INTRODUCTION A LA MECANIQUE QUANTIQUE

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1 CHAPITRE I INTRODUCTION A LA MECANIQUE QUANTIQUE Christian Ducauze et Hervé This 1 - DE L'OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE AUX MODÈLES ACTUELS DE LA LUMIÈRE S'appuyant sur la conception d'une propagation rectiligne de la lumière, l'optique géométrique apparaît dès l'Antiquité : les lois de la réflexion sont déjà connues de l'école platoniciennei ; plus tard, au 2e siècle de notre ère, Ptolémée (90-168) – qui semble bien avoir fait partie de l'école d'Alexandrieii – s'intéresse à la réfraction et mesure la déviation d'un rayon lumineux qui passe de l'air à l'eau ou au verre ; notons toutefois que la loi de la réfraction ne sera établie que bien après. Toutefois, dans l'Antiquité, on considère que le rayon lumineux émane de l'œil et il faudra attendre la fin du 1er millénaire pour voir apparaître l'idée, avec Ibn al-Haytham, que le rayon lumineux émane de l'objet : avec son Traité d'optique, qui a eu un très grand retentissement au Moyen-Âge, il peut être considéré comme fondateur de l'optique géométrique, fournissant notamment une explication de l'arc-en-ciel. Le début du XVIIe siècle est marqué par la publication des travaux fondamentaux de Johannes Kepler concernant l'optique géométrique de la vision (1604) et des lentilles (1611).

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Publié le : mercredi 30 mai 2012
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CHAPITRE I
INTRODUCTION A LA MECANIQUE QUANTIQUE
Christian Ducauze et Hervé This
1-DE LOPTIQUE GÉOMÉTRIQUE AUX MODÈLES ACTUELS DE LA LUMIÈRE
Sappuyant sur la conception dune propagation rectiligne de la lumière,loptique
géométrique apparaît dès lAntiquité : les lois de la réflexion sont déjà connues de lécole platoniciennei; plus tard, au 2esiècle de notre ère, Ptolémée (90-168)  qui semble bien avoir fait partie de lécole dAlexandrieii à la réfraction et mesure la déviation dun sintéresse
rayon lumineux qui passe de lair à leau ou au verre ; notons toutefois que la loi de la
réfraction ne sera établie que bien après.
Toutefois, dans lAntiquité, on considère que le rayon lumineux émane de lil et il faudra attendre la fin du 1ermillénaire pour voir apparaître lidée, avec Ibn al-Haytham, que le rayon lumineux émane de lobjet : avec sonTraité doptiquea eu un très grand retentissement, qui
au Moyen-Âge, il peut être considéré comme fondateur de loptique géométrique,
fournissant notamment une explication de larc-en-ciel. Le début du XVIIesiècle est marqué par la publication des travaux fondamentaux de Johannes
Kepler concernant loptique géométrique de la vision (1604) et des lentilles (1611).
Parallèlement, René Descartes (1596-1650) sintéresse à la réfraction, sans grand succès dailleurs ; en fait, la loi de la réfraction sera établie par Snellius en 1620iii. Le mérite de Descartes sera davoir plutôt essayé de concevoir une théorie scientifique de la propagation de
la lumière, quil perçoit comme un ébranlement de la matière se transmettant instantanément,
avec une vitesse infinie et sans transport de matière : cest bien lamorce dun modèle
corpusculaire du phénomène de la lumière.
1
Dans la seconde moitié du XVIIe sont observés des phénomènes lumineux quon ne siècle,
peut expliquer par loptique géométrique : par exemple la diffraction, les couleurs des lames minces ou la double réfraction1On doit alors se tourner vers une autre théorie de la.
propagation de la lumière : une théorie dite ondulatoire, parce quelle considère la lumière
comme due à des ondes, des vibrations.
