exercices Loi de Poisson mathématiques maths exos

¾¾¾¾¾¾ ‡ l ¾¾¾¾¾¾ - - l Probabilités - Loi de Poisson Travaux publ ics Une entreprise fabrique des supports d'auvent utilisés notamment dans la construction de stades. Ces pièces son t réalisées en béton. Soit la variable a léatoire X qu i à chaque production de 50 pièces a ssocie l e no mbre de supports défectueux qu'elle contient. La production est suffisamment importante pour que l'on puisse as similer t out tirage de 50 supports à 50 tirages aléatoires et indépendants. On admet que X suit la l oi de Po isson d e pa ramètre 1. 2Donner à près :10 a) P(X = 0). b) P(X 4).  Traitement des m atériaux L'objec tif de cet exercice est d' analyser l a p roduction d'une entreprise réalisant de s r ésistors pour des fours électriques. Ces résistors sont fabriqués à pa rtir d e f il métallique livré en bob ine. Le f il utilisé p résente de s déf auts soit de diamètre soit d'ho mgénéité qui r endent inu tilisable le résistor. On considère un t rès grand nombre de bobines e t on constate que s ur l 'ensemble des résistors produits avec le fil d 'une bob ine, il y a en moyenne 6 résistors dé fectueux. On admet que l a va riable a léatoire Z qui, à tout fabrication utilisant une bobine prélevée au ha sard, associe l e nombre de résistors d éfectueux, suit une loi de Poisson de paramètre . a) Déter miner l a v aleur de . 3b) Calcu ler la valeur ex acte puis une valeur déc imale approchée à près :10 de l a p robabilité P qu'il n' y ait au cun r ésistor défectueux,1 de l a p robabilité P qu'il n' y ait pa s plu s de 6 résistors défectueux.2  1 l n ¾¾¾¾¾¾ ¾¾¾¾¾¾ l × l £ £ Probabilités - Loi de Poisson Industrie et co mmerce du bo is Une usine a vendu 100 m achines à laver. Cel les-c i on t é té utilisées l e m ême no mbre d'heures dan s une année. Le tableau suivant donne la répartition du nombre des réparations x suivant le no mbre n de i i machines vendues. No mbre de r éparations x 0 1 2 3 4i No mbre de m achines n 58 32 7 3 0i 1° Calcu ler le nombre m oyen de réparations. 2° Soit X la va riable a léatoire qu i su it la loi de Poisson de p aramètre , déterminer à 0,001 près P(X = 0) , P(X = 1) , P(X = 2) , P(X = 3) , P(X = 4). 3° Co mparer l es valeurs d e n avec c elles dédu ites de la loi de Poisson de même moyenne.i  Fabrications textiles On considère que l a v ariable aléatoire X, qu i m esure la dur ée de vie exprimée en nombre e ntier d'années d'un équipement indu striel, suit la loi de Pois son de paramètre = 5. On définit la fonc tion de ce même équipement par : v(t) = P(X > t). Mont rer que v(1) = 0,959. Présen ter sous forme de t ableau les va leurs de v(t) pour t en tier, 1 t 10, on donne ra l es valeurs approchées à 0,001 pr ès.  Analyses biologiques 61° Une suspension de bactéries e st i nfectée par une popu lation de phages (pa rticules 10 4infectieuses). A la fin de l’expér ience, on a con staté que ba ctéries ont été infectées. 65 10 Quel e st le pourcentage de ba ctéries infectées ? 2° On observe une bactérie au hasard. Soit X la va riable a léatoire qu i, à t oute bactérie a léatoire associe l e nombre de phages infectant c ette bac térie. On admet que X suit une loi de Poisson de paramètre m. a) En ca lculant P(X = 0), justifier le choix du pa ramètre m = 1,05. b) Déter miner à 0,001 près P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3). Quel e st le nombre m oyen de phages par bactérie i nfectée ?  2 l ¾¾¾¾¾¾ £ ¾¾¾¾¾¾ £ Probabilités - Loi de Poisson Fabrications textiles 1° La va riable aléatoire X su it la loi de Poisson de paramètres 1 . Calcu ler P(X 3). 2° Une compagnie d’assuranc es a ssure un pa rc d e 200 véhicules contre un risque qu i a la probabilité 0,5 % de su rvenir. Frai s de gestion d éduits, chaque prime souscrite rapporte 160 F à l a c ompagnie, qui verse 10 000 F pou r chaqu e s inistre. a) Mon trer que la variable a léatoire qui associe à tout p arc de 200 véhicules le nombre d e s inistres peut-ê tre approchée pa r la l oi étudiée au 1° b) Déter miner à 0,001 près l a p robabilité qu’a l a co mpagnie de réaliser un bénéfice. Cal culer l’espéran ce de ce bénéfice.  