exercices Loi de Poisson mathématiques maths exos

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Probabilités - Loi de Poisson
Travaux publics Une entreprise fabrique des supports d'auvent utilisés notamment dans la construction de stades. Ces pièces sont réalisées en béton. Soit la variable aléatoire X qui à chaque production de 50 pièces associe le nombre de supports défectueux qu'elle contient. La production est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler tout tirage de 50 supports à 50 tirages aléatoires et indépendants. On admet que X suit la loi de Poisson de paramètre  1. Donner à 10 % 2 près : a) P ( X = 0). b) P ( X  ³ 4).
Traitement des matériaux L'objectif de cet exercice est d'analyser la production d'une entreprise réalisant des résistors pour des fours électriques. Ces résistors sont fabriqués à partir de fil métallique livré en bobine. Le fil utilisé présente des défauts soit de diamètre soit d'homgénéité qui rendent inutilisable le résistor. On considère un très grand nombre de bobines et on constate que sur l'ensemble des résistors produits avec le fil d'une bobine, il y a en moyenne 6 résistors défectueux. On admet que la variable aléatoire Z qui, à tout fabrication utilisant une bobine prélevée au hasard, associe le nombre de résistors défectueux, suit une loi de Poisson de paramètre l . a) Déterminer la valeur de l . b)Calculer la valeur exacte puis une valeur décimale approchée à 10 % 3 près : de la probabilité P 1 qu'il n'y ait aucun résistor défectueux,  de la probabilité P 2 qu'il n'y ait pas plus de 6 résistors défectueux.  
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Probabilités - Loi de Poisson
Industrie et commerce du bois
Une usine a vendu 100 machines à laver. Celles-ci ont été utilisées le même nombre d'heures dans une année. Le tableau suivant donne la répartition du nombre des réparations xi suivant le nombre ni de machines vendues. Nombre de réparations xi 0 1 2 3 4 Nombre de machines ni 58 32 7 3 0 1° Calculer le nombre moyen l de réparations. 2° Soit X la variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre l , déterminer à 0,001 près P ( X = 0) , P ( X = 1) , P ( X = 2) , P ( X = 3) , P ( X = 4). 3° Comparer les valeurs de ni avec celles déduites de la loi de Poisson de même moyenne.
Fabrications textiles
On considère que la variable aléatoire X , qui mesure la durée de vie exprimée en nombre entier d'années d'un équipement industriel, suit la loi de Poisson de paramètre l = 5. On définit la fonction Η  de ce même équipement par : v ( t ) = P ( X > t ). Montrer que v (1) = 0,959. Présenter sous forme de tableau les valeurs de v ( t ) pour t  entier, 1 σ  t  σ 10, on donnera les valeurs approchées à 0,001 près.
Analyses biologiques
1°Une suspension de 10 6 bactéries est infectée par une population de phages (particules infectieuses). A la fin de l’expérience, on a constaté que 65 × 10 4 bactéries ont été infectées. Quel est le pourcentage de bactéries infectées ? 2° On observe une bactérie au hasard. Soit X  la variable aléatoire qui, à toute bactérie aléatoire associe le nombre de phages infectant cette bactérie. On admet que X  suit une loi de Poisson de paramètre m . a) En calculant P ( X = 0), justifier le choix du paramètre m = 1,05. b) Déterminer à 0,001 près P( X = 1), P( X = 2), P( X = 3). Quel est le nombre moyen de phages par bactérie infectée ?
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Probabilités - Loi de Poisson
Fabrications textiles 1° La variable aléatoire X  suit la loi de Poisson de paramètres 1. Calculer P ( X  σ 3). 2° Une compagnie d’assurances assure un parc de 200 véhicules contre un risque qui a la probabilité 0,5 % de survenir. Frais de gestion déduits, chaque prime souscrite rapporte 160 F à la compagnie, qui verse 10 000 F pour chaque sinistre. a) Montrer que la variable aléatoire qui associe à tout parc de 200 véhicules le nombre de sinistres peut-être approchée par la loi étudiée au 1° b) Déterminer à 0,001 près la probabilité qu’a la compagnie de réaliser un bénéfice. Calculer l’espérance de ce bénéfice.
Construction navale Un client achète un lot de bagues commercialisées par l'entreprise après avoir subi la procédure de contrôle. Pour contrôler la qualité de ce lot le client prélève 200 bagues. On admet que le stock est suffisamment important pour pouvoir assimiler ce prélèvement à 200 tirages indépendants. On admet que la variable aléatoire D , qui à tout prélèvement au hasard de 200  bagues effectué dans le lot associe le nombre de bagues non conformes qu'il contient, suit une loi de Poisson de paramètre l = 3. Déterminer le plus petit entier k  tel que la probabilité de l'événement " D  σ  k " soit supérieure ou égale à 0,95.
