cette question II.2, on suppose en outre que l'intensité I1est constante. On étudie le mouvement du moment magnétique soumis au champ magnétique des spires de la paire 1, assimilé, sur l'étendue du petit aimant, à un champ uniforme et égal àB1. On
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noteθl'angle (Ux,M) et J le moment d'inertie du rotor par rapport à son axe de rotation Oz. On suppose qu'il existe des frottements fluides exercant un couple, de moment par rapport à & & Oz égal àΓf = -α.θ, oùθest la vitesse angulaire du rotor etαest une constante positive.  2-a- Déterminer l'équation différentielle vérifiée parθ(t). En déduire queθ 0 est une = position d'équilibre stable.  2-b- Linéariser cette équation dans le cadre des petites oscillations et la mettre sous la forme: d2θωσdωθ dt2+2odt+02θ =0.
Exprimerω0etσ.  2-c- A t=0, on suppose queθ =θ0 etddθt(0)=0 ;θ0 est positif, mais très inférieur à un radian. Sur le même graphique, tracer l'allure deθ(t) dans les différents cas possibles.  2 d A valeur donnée deωo , préciser, sans calcul, comment on doit choisir la valeur deσ  - -pour que le retour àθ= 0 soit le plus rapide. Exprimer alorsθ(t) en fonction deθ0etω0.  3- Courant dans les spires de la paire 1 (voir les Figures 5 et 6) Le circuit électrique d'une paire du stator est modélisé par l'association en série d'un conducteur ohmique de résistance r et d'une inductance L alimentée par une tension de commande U1 qui peut prendre deux valeurs opposées +Vo et –Vo. On suppose que U1 = +Vo depuis un long moment et, qu'à t = 0, U1 bascule ࠖ Vo . On rappelle qu'on néglige le phénomène d'induction électromagnétique du au mouvement du rotor.  3-a- Determiner l'equation différentielle vérifiée par I1(t) pour t > 0 . Exprimer le temps caractéristique τdu phénomène.  3-b- Quelle sont les valeurs de I1 à t = 0+et en régime permanent?  3-c- Exprimer I1(t) et tracer son allure en faisant apparaîtreτ.  4- Tensions de commande du stator. On suppose que les tensions de commande des deux paires de spire du stator sont U1= + Vo et U2= + Vo.  4-a- Déterminer, en degrés, l'angleθ de la nouvelle position d'équilibre stable du rotor.  4-b- U1bascule à –Vo et U2ne change pas. Déterminer l'angleθde la nouvelle position du rotor.  4-c- Regrouper dans un tableau les valeurs successives de U1 , U2 etθ l'angle du rotor permettant de faire un tour complet. Quel est le nombre de pas par tour? Quel est le facteur limitant la vitesse de rotation du moteur?  
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4-d- Dans la réalité, les moteurs pas à pas peuvent faire jusqu'à 200 pas par tour. Citer une utilisation courante des moteurs pas à pas.  5- Prise en compte de l'induction électromagnétique due au mouvement du rotor Dans toute cette question II.5, l'induction électromagnétique due au mouvement de l'aimant n'est plus négligée. & Le rotor est en rotation de vitesse angulaire instantanée notéeθ. On étudie le régime libre, donc les tensions de commande U1et U2sont nulles.On néglige, dans cette partie l'auto-inductance L des spires, et on suppose que a >> R. On suppose que le flux du champ magnétique de l'aimant à travers l'ensemble des deux spires de la paire 1 vautφ= φocosθ, oùφo une constante positive, dont la est détermination n'est pas demandée.  5-a- Déterminer la force électromotrice induite dans le circuit de la paire 1. En déduire le courant induit instantané i1dans cette paire de spires d'axe Ox.  5-b- Exprimer le champ magnétique créé en O par ce courant i1. En déduire le moment (notéΓ1) par rapport à Oz des forces magnétiques exercées sur & l'aimant du fait du courant i1. On exprimeraΓ1en fonction, notamment, deθetθ.  5-c- Exprimer de même le moment (notéΓ2) des forces magnétiques exercées sur l'aimant, et dues à l'induction dans la paire n° 2, d'axe Oy. En déduire le moment totalΓ = Γ1+Γ2.  Quel est, finalement, la conséquence mécanique de l'existence de l'induction électromagnétique due au mouvement du cadre ? Comment modifier simplement le modèle du II-2 pour en tenir compte?  III- Interprétation de la courbe d'interférence .  Le moteur pas à pas entraine une courroie sur laquelle on a fixé le capteur (voir la figure7). Ce capteur se déplace à une distance D=2.0 m des fentes de Young dans le champ d'interférence. A l'aide d'une carte d'acquisition et d'un logiciel, on peut commander le moteur pas à pas et enregistrer la tension à chaque pas. Après étalonnage du déplacement engendré par un pas, on obtient la courbe de la figure 8 qui donne l'éclairement en fonction de l'abscisse. Les fentes sont éclairées par une onde assimilée à une onde plane progressive monochromatique de longueur d'onde dans le videλ en incidence= 633 nm, normale. On rappelle que l'interfrange i pour les fentes d'Young vérifiei=λDoù e est l'écartement e des fentes et que la largeur angulaireβ de la tache centrale de diffraction d'une fente de largeur d vérifie=β2λ. d 1- Exploitation de la courbe d'interférence.  1-a- Donner, sans calcul, une interprétation claire de cette courbe.  1-b- Déterminer l'écartement e entre les deux fentes et leur largeur d.  1-c- Proposer un autre dispositif permettant d'enregistrer la courbe d'éclairement d'une figure d'interférence. 
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2- Vérification optique de l'écartement.  Les fentes étant très proches, on ne peut pas mesurer avec précision leur écartement. On va donc faire les mesures sur l'image agrandie des fentes par une lentille mince. Avec une lentille convergente de distance focale image f' = 10,0 cm , on réalise l'image des fentes de Young sur un écran placé à une distance L =2,00 m des fentes (voir figure 9). On note A un point objet réel sur l'axe optique dans le plan de front des fentes et A' son image réelle sur l'écran. On a doncAA'=Let on notep=OAl'abscisse de A, l'origine étant choisie au centre optique O de la lentille.  2-a- Rappeler la formule de conjugaison de Descartes, pour une lentille mince. Déterminer l'équation vérifiée parp=OApour que l'image se forme sur l'écran. Montrer que cette équation admet deux racines que l'on exprimera en fonction de L et f'.  2-b- Exprimer, dans celui des deux cas oùγ supérieure à 1, le grandissement estγ en fonction de L et de f' . Faire l'application numérique.  2-c- L'écartement e' des fentes images vaut 10,2 mm. Vérifier que la valeur qu'on peut en déduire pour l'écartement e des fentes est cohérent avec celle obtenue au III-1-b.
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20
A'  
x
x(mm)
F '
20-
A
Eclairement
10
Photodiode 
Figure 7
Courroie
Moteur Pas à pas
Figure 5
 
e
x
-10
F
L
Figure 8
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Figure 9
Fentes de Young
D
          
Id
  
Figure 6
U
R
U (1-k) R
Figure 3
Id
k R
Figure 2
I 2
I1
O
I2
I1
y
z
r
I1
Figure 4
L
e0
U1
R
I
E
Ud
y
Figure 1
M
O
x spire
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