Construction navale Un client achète un lot de bagues commercialisées par l'entreprise après avoir subi la procédure de contrôle. Pour contrôler la qua lité d e ce lot le c lient p rélève 200 bagues. On ad met que le s tock es t suf fisamment i mportant pour pouvo ir as similer ce p rélèvement à 200 ti rages indépendants. On admet que la variable aléatoire D, qui à tout prélèvement au hasard de 200 bagues effectué dans le lot associe le nombre de bagues non conformes qu'il contient, suit une loi de Poisson de p aramètre = 3. Déter miner le plus petit entier k tel que la probabilité de l'événement "D k" soit supérieure ou égale à 0,95.  3 ¾¾¾¾¾¾ - ¾¾¾¾¾¾ Probabilités - Loi de Poisson Fabrications textiles Un chef d'entreprise, pou r év iter l'attente des camions venant livrer, envisage si cela s' avère nécessaire, de c onstruire de nouveaux po stes de d échargement. Il y en a a ctuellement cinq. On considère, pour simplifier l'étude, qu'il faut un e jou rnée pour d écharger un camion. Une enquête p réalable sur 120 jours ouvrables a donné les statistiques su ivantes : Nb d' arrivées par jours x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10i Nb de jours n 2 10 18 22 23 19 12 7 4 2 1i 21° Déter miner à près l a m oyenne, la va riance e t l'écart type d e ce tte distribution.10 2° Soit X la va riable a léatoire qu i, à un jour choisi au ha sard, as socie le nombre d e ca mions venan t livrer ce jour. Le responsable fa it l'hypothèse que c ette va riable a léatoire su it la loi de Poisson de paramètre 4 . a) Quelle est à 0,0001 près, la probabilité d e n'avo ir aucun camion en attente ? b) Co mbien faudrait-i l d e pos tes d e déch argement pour que l a p robabilité de n'avoir a ucun c amion en a ttente soit supé rieure à 0,95 ? c) On prévoit, pour les ann ées à ven ir, un doublement de la fréquence des l ivraisons. On admettra que l a v ariable aléatoire Y = 2 X su it la loi de Poisson de paramètre 8 . Co mbien faudrait-il de postes de déchargement pou r que la probabilité de n 'avoir aucun camion en a ttente soit supérieure à 0,95 ?  4 · ¾¾¾¾¾¾ - ¾¾¾¾¾¾ l Probabilités - Loi de Poisson Maintenance ind ustrielle 2Dans ce t e xercice on donnera l es v aleurs app rochées de t ous les résultats à près.10 Un distributeur automatique élabore du jus d'orange en mélangeant d e l 'eau et du conc entré d'o range. A - Vous ê tes chargé d'approvisionner chaque matin l'appareil en concentré, Le plein de concentré étant réalisé chaque matin, on suppose maintenant que la probabilité qu'un jour pris au hasard la machine soit hors service par manque de concentré est p = 0,05. Les pannes sont supposées ind épendantes l es un es de s au tres. 1° Mont rer que la var iable aléa toire Y qui, à tou te pér iode de 30 jours asso cie le no mbre de jou rs où le distributeur est hor s se rvice pa r m anque d e conc entré, suit une loi binomiale. Quels sont ses paramètres ? 2° On app roche cette l oi par une l oi de Po isson. Quel e st s on pa ramètre ? Déter miner la probabilité qu'il y ait au plus deux mises hors service du distributeur, en un mois de 30 jours, pa r m anque d e conc entré. B - Vous ê tes également cha rgé d e l a m aintenance du d istributeur. 1° Une enquête a montré que la variable aléatoire Z qui, à toute période de 30 jours associe le nombre de p annes m écaniques du d istributeur, su it la loi de Poisson telle que P(Z = 1) = 6 P(Z = 3). Dé montrer que le paramètre de c ette lo i d e Pois son es t = 1. 2° a) On suppose que l es variables a léatoires Y et Z sont indépendantes. Déter miner l a p robabilité de l'événement :"Y = 1 et Z = 1". b) Déter miner la probabilité de l'événement "le distributeur est hors service deux fois exactement en un mois de 30 jours", le hors service se produisant par manque de concentré ou par défaillance mécanique du d istributeur e t c e de façon indépendante. Pour simplifier, on considérera que si le distributeur est victime le même jour d'une panne mécanique et d'une panne de con centré, il s'agit quand m ême de pannes distinctes.  