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Probabilités - Loi de Poisson
Fabrications textiles
Un chef d'entreprise, pour éviter l'attente des camions venant livrer, envisage si cela s'avère nécessaire, de construire de nouveaux postes de déchargement. Il y en a actuellement cinq. On considère, pour simplifier l'étude, qu'il faut une journée pour décharger un camion. Une enquête préalable sur 120 jours ouvrables a donné les statistiques suivantes : Nb d'arrivées par jours xi  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nb de jours ni  2 10 18 22 23 19 12 7 4 2 1 1°Déterminer à 10 % 2 près la moyenne, la variance et l'écart type de cette distribution. 2° Soit X  la variable aléatoire qui, à un jour choisi au hasard, associe le nombre de camions venant livrer ce jour. Le responsable fait l'hypothèse que cette variable aléatoire suit la loi de Poisson de paramètre 4. a) Quelle est à 0,0001 près, la probabilité de n'avoir aucun camion en attente ? b) Combien faudrait-il de postes de déchargement pour que la probabilité de n'avoir aucun camion en attente soit supérieure à 0,95 ? c) On prévoit, pour les années à venir, un doublement de la fréquence des livraisons. On admettra que la variable aléatoire Y = 2 X suit la loi de Poisson de paramètre 8. Combien faudrait-il de  postes de déchargement pour que la probabilité de n'avoir aucun camion en attente soit supérieure à 0,95 ?
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Probabilités - Loi de Poisson
Maintenance industrielle
Dans cet exercice on donnera les valeurs approchées de tous les résultats à 10 % 2 près. Un distributeur automatique élabore du jus d'orange en mélangeant de l'eau et du concentré d'orange. A - Vous êtes chargé d'approvisionner chaque matin l'appareil en concentré,  Le plein de concentré étant réalisé chaque matin, on suppose maintenant que la probabilité qu'un jour pris au hasard la machine soit hors service par manque de concentré est p  = 0,05. Les pannes sont supposées indépendantes les unes des autres. 1° Montrer que la variable aléatoire Y qui, à toute période de 30 jours associe le nombre de jours où le distributeur est hors service par manque de concentré, suit une loi binomiale. Quels sont ses paramètres ? 2° On approche cette loi par une loi de Poisson. Quel est son paramètre ? Déterminer la probabilité qu'il y ait au plus deux mises hors service du distributeur, en un mois de 30 jours, par manque de concentré.
B - Vous êtes également chargé de la maintenance du distributeur. 1° Une enquête a montré que la variable aléatoire Z qui, à toute période de 30 jours associe le nombre de pannes mécaniques du distributeur, suit la loi de Poisson telle que P( Z = 1) = 6 ´ P( Z = 3). Démontrer que le paramètre de cette loi de Poisson est l = 1. 2° a) On suppose que les variables aléatoires Y et Z sont indépendantes. Déterminer la probabilité de l'événement :" Y = 1 et Z = 1". b) Déterminer la probabilité de l'événement "le distributeur est hors service deux fois exactement en un mois de 30 jours", le hors service se produisant par manque de concentré ou par défaillance mécanique du distributeur et ce de façon indépendante. Pour simplifier, on considérera que si le distributeur est victime le même jour d'une panne mécanique et d'une panne de concentré, il s'agit quand même de pannes distinctes.
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Probabilités - Loi de Poisson
Comptabilité et gestion Une entreprise conditionne et commercialise du sel fin fluoré en sachets portant les mentions "Poids net 1 kg et fluorure de potassium 250 mg/kg". Une machine met le sel en sachets. La fermeture des sachets est automatisée, mais le mécanisme est quelquefois défectueux. On sait que la variable X qui, à toute année d'utilisation aléatoire, associe le nombre de pannes au cours de cette année d'utilisation, suit une loi de Poisson de paramètre l . Par ailleurs, on a remarqué que les événements " X = 1" et " X = 2" ont la même probabilité. a) Montrer que le paramètre de cette loi est 2. On rappelle que, pour tout entier k , P ( X = k ) = e l . l k , ( l > 0) .   k ! b) Calculer la probabilité que le nombre de pannes dans une année aléatoire soit supérieur ou égal à 6.