Cesdeux théoriesla théorie corpusculaire et la théorie ondulatoire coexistent alors, et,
dans un mémoire présenté à laRoyal Societyen 1672, Isaac Newton (1643-1727) élabore une
théorie mixte où domine lexplication corpusculaire. Il soppose alors vivement à Robert
Hooke (1635-1703) qui défend la seule théorie ondulatoire. Quelques dizaines dannées après,
dans sonOptique(1704, 1706), Newton sera conduit à admettre que la lumière est constituée
de corpuscules, de grosseur variable selon la couleur, se déplaçant dans un milieu nommé
léther, à une vitesse finie, et produisant des vibrations dont la fréquence varie aussi avec la
couleur. A la même époque, Nicolas Malebranche (1638-1715), partisan de la théorie
ondulatoire, fait la distinction entre fréquence et amplitude des vibrations, quil présente
comme étant longitudinales ; Christiaan Huygens (1629-1695) fait dailleurs la même
hypothèse. Il faudra attendre le début du XIXesiècle pour que Thomas Young (1773-1820) introduise le
principe de linterférence des ondes lumineuses, renforçant ainsi lhypothèse ondulatoire qui
cependant reste encore imprécise. Celle-ci ne sera réellement développée quensuite par
Augustin Fresnel (1788-1827), qui, le premier, substitue une vibration transversale à la
vibration longitudinale imaginée jusqualors. La théorie ondulatoire semble alors devoir
lemporter : en 1865, James Clerk Maxwell (1831-1879) établit la nature électromagnétique
1La biréfringence est la propriété physique dʹun matériau où la lumière se propage de façon anisotrope. Dans un milieu biréfringent, lʹindice de réfractionnʹest pas unique ; il dépend des directions de propagation et deporilatisaondurayon lumineux. Un effet spectaculaire de la biréfringence est la double réfraction par laquelle un rayon lumineux pénétrant dans le cristal est divisé en deux. Cʹest pourquoi, sur la photographie ci-contre, lʹscinptrinio apparaît en double après avoir traversé le cristal de calcite. Ce phénomène est caractéristique des milieux biréfringents, à tel point que les termes « double réfraction » et « biréfringence » sont parfois confondus. Le second tire dʹailleurs son étymologie du premier. Lorsquʹon parle de biréfringence, on sous-entend en général biréfringence linéaire, cʹest-à-dire quʹon considère les indices de réfraction pour des ondes polarisées rectilignement. Par analogie, on utilise parfois lʹexpression biréfringence circulaire pour désigner lʹactivité optique. En effet, ces deux phénomènes peuvent se décrire de manière très similaire, mais ils ont des origines microscopiques différentes.Dans le cas particulier des matériaux biréfringents uniaxes, on appelle également biréfringence la valeur de la différence entre les indices de réfractionordinaireetaireinrdaotrexdu matériau.
2
du rayonnement lumineux, Ludwig Lorentz (1829-1891) démontrant ensuite quon peut ainsi
expliquer la réflexion et la réfraction de la lumière.
Toutefois, en 1900, la théorie du rayonnement du corps noir, élaborée par Max Planck (1858-
1947), conduit à admettre que les échanges dénergie entre la matière et un rayonnement
électromagnétique ne peuvent se faire de façon continue, quils ne peuvent se faire que par
des quantités multiples dune quantité minimaleE0,reliée à la fréquence rayonnement du
électromagnétique par la relation : 2 E0=h. (1. 1) Dans cette relation, la constantehest la constante de Planck.
Ainsi des modèles successifs ont été élaborés pour rendre compte des faits expérimentaux, cest-à-dire des phénomènes observés. Au début du XXesiècle, on est ainsi obligé dadmettre
la coexistence nécessaire de deux descriptions différentes de la lumière  une théorie
ondulatoire et une théorie corpusculaire  pour pouvoir expliquer lensemble des phénomènes
observés ; le choix dune description dépend du fait expérimental quon veut interpréter.
Cependant on ne doit pas oublier que les deux descriptions représentent un seul et même
phénomène, le phénomène lumineux, ou, pour être plus général, le rayonnement
électromagnétique. Pour mieux comprendre ce point, il sera utile de penser à un cylindre :
selon quon le regarde selon son axe ou perpendiculairement à laxe, on voit un disque ou un
rectangle mais le cylindre reste un cylindre, quon ne peut réduire ni à un rectangle, ni à un
disque.
