ISFA 2003 2eme epreuve de mathematiques option a

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I. S. F. A. 2003-2004 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Les calculatrices sont interdites. EXERCICE 1°) Quelle est la période de la fonction f:(xf→=x)sinx ? Développer f en série de Fourier. En quels points f est-elle égale à la somme de sa série de Fourier ? 2°) Soit ϕ une fonction continûment dérivable sur un intervalle compact ab, . [ ]b Montrer que : lim ϕα(tt) cos( ) dt=0 ∫aα→+ ∞ puis en utilisant le résultat de la question 1 conclure que : bb2lim ϕλ(tt) sindt=ϕ(t)d . ∫∫πaaλ→+ ∞PROBLEME ∞ ∞On note C , le espace vectoriel des fonctions de classe C de dans . ()- I - ∞ Pour f ∈ C , et λ ∈ on considère la fonction ()DI− λ f définie pour x ∈ par ()′(DI−λ)f()x =fx −λf()x . ()∗ m ∞Puis pour chaque m ∈ DI−λ l’opérateur linéaire sur C (,) défini par ()DI−λoo()DI−λLo(DI−λ)m fois. ∗ ∞1°) Montrer par récurrence : pour tout m ∈ , tout f ∈ C (,) et tout x de : mxλ−mλx m mm()(DI−λ)f()x =eDf()xe où D est l’opérateur de dérivation d’ordre m : Dg()x =g ()x. ()()∗ ∞ m2°) Montrer que pour tout λ ∈ et tout m ∈ : f ∈ C (,) appartient au noyau de ()DI−λ si et seulement λxsi f est définie par : fx() =P()xe où P est un polynôme arbitraire, à coefficients complexes, de degré inférieur ou égal à m-1. ∗3°) Pour m ∈ et λ∈ on note : mx,λλEf=→:(fx)=P(x)eoù P est un polynôme, à coefficients complexes, de degré inférieur ou égal {à m . ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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I. S. F. A.  _________
  
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2003
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES  _________________________________________ Durée : 4 heures
OPTION A Les calculatrices sont interdites.
EXERCICE
Quelle est la période de la fonction :xf(x)=sinx?
2003-2004  _________
Concours d'Entrée  _______________
Développer fen série de Fourier. En quels pointsfest-elle égale à la somme de sa série de Fourier ?
Soitϕune fonction continûment dérivable sur un intervalle compact[a,b. Montrer que :αlim+abϕ(t) cos(αt)dt=0
puis en utilisant le résultat de la question 1 conclure que :
λlim+baϕ(t) sinλt dt =2πbaϕ(t)dt.
PROBLEME
On noteC(,)leespace vectoriel des fonctions de classeCdedans.
- I -  
PourfC(,)etλ ∈on considère la fonction (D− λI)fdéfinie pourxpar ((D− λI)f)(x)=f(x)− λf(x) . Puis pour chaquem (D− λI)m linéaire sur l’opérateurC(,)
(D− λI)o(D− λI)oLo(D− λI)mfois.
Montrer par récurrence : pour toutm, toutfC(,) et toutxde:
défini
(D− λI)mf(x)=eλxDmf(x)e−λxDmest l’opérateur de dérivation d’ordrem:Dmg(x)=g(m)(x) .
par
Montrer que pour toutλ ∈et toutm:fC(, () appartient au noyau deD− λI)msi et seulement
sifest définie par :f(x)=P(x)eλPest un polynôme arbitraire, à coefficients complexes, de degré inférieur
ou égal àm-1. Pourmetλ ∈on note : Em,λ=f:f(x)=P(x)eλxPest un polynôme, à coefficients complexes, de degré inférieur ou égal
àm.
Le résultat de la question précédente s’écrit donc :ker(D− λI)m=Em1,λ.
 