Productique Un constructeur a besoin, pour équiper ses vélos, de tubes de selle en aluminium. Ce constructeur se propose de contrôler les lots qu’il reçoit par comptage, au moyen de plans d’échantillonnage indiqués par la norme NF X06 - 022. Il constitue un échantillon de 80 tubes. La norme conseille d’accepter le lot si le nombre de tubes défectueux de cet échantillon est inférieur ou égal à 2. On admet que, la variable aléatoire X qui, à tout échantillon aléatoire de 80 tubes, associe le nombre de tubes défectueux, obéit à une loi de Poisson de paramètre l inconnu. 2 1° Montrer que la probabilité d’accepter le lot est égale à f l 1 e %l (1 # l# l 2). 2° Étudier les variations de la fonction f pour l variant de 0 à 10. 3° Donner le tableau de valeurs de f ( l ) pour l entier variant de 0 à 10. Tracer alors la courbe (courbe d’efficacité) représentant la fonction f sur [0, 10] (on prendra pour unités 1 cm sur l’axe des abscisses et 10 cm sur l’axe des ordonnées. 4° On appelle p  la probabilité qu’un tube pris au hasard dans un lot soit défectueux. On admettra que l = 80 p . En utilisant la courbe représentative de la fonction f , a) déterminer la probabilité d’acceptation quand p vaut 0,01 ; b) inversement, déterminer la valeur de p à partir de laquelle la probabilité d’acceptation devient inférieure à 0,1.
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Probabilités - Loi de Poisson
Industries papetières
Une machine fabrique des tiges en acier. Un client achète un lot de tiges fabriquées par cette machine ; pour contrôler la qualité de ce lot, il prélève 80 tiges et accepte ce lot si le nombre de tiges défectueuses parmi les 80 est au plus égal à 2. On désigne par p la probabilité qu'une tige prise au hasard dans le lot soit défectueuse et l'on suppose p < 0,1. On assimile tout prélèvement de 80 tiges à un prélèvement aléatoire non exhaustif. 1° On admet que la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement aléatoire de 80 tiges, associe le nombre de tiges défectueuses de cet échantillon, suit une loi de Poisson de paramètre m = 80 p . Montrer que la probabilité que le client accepte un lot est : 2 Φ m 1 e % m (1 # m # m 2) 2° Étudier les variations de la fonction Φ sur l'intervalle [0, 8] et tracer sa courbe représentative dans un repère orthogonal d'unités graphiques 1cm sur l’axe des abscisses et 10 cm sur l’axe des ordonnées. 3° Utiliser la représentation graphique précédente pour déterminer, a) la probabilité que le lot soit accepté si p = 0,07; b) la valeur de p à partir de laquelle la probabilité d’accepter le lot est inférieure à 0,95.
Industries graphiques
Les premières épreuves d'un ouvrage à imprimer contiennent des fautes d'impression. Le choix d'une page d'un ouvrage est assimilé à un tirage aléatoire non exhaustif. Un ouvrage ayant été soumis à une première correction, la variable aléatoire X  qui, à toute page, associe le nombre  de fautes suit la loi de Poisson de paramètre l = 0,2. a) Déterminer la probabilité qu'il y ait exactement une faute sur une page prise au hasard, puis celle que la page ne comporte aucune erreur, et enfin celle qu'il y ait 3 fautes au plus. b) Si l'on répète un grand nombre de fois ce travail, quel est le nombre moyen de fautes par pages ?
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Probabilités - Loi de Poisson
Maintenance 1994
On considère une variable aléatoire X  suivant une loi de Poisson de paramètre l  inconnu telle que : P ( X  σ 1) = 0,95. 1° Démontrer que l  est solution de l'équation ln (1 + x ) – x = ln (0,95). 2° Étudier les variations de la fonction Φ  définie sur [ 0 , + υ [ par : Φ ( x ) = ln (1 + x ) – x . En déduire que l'équation du 1° admet une solution unique, l , dans [ 0, + υ [ . Déterminer un encadrement d'amplitude 10 % 1 de l .
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Probabilités - Loi de Poisson
Industries graphiques 1988
A - 1° Donner pour les entiers k tels que k  σ 5, à 0,001 près, les probabilités P ( X = k ) pour une variable aléatoire X  suivant la loi de Poisson de paramètre m = 1,8. 2° On dira que l'événement [ X = k ] est envisageable si et seulement si P ( X = k ) ³ 0,05. Déterminer les événements envisageables. Dans la suite de l'exercice, on se limitera aux événements envisageables et on prendra les valeurs approchées suivantes : k 0 1 2 3 4 P ( X = k ) 0,17 0,30 0,27 0,16 0,10 B - Un atelier contient un parc de 50 machines qui demandent, en moyenne, de manière aléatoire, une intervention d'une heure. Le but du problème est de déterminer le nombre d'ouvriers à embaucher : le sur-emploi coûte cher ainsi que le sous-emploi qui perturbe la production en retardant les interventions nécessaires. Toutes les données sont ramenées à l'heure : · 3,6 % des machines demandent une intervention ; · un ouvrier embauché revient à 200 F ; · si l'intervention n'a pas lieu la perte est estimée à 500 F ; · le nombre d'ouvriers embauchés est n ; · le nombre de machines demandant une intervention est k ; · le nombre d'interventions ne pouvant être assurées est h ; · on note Y la variable aléatoire mesurant le coût Cn ( h ) correspondant aux données précédentes. 1° Montrer que la variable aléatoire X qui, à une heure choisie au hasard, associe le nombre de machines qui demandent une intervention dans l'heure est assimilable à celle du A). 2° Justifier les relations suivantes : a) Cn ( h ) = 200 n + 500 h , b) P ( Y = Cn (0) ) = P ( X  σ  n ) et, si h  ¹ 0, P ( Y = Cn ( h ) ) = P ( X = n + h ). 3° Calculer, l'espérance mathématique de la variable aléatoire Y pour les valeurs de n  correspondant aux évènements envisageables : 0 σ  n  σ 4. En déduire le nombre le plus économique d'ouvriers à embaucher.