5 l l l ¾¾¾¾¾¾ l l ¾¾¾¾¾¾ l l l l l l - l l Probabilités - Loi de Poisson Comptabilité et gestion Une entreprise conditionne et commercialise du s el fin fluoré e n sa chets portant les mentions "Poid s net 1 kg et fluorure de po tassium 250 m g/kg". Une machine m et l e se l e n sa chets. La f ermeture des sachets est automatisée, m ais l e m écanisme es t que lquefois d éfectueux. On sait qu e la variable X qu i, à t oute année d'utilisation a léatoire, associe l e no mbre de pannes au cou rs d e ce tte année d'utilisation, suit une loi de Poisson de paramètre . Par ailleurs, on a remarqué que les événements "X = 1" et "X = 2" on t la m ême prob abilité. a) Mont rer que l e p aramètre de cette loi est 2. On r appelle qu e, pour t out entier k, ke .P(X = k) = , ( > 0) . k! b) Calcu ler la probabilité qu e l e no mbre de p annes d ans une année aléatoire soit supé rieur ou égal à 6.  Productique Un constructeur a beso in, pour équiper s es vé los, de tubes de selle e n a luminium. Ce constructeur s e propose de contrôler les l ots qu’i l reçoit pa r co mptage, au m oyen de pl ans d’échan tillonnage indiqués par la norme NF X06 - 022. Il constitue un échantillon d e 80 tubes. La no rme conseille d’accep ter le lot si le no mbre de t ubes défectueux d e ce t é chantillon est inférieur ou ég al à 2. On admet que, la variable aléatoire X qu i, à t out échantillon a léatoire de 80 tubes, associe le nombre de tubes défectueux, obé it à un e l oi d e Poi sson de paramètre inconnu. 2 1° Mont rer que l a p robabilité d’accep ter le lot es t ég ale à .f ( ) =e (1 + + ) 2 2° Étudier l es variations de la fonction f pour va riant de 0 à 10. 3° Donner l e t ableau de valeurs de f( ) pour entier variant de 0 à 10. Tracer alors l a courbe (cou rbe d’ef ficacité) r eprésentant la f onction f su r [0, 10] (on pr endra pour un ités 1 cm sur l’axe d es abscisses et 10 cm sur l’axe des ordonnées. 4° On appelle p la p robabilité qu’un tube pr is a u has ard d ans un lot so it défectueux. On ad mettra que = 80 p. En ut ilisant la cou rbe r eprésentative de l a f onction f, a) déterminer la probabilité d’acc eptation quand p vaut 0,01 ; b) inversement, déterminer la valeur de p à pa rtir de laquelle l a p robabilité d’accept ation devient inférieure à 0,1.  6 j - j ¾¾¾¾¾¾ l ¾¾¾¾¾¾ Probabilités - Loi de Poisson Industries papet ières Une machine fabrique des tiges en acier. Un client achète un lot de tiges fabriquées par cette machine ; pou r con trôler la qualité de c e l ot, il prélève 80 tiges et accepte c e l ot si le nombre de tiges défectueuses parmi les 80 est au plus égal à 2. On désigne pa r p la probabilité qu'une t ige prise au ha sard dans l e l ot soit dé fectueuse e t l'on suppose p < 0,1. On a ssimile t out prélèvement d e 80 tiges à un p rélèvement a léatoire non e xhaustif. 1° On admet que l a va riable a léatoire Y qui, à tout pr élèvement aléatoire de 80 tiges, as socie le nombre de tiges défectueuses de cet échantillon, suit un e l oi d e Poi sson de paramètre m = 80 p . Mont rer que l a p robabilité que le client ac cepte un l ot est : 2mm(m) =e (1 +m + ) 2 2° Étudier l es variations de la fonction sur l'intervalle [0, 8] et tracer sa c ourbe représentative dans un r epère orthogonal d'unités graphiques 1c m sur l’ax e des abscisses et 10 cm sur l’axe de s ordonnées. 3° Uti liser la r eprésentation g raphique pr écédente pour déterminer, a) la probabilité que l e l ot soit a ccepté si p = 0,07; b) la valeur d e p à p artir de l aquelle l a probabilité d’accep ter le lot e st i nférieure à 0,95.  Industries graphiques Les p remières ép reuves d'un ouv rage à imprimer con tiennent des f autes d' impression. Le cho ix d'un e page d'un ouvrage est as similé à un t irage a léatoire non e xhaustif. Un ouvr age a yant é té soumis à une première c orrection, la v ariable aléatoire X qui, à toute pag e, associe le nombre de fautes s uit la loi de Pois son de paramètre = 0,2. a) Déter miner l a p robabilité qu' il y ait exactement une faute s ur un e page prise a u has ard, puis ce lle que l a p age ne comporte aucun e e rreur, et enfin c elle qu' il y ait 3 fautes au p lus. b) Si l'on répète un grand nombre de fois c e t ravail, que l es t le no mbre moyen de fautes pa r pag es ?  7 ¥ l £ ¾¾¾¾¾¾ ¾¾¾¾¾¾ l j - l ¥ l j Probabilités - Loi de Poisson Maintenance 1994 On con sidère une variable a léatoire X su ivant une loi de Poisson de pa ramètre inconnu t elle que : P(X 1) = 0,95. 1° Dé montrer que est s olution d e l 'équation ln (1 + x) – x = ln (0,95). 