I Notion de tangente une courbe I Tangente un cercle I Sécante une parabole I Tangente une parabole I Comparaison entre tangente et autres droites I Tangente une hyperbole

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Nombre dérivé Table desmatières I Notion de tangente à une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1 Tangente à un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Sécante à une parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.3 Tangente à une parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.4 Comparaison entre tangente et autres droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.5 Tangente à une hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


  • courbe

  • xb ?xa

  • figure précédente

  • sécante

  • tangente

  • axe des abscisses

  • coefficient directeur


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MONTAIGNE De l'Amitié Dans cet essai Montaigne distingue divers types de relations ce qui lui permet de chercher la vraie nature de l'amitié ainsi écrit il qu'elle est impossible entre un père et son fils car le respect qu'elle suppose rend toute proximité véritable impossible Tout aussi impossible entre frères car les rivalités les heurts la contredisent il se penche également sur les relations entre homme et femme et l'oppose l'amour qui suppose un feu qui se nourrit de l'obstacle il pointe également le fait que certaines pseudo amitiés peuvent naître de l'intérêt et donc que ce n'est pas là une amitié selon ses vœux Montaigne évoque le projet de cet essai en se montrant au tout début comme un peintre de crotesques il dit vouloir là au contraire faire du beau et parler de son ami lui paraît une bonne façon de s'engager dans ce projet On sait qu'initialement le texte de Montaigne devait s'accompagner de la publication de textes de son ami :poème et Discours contre la servitude volontaire Finalement Montaigne y renonce le Discours avait été réinvesti par les Protestants notamment et Montaigne entendait probablement ne pas prêter le flanc l'amalgame Le texte est écrit pour certaines parties avant et après dans tous les cas c'est après la mort de La Boétie L'essai est donc un hommage Montaigne l'a rencontré alors qu'il a ans Cette relation durera ans les quatre années qui précède la mort de LB Le texte a connu des ajouts dans les deux éditions des essais Comment Montaigne ici parvient il tenir un discours sur la vraie nature de l'amitié travers l'évocation d'une expérience unique et individuelle I Montaigne s'emploie d'abord marquer la singularité de cette amitié parce qu'elle s'oppose aux amitiés ordinaires le 1er§ fonctionne ainsi sur l'opposition entre ce que nous appelons ordinairement amis et amitiés et en l'amitié de quoi je parle Il oppose ainsi l'idée commune marquée par l'emploi du nous et l'adverbe ordinairement l'emploi du je qui accentue la singularité mais aussi introduit l'idée d'une expérience ...

MONTAIGNE De l'Amitié Dans cet essai Montaigne distingue divers types de relations ce qui lui permet de chercher la vraie nature de l'amitié ainsi écrit il qu'elle est impossible entre un père et son fils car le respect qu'elle suppose rend toute proximité véritable impossible Tout aussi impossible entre frères car les rivalités les heurts la contredisent il se penche également sur les relations entre homme et femme et l'oppose l'amour qui suppose un feu qui se nourrit de l'obstacle il pointe également le fait que certaines pseudo amitiés peuvent naître de l'intérêt et donc que ce n'est pas là une amitié selon ses vœux Montaigne évoque le projet de cet essai en se montrant au tout début comme un peintre de crotesques il dit vouloir là au contraire faire du beau et parler de son ami lui paraît une bonne façon de s'engager dans ce projet On sait qu'initialement le texte de Montaigne devait s'accompagner de la publication de textes de son ami :poème et Discours contre la servitude volontaire Finalement Montaigne y renonce le Discours avait été réinvesti par les Protestants notamment et Montaigne entendait probablement ne pas prêter le flanc l'amalgame Le texte est écrit pour certaines parties avant et après dans tous les cas c'est après la mort de La Boétie L'essai est donc un hommage Montaigne l'a rencontré alors qu'il a ans Cette relation durera ans les quatre années qui précède la mort de LB Le texte a connu des ajouts dans les deux éditions des essais Comment Montaigne ici parvient il tenir un discours sur la vraie nature de l'amitié travers l'évocation d'une expérience unique et individuelle I Montaigne s'emploie d'abord marquer la singularité de cette amitié parce qu'elle s'oppose aux amitiés ordinaires le 1er§ fonctionne ainsi sur l'opposition entre ce que nous appelons ordinairement amis et amitiés et en l'amitié de quoi je parle Il oppose ainsi l'idée commune marquée par l'emploi du nous et l'adverbe ordinairement l'emploi du je qui accentue la singularité mais aussi introduit l'idée d'une expérience ...