En 1905, Albert Einstein (1879-1955) pousse plus loin les réflexions de Planck et va jusqu'à
proposer que la lumière n'est pas simplement émise et absorbée de manière discontinue sous
forme de paquets indivisibles dénergieE, mais qu'elle est également constituée ainsi. Doù le
nom derelation de Planck-Einsteinpour léquation :
E=h.(1. 2)
Le concept dequantumou dequantonest ainsi introduit : cest une entité qui nest ni onde
ni particule au sens de la mécanique, mais qui  dans une approche de la théorie quantique au
moyen dun raisonnement classique  manifeste un comportement soit corpusculaire, soit
ondulatoire : les photons, quantons dans leur échange dénergie avec un atome, forment
collectivement une onde électromagnétique. Lanalyse de leffet photoélectrique vient à
lappui de cette conception. Ces études de la lumière rejoindront au XXesiècle les études de la mécanique.
2Evidemment, on peut aussi noter cette fréquence par la lettref.
3
2-DE LA MÉCANIQUE CLASSIQUE À LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
Si certaines idées ont été véhiculées ou émises depuis laPhysiquedAristote, la mécanique ne voit réellement le jour quau XVIIesiècle avec Galilée (1564-1642). Il sintéresse, dune part,
à la résistance des matériaux  ce qui est très nouveau  et, dautre part, il organise une
doctrine solide concernant le mouvement des corps ; il approfondit la notion de référentiel et
introduit le principe de relativité, qui stipule que les mêmes lois sappliquent dans des
référentiels « galiléens », cest-à-dire animés les uns par rapport aux autres de mouvements
uniformes (vitesse constante) : lenfant qui laisse tomber sa balle dans un avion lui voit le
même mouvement que sil était au sol.
Puis, en 1687, Newton introduit clairement la notion deforcequi aboutit à une unification de
la mécanique : le mouvement de tout point matériel isolé est rectiligne et uniforme, et tout
écart à cette loi (accélération) est révélateur de lapplication dune force. Dans le cas des
planètes, il calcule que lattraction gravitationnelle, qui conduit à leur mouvement autour du
Soleil, est inversement proportionnelle au carré de la distance entre elles et le Soleil. Il énonce
trois principes fondamentaux, aujourdhui nomméslois de Newton: (1) suivant le principe de
linertie, établi par Galilée, le mouvement dun point matériel qui nest soumis à aucune force
est un mouvement rectiligne et uniforme ; (2) le principe fondamental de la dynamique stipule
que le taux de variation dans le temps, cest-à-dire la dérivée, de la quantité de mouvement
dun point matériel est égal à la somme des forces appliquées à ce point ; (3) enfin, le principe
de laction et de la réaction stipule que si un point matériel A exerce une force sur un autre
point matériel B, alors le point B exerce sur A une force égale et opposée.
Lamécanique classiquerésulte finalement de luvre de Galilée et de Newton, les grandes
bases dun système compréhensif du mouvement des corps  où dynamique et statique
obéissent à un même formalisme  étant finalement fixées par Jean Le Rond dAlembert
(1717-1783), dans son traité deDynamique, en 1743, puis dans lidépecnEolcy, dont il dirige
les articles scientifiques. DAlembert méconnaît cependant encore limportance de la notion
de masse, mettant lessentiel de la force dans laccélération. La mécanique classique connaît ensuite, au cours des XVIIIeet XIXesiècles, une période de
maturation avec de nombreuses interactions entre théorie et technique. A Joseph-Louis
Lagrange (1736-1813) revient la mathématisation de la mécanique. Le passage entre la loi
déquilibre et la loi différentielle est établi. Dès lors, la mécanique peut être présentée comme une branche de lanalyse mathématique. Cependant, cest seulement à la fin du XIXesiècle
4
quon prend en considération, lorsquon suit cette voie analytique où laccélération est une
pièce maîtresse, lerepèrepar rapport auquel cette accélération est évaluée. La mathématisation de la mécanique sachève à la fin du XIXesiècle, alors que sont réalisés
dimmenses efforts pour essayer de mieux comprendre lastructure de latome et, tout
dabord, pour essayer dinterpréter le spectre de raies de latome dhydrogène. En 1885,
Johann Jakob Balmer (1825-1898) en donne une première interprétation, qui jette les
premières bases dune théorie quantique. En 1897, après la découverte expérimentale de
lélectron par Joseph John Thomson (1856-1940), on commence à sinterroger sur la structure
de latome, qui est électriquement neutre et qui doit donc comporter autant de charges
positives que délectrons. Les expériences dErnest Rutherford (1871-1937), vers 1910,
montrent que celles-ci doivent se trouver concentrées dans un espace dont les dimensions sont 104fois plus petites que celles de latome, ce qui conduit à proposer unmodèle planétaire de
latomeoù les électrons, sous leffet de lattraction électrostatique, tourneraient à de grandes
distances autour dun noyau qui serait des milliers de fois plus lourd et renfermerait
lensemble des charges positives (1911).