2° Étudier l es variations de la fonction définie sur [ 0 , + [ pa r : (x) = ln ( 1 + x) – x . En dédu ire que l 'équation du 1° admet une solution unique, , dans [ 0, + [ . 1Déter miner un encadrement d 'amplitude de .10  8 £ £ ¾¾¾¾¾¾ ¾¾¾¾¾¾ ‡ £ £ „ Probabilités - Loi de Poisson Industries graphiques 1988 A - 1° Donner pou r les e ntiers k tels que k 5, à 0,001 près, les probabilités P(X = k) pour une variable aléatoire X su ivant la loi de Pois son de paramètre m = 1,8. 2° On dira que l'événement [X = k] est env isageable si et seulement s i P(X = k) 0,05. Déter miner les événements env isageables. Dans l a su ite de l'exercice, on s e l imitera a ux évén ements env isageables et on p rendra les va leurs approchées s uivantes : k 0 1 2 3 4 P( X = k ) 0,17 0,30 0,27 0,16 0,10 B - Un atelier c ontient un parc de 50 m achines qu i de mandent, en m oyenne, de manière aléatoire, une intervention d'une h eure. Le but du problème es t de déterminer le no mbre d'ouvriers à e mbaucher : le sur-emploi coûte cher a insi que l e sous-e mploi qu i pe rturbe l a produ ction en retardant les i nterventions nécessaires. Toutes l es données sont ramenées à l'heure : • 3,6 % des m achines d emandent un e in tervention ; • un ouv rier embauché revient à 200 F ; • si l'intervention n' a pas lieu l a p erte es t e stimée à 500 F ; • le nombre d'ouv riers e mbauchés e st n ; • le nombre de machines de mandant une intervention e st k ; • le nombre d' interventions n e pouvan t ê tre assurées est h ; • on no te Y la variable aléatoire mesurant le coût C (h) co rrespondant aux données précédentes.n 1° Mont rer que l a v ariable aléatoire X qu i, à une heure cho isie au hasard, associe l e no mbre de machines qui demandent une i ntervention dans l'heure est assimilable à ce lle du A). 2° Just ifier les relations s uivantes : a) C (h) = 200 n + 500 h,n b) P( Y = C (0) ) = P( X n ) et, si h 0, P( Y = C (h) ) = P( X = n + h ).n n 3° Cal culer, l'espérance m athématique de l a variable aléatoire Y pour les valeurs de n correspondant aux é vènements envisageables : 0 n 4. En déduire l e no mbre le plus économique d'ouvriers à embaucher.  9 l l - ¾¾¾¾¾¾ ¾¾¾¾¾¾ Probabilités - Loi de Poisson Approximation d'une loi binom iale à l'a ide d'une loi de Pois son Groupement C 1999 Un lycée achète son papier pour photocopieur à une entreprise. On admet que la probabilité qu'une feuille du papier livré, prise au hasard, bloque le photocopieur est p = 0,001. Une documentation de 12 pages est photocopiée en 50 exemplaires. On appelle K la variable aléatoire qui, à toute série de 600 photocopies, associe le nombre de blocages pendant la reprographie. On assimilera une série de 600 photocopies à un prélèvement de 600 feuilles de papier au hasard et avec remise. 1° Quelle est la l oi de p robabilité su ivie par K ? 2° Calcu ler la probabilité d es év énements suivants ( on donne ra l es résultats e xacts, pu is arrondis a u millième) : a) Au cours de ce t ravail, le pho tocopieur n e se bloque j amais. b) Au cours de ce t ravail, le pho tocopieur s e b loque e xactement t rois fois. 3° On admet que l a l oi de p robabilité su ivie par K peut être a pprochée par une loi de Poisson . a) Préc iser son p aramètre. b) Quelle est la p robabilité que le photocopieur se bloque plus de deux fo is pendant ce travail ?  Conception de pr oduits in dustriels 1999 Une machine usine des billes de roulement à billes. On suppose dans c ette que stion que la proportion de b illes a cceptables dans la production est de 95%. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque lot de n billes cho isies au hasard dan s l a p roduction, associe le nombre de billes déf ectueuses. On assimile le choix d'un lot à un t irage av ec r emise. a) Déter miner l a l oi de p robabilité de la variable a léatoire X. Donner son espérance mathématique. b) Soit n = 10. Calcu ler la probabilité qu e l 'échantillon c ontienne au plus 2 billes défectueuses. c) Soit n = 100. On admet que l a l oi de p robabilité de X peut être a pprochée par une loi de Poisson de pa ramètre . Quelle est la va leur de ? Quelle est la p robabilité que le lot tiré con tienne plus de deux p ièces défectueuses ? 3Dans ce t e xercice c haque p robabilité de mandée sera c alculée à près.10  10