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Nombredérivé
Tabledesmatières
I Notiondetangenteàunecourbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.1 Tangenteàuncercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Sécanteàuneparabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.3 Tangenteàuneparabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.4 Comparaisonentretangenteetautresdroites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.5 Tangenteàunehyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II Tangenteàunecourbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III Nombredérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
III.1 Coefficientdirecteurd’unedroite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV Nombresdérivéespourlesfonctionsderéférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IV.1 Fonctionaffine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IV.2 Fonctioncarré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IV.3 Pourlesfonctionsderéférence: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
V Signedunombredérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
V.1 Conjectureaveclafonctioncarré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
V.2 Conjectureavecunefonctionquelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I Notiondetangenteàunecourbe
I.1 Tangenteàuncercle
c A
O
Rappel:latangenteàuncercleenAestunedroitepassantparAetcepointAestleseulpointd’intersection
entreladroiteetlecercle.
Page1/7
bbI.2 Sécanteàuneparabole
11
10
9
8
7
6
A5
4
3
2
1B
0−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−2
−3 Sécanteàuneparabole
−4
−5
−6
I.3 Tangenteàuneparabole
8
6
A
4
2
B
0−4 −2 2 4 6
Sécante en rouge; Tangente−2
envert
−4
I.4 Comparaisonentretangenteetautresdroites
Surlafigureprécédente,latangenteenAàlaparaboleestenvert;ellenetouchelaparabolequ’enA;elle
estplus« proche»delaparabolequelesautresdroitespassantparA.
Page2/7
bbbbbbI.5 Tangenteàunehyperbole
4
3
A
2
1
−3 −2 −1 1 2
−1
−2
−3
−4
−5
Page3/7
bII Tangenteàunecourbe
Définition
SoientC lacourbereprésentatived’unefonctionetunpointAdecettecourbe.
Onadmetl’existenced’unedroiteT,qui,parmitouteslesdroitesquipassentparA,estcellequis’éloigne
lemoinsdelacourbeC auvoisinagedupointA.
CettedroiteestappeléetangenteàlacourbeC enA.
4
Tangenteàunecourbe
2
−4 −2 2 4 6
−2
−4
A
−6
Remarque::latangenteàunecourbenetouchelacourbelocalementqu’enunpoint.
oExercices:n 9,10et11page187
Page4/7
bIII Nombredérivé
III.1 Coefficientdirecteurd’unedroite
Rappel :Soientdeuxpoints A etB d’unedroitesécanteàl’axedesordonnées.
y −yB A
Lecoefficientdirecteurdeladroite(AB)est: m=
x −xB A
B
y −yB A
A
x −xB A
Définition
SoitC lacourbereprésentatived’unefonction f.
Soit A(a ; f(a))unpointdeC.
Si,en A,C admetunetangente,onditque f estdérivableena.Onappellealorsnombredérivéde f en
′a,noté f (a),lecoefficientdirecteurdelatangente.
Exemple:
9
8
7
6
5
A
4
3
2
1
−4 −3 −2 −1 1 2 3−1
LatangenteenAàC passeparlespointsdecoordonnées(2; 4)et(3; 8);lecoefficientdirecteurdelatangente
8−4 4
estdonc: = =4.
3−1 1
′Lenombredérivéde f en2est: f (2)=4 .
Propriété
′L’équationréduitedelatangenteena estalors:y= f (a)(x−a)+f (a).
′Remarque:latangenteena estparallèleàl’axedesabscisseséquivautà f (a)=0.
2Exemple:laparabolereprésentativedelafonctioncarréx7!x en0.
Page5/7
bbbbboExercicesn 12à19page1889
IV Nombresdérivéespourlesfonctionsderéférence
IV.1 Fonctionaffine
Soit f définiepar f(x)=mx+p etsoit A(a ; f(a))unpointdeladroiteD représentativede f.
′LatangenteàD ena estladroiteD elle-même,donc f (a)=m.
IV.2 Fonctioncarré
2Soit f lafonctiondéfiniepar f(x)=x etsoit A(a ; f(a)).
′Onpeutconjecturerl’expressionde f (a)enfonctiondea àl’aidedeGeogebra.
′Onremarqueque f (a)=2a
IV.3 Pourlesfonctionsderéférence:
′Fonction fdéfiniepar: Nombredérivéde fena ; f (a)
′mx+p f (a)=m(constante)
2 ′f(x)=x f (a)=2a
2 ′f(x)=ax +bx+c f (a)=2a+b
1 1′f(x)= , x6?0 f (a)=−
2x a
3 ′ 2f(x)=x f (a)=3a
p 1′f(x)= x, x>0 f (a)= p
2 a
Exemples:
21. Soit f lafonctiondéfiniepar f(x)=x .Trouverl’équationdelatangenteàC en3:
′ ′ 2Pourtouta,ona: f (a)=2a donc f (3)=6; f(3)=3 =9
′L’équationdelatangenteen3estalors:y= f (a)(x−a)+f (a)doncy=6(x−3)+9,d’où: y=6x−9
16
14
12
10 A
8
6
4
2
O−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4−2
−4
−6
−8
−10
Page6/7
b1
2. Soit f lafonctiondéfiniepar f(x)= .Trouverl’équationdelatangenteàC en4:
x
1 1 1′ ′Pourtouta,ona: f (a)=− donc f (4)=− ; f(4)=2a 16 4
1 1 1 1′L’équationdelatangenteen4estalors:y= f (a)(x−a)+f (a)doncy=− (x−4)+ ,d’où: y=− x+ .
16 4 16 2
4
3
2
1
A
f O−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
−4
−5
oExercicesn 20à25page191
V Signedunombredérivé
V.1 Conjectureaveclafonctioncarré
′ ′ ′Onconstatequepoura<0, f (a)<0, f (0)=0et f (a)>0poura>0
V.2 Conjectureavecunefonctionquelconque
′Exemple:si l’onreprendl’exemplevu auparagrapheII,onconstateque f (a)<0 lorsquelafonctionest
′décroissanteet f (a)>0lorsquelafonction f estcroissante.
Propriété
Soitunefonction f dérivablesurunintervalleI.
′• Si f eststrictementcroissantesurIetsia∈I,alors f (a)>0.
′• Si f eststrictementdécroissantesurIetsia∈I,alors f (a)<0.
′• Sia∈I etsi f (a)=0,alorslatangenteàC ena estparallèleàl’axedesabscisses.f
oExercices:Page195:n 9,14,15,18
Page7/7
b

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