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Probabilités - Loi de Poisson
Approximation d'une loi binomiale à l'aide d'une loi de Poisson Groupement C 1999
Un lycée achète son papier pour photocopieur à une entreprise. On admet que la probabilité qu'une feuille du papier livré, prise au hasard, bloque le photocopieur est p = 0,001. Une documentation de 12 pages est photocopiée en 50 exemplaires. On appelle K la variable aléatoire qui, à toute série de 600 photocopies, associe le nombre de blocages pendant la reprographie. On assimilera une série de 600 photocopies à un prélèvement de 600 feuilles de papier au hasard et avec remise. 1° Quelle est la loi de probabilité suivie par K ? 2° Calculer la probabilité des événements suivants (on donnera les résultats exacts, puis arrondis au millième) : a) Au cours de ce travail, le photocopieur ne se bloque jamais. b) Au cours de ce travail, le photocopieur se bloque exactement trois fois. 3° On admet que la loi de probabilité suivie par K peut être approchée par une loi de Poisson. a) Préciser son paramètre. b) Quelle est la probabilité que le photocopieur se bloque plus de deux fois pendant ce travail ?
Conception de produits industriels 1999 Une machine usine des billes de roulement à billes. On suppose dans cette question que la proportion de billes acceptables dans la production est de 95%. Soit X  la variable aléatoire qui, à chaque lot de n billes choisies au hasard dans la production, associe le nombre de billes défectueuses. On assimile le choix d'un lot à un tirage avec remise. a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X . Donner son espérance mathématique. b) Soit n = 10 . Calculer la probabilité que l'échantillon contienne au plus 2 billes défectueuses. c) Soit n = 100. On admet que la loi de probabilité de X peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre l . Quelle est la valeur de l ? Quelle est la probabilité que le lot tiré contienne plus de deux pièces défectueuses ? Dans cet exercice chaque probabilité demandée sera calculée à 10 % 3 près.
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Probabilités - Loi de Poisson
Bâtiment 1995
Une machine produit des pièces cylindriques destinées à faire des axes de moteurs. On étudie le diamètre, exprimé en millimètres, des pièces issues de cette fabrication. On suppose maintenant que la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans la production d'une journée soit défectueuse est p  0,05. = On prélève au hasard 60 pièces. La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 60 pièces. On appelle Y la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 60 pièces, associe le nombre de pièces défectueuses. a) Expliquer pourquoi Y suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. b) Calculer P ( Y  σ 2). c) On approche la loi binomiale de la question précédente par la loi de Poisson de même espérance mathématique. Préciser le paramètre de cette loi. En utilisant cette loi de Poisson, déterminer la probabilité qu'un échantillon de 60 pièces contienne au plus deux pièces défectueuses.
Informatique de gestion ( Nouméa) 1997 On prélève, au hasard et avec remise, 50 chèques de l'échantillon E. On désigne par X  la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de chèques "de petite valeur" parmi les 50 chèques prélevés. On admet que la probabilité qu'un chèque soit "de petite valeur" est 0,01. a) Donner la loi de probabilité suivie par X . Préciser ses paramètres. b) Calculer l'espérance mathématique et la variance de la variable  aléatoire X . Quel est le  nombre moyen de chèques "de petite valeur" parmi les 50 chèques prélevés ? c) Déterminer la probabilité d'avoir un chèque "de  petite valeur" parmi les 50 prélevés puis en donner une valeur approchée à 10 % 3 près. d) On admet qu'on  peut approcher la loi de X par une loi de Poisson. Montrer que le paramètre l  de cette loi de Poisson est 0,5. En utilisant la table de la loi de Poisson, calculer la probabilité d'avoir au moins 3 chèques "de petite valeur" parmi les 50 prélevés.
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Les commentaires (2)
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allah2010

wederniabdallah@hotmail.fr

samedi 26 mai 2012 - 02:34
allah2010

y-a-il quelqu’un qui a la correction?

samedi 26 mai 2012 - 02:34
 
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