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Montrer que pourλ etµ deux ( nombres complexes distincts :D− µI) est un automorphisme (une application
linéaire bijective) deEm,λ. PoursN\{ considère0,1 ons naturels différents de 0 entiers :p1,p2,K,p etsnombres complexes distinctsλ1,λ2,K,λ (λi≠ λjsiij) ; montrer que : (Ep1,λ1+Ep2,λ2+K+Eps1,λs1)Eps,λs={0} s1 Ep1,λ1+Ep2,λ2+K+Ep1,λs1 l’ensemble des sommes désignef chacun des appartient à où j=1
Epj,λj. (Indication : faire préalablement le cass=2) .
II - -
n  On considère le polynôme complexe :P(z)=znc zni (n1) . i i=1  On suppose connues les racines distinctes deP:λ1,λ2,K,λpd’ordres de multiplicité respectifs1,α2,K,αp (donc12+Kp=n) etP(z)=(z− λ1)α1(z− λ2)α2K(z− λp) . n  Enfin on considère l’équation différentielle d’ordren:P(D)(y)= :0 c’est-à-direy(n)(t)=ciy(ni)(t) (E) . i=1 1°) Montrer que pour 1ipetfEαi1,λi fest solution de (E). 2°) En admettant (cf. votre cours) que l’ensembleSp solutions de (E) est un(E) desespace vectoriel de
 
dimensionn, trouver une base deSp(E) .
- III -  
On noteAune matricen×nà coefficients complexes et on considèreX(t)=AX(t)
(S)
le système d’ordrendéfini parArappelle qu’il existe une unique fonction définie sur. On à valeurs dans les matrices n×n, à coefficients complexes, notéeetAtelle que (etA)′ =AetAete0A=Id(la matrice identitén×n). 1°) Rappeler pourquoitetAX0 l’unique solution du problème de Cauchy : trouver estX:n, dérivable, satisfaisant, pour touttde,X(t)=AX(t) etX(0)=X0. La résolution de (S) revient donc à calculeretA. Pour cela la clé de la démonstration est le théorème de Cayley-
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Hamilton que l’on rappelle ici : sic(λ)=det(A− λId) est le polynôme caractéristique deAon ac(A)=0 (dans le polynômec;λest remplacé parAet 1 pard). On poseP0=Idet pour i=1…n Pi=(A− λiId)Pi1 λi,i=1…n, désigne les différentes valeurs propres deA, chacune répétée autant de fois que sa multiplicité. Justifier quePn=0 . n On pose a priorie(t)=Wi(t)Pi1,Wifonction dérivable dedans. i=1 Montrer que siW1(t)= λ1W1(t) etWi(t)= λiWi(t)+Wi1(t) pouri=2…n,on obtiente(t)=Ae(t) . Quelles conditions initiales, pourt=0, doit-on prendre sur lesWi,i=1…n, pour obtenire(t)=etA. Déterminer alors, par récurrence lesWi,i=1…n(la réponse contient, pouri=2…n, un signe intégrale).
 
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- IV -
Siyest solution de (E) trouver une matriceB,n×n, telle que :
si on poseX(t)=y(t)yM(t)Xest solution deX′ =BX. y(n1)(t) En déduire que la connaissance deetBdonne une base deSp(E) .
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Inversement soit le système (S)X′ =AX. On note encorec(λ) le polynôme caractéristique deA, on suppose n qu’il s’écritc(λ)= λnciλni; montrer à l’aide du théorème de Cayley-Hamilton quec(D)(etA)=0 i=1 n (c(D)F=0 signifiant encore :F(n)ciF(ni)=0 ). i=1 = En déduire que tous les termesy de la matriceetA sont solutions de (E) c’est à dire satisfontc(D)(y .) 0
Notation : à partir d’ici le polynômePde– II –est le polynôme caractéristiquecdeA. On note{1,y2,K,ynune base deSc(E) . Justifier l’existence den matricesn×nà coefficients complexes
telles que :
etA=y1(t)F1+y2(t)F2+K+yn(t)Fn.
En dérivantnfois cette relation, montrer que :
FF1AIdyy11((tt))yy22((tt)) Fn=An1y1(n1)(t)y(2n1)(t) M2W(y, 0)1MW(y,t)=M M
L
yynn(tt)( ) (nnM1)(t). y
On admettra (cf. votre cours) que{y1,y2,K,ynest une base deSc(E) si et seulement si
t det(W(y,t)) ≠0 .
Si l’on suppose (E) résolue donner une expression detA  e. Si1,ϕ2,K,ϕnest la 1èreligne deetBmontrer que :
 
etA= ϕ1(t)Id+ ϕ2(t)A+K+ ϕn(t)An1.
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Les commentaires (1)
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talent

est-ce que je peux reçevoir la correction du sujet ?

lundi 27 octobre 2014 - 18:50