Toutefois, un tel modèle est en contradiction avec les lois de lélectromagnétisme, qui
prévoient que des charges animées dun mouvement accéléré  comme cest le cas ici 
doivent émettre un rayonnement électromagnétique et, donc, perdre de lénergie ; de ce fait,
lélectron devrait tomber sur le noyau, en même temps que la fréquence émise devrait
diminuer et conduire ainsi à lémission dun spectre en fréquence continu ; or lexpérience
montre quon observe des spectres de raies, donc que le spectre est discontinu.
Pour lever cette difficulté, Niels Bohr (1885-1962) propose en 1913 dincorporer au modèle
de Rutherford lhypothèse des quanta formulée par Planck et Einstein depuis 1905 : de cette
façon, lélectron du modèle de Bohr ne pourrait tomber sur le noyau, puisquil ne pourrait se
trouver que sur des orbites stationnaires, dénergie bien déterminée, où il ne rayonnerait
aucune énergie, lémission ou labsorption dun rayonnement ne pouvant correspondre quau
passage dune orbite stationnaire à une autre. Ce modèle sera amélioré deux ans après par
Arnold Sommerfeld (1886-1951), qui introduit le nombre quantique secondaire (azimutal) pour rendre compte de la structure fine des raies3. Pour autant, lorigine de la stabilité et de la
quantification des orbites stationnaires restait inexpliquée. La mécanique classique se trouvant
ainsi dans lincapacité de décrire le mouvement de lélectron dans un espace de très petites
dimensions, les physiciens comprennent progressivement que lélectron pourrait, lui aussi, 3La structure fine de la raiespectraledʹunatomecorrespond à sa séparation en plusieurs composantes deecsuqnefértrès proches, détectables par unortcpocsespede bonnerolésioutn.
5
être considéré comme une «particule quantique», unquanton. La mécanique classique
serait considérée comme une approximation à léchelle macroscopique de la mécanique
quantique. A léchelle microscopique, par exemple dans latome dhydrogène, lélectron ne
serait ni une onde ni une particule, alors quà léchelle macroscopique, par exemple dans un
poste de télévision, son mouvement pourrait être décrit comme celui dune particule
classique.
Cette idée est clairement exprimée par Louis de Broglie (1892-1987), dans sa thèse de
doctorat dÉtat :Recherches sur la théorie des quanta1924 : « Le fait que, depuis, écrite en
lintroduction par Einstein des photons dans londe lumineuse, lon savait que la lumière
contient des particules qui sont des concentrations dénergie incorporée dans londe, suggère
que toute particule, comme lélectron, doit être transportée par une onde dans laquelle elle est
incorporée ». De Broglie sappuie sur la relation de Planck-Einstein et sur les propriétés relativistes de la transformation de lénergieEet de la quantité de trp mouvemen , pour r proposer quà la quantité de mouvementprdune particule soit associé un vecteur dondektel que4:pr=hkr. Cette relation est lexpression mathématique du caractère ondulatoire des particules matérielles ; ce caractère ondulatoire est le pendant du caractère corpusculaire des
ondes lumineuses, traduit dans la relationE=hν =2h2νπ=hω.π r r r h rhrh En effet, en posantk=, on va écrire :p=k=2πCp=C
h5 =(1. 3) λ
et il sensuit que :p=mv=h. Doù :λ=h 4). (1. mv La longueur donde associée à un électron ayant une quantité de mouvementrp=mvrest
donc égale à :=λh. mv
Pour le photon, par ailleurs, daprès la relation de Planck-Einstein :E=hν =Chλ, 4Soit, en un point M (x), une onde dintensitéI(x,t)I0cos(t kx+), où I0est lintensité 2 maximale,ωla pulsation etϕun déphasage. Le nombre dondekest défini par la relation :kλ=. 2 La pulsationωest reliée à la fréquencefpar la relation2fet à la période par=ωT. Enfin, la
e dev= =.vitess phasevest égale àT k 5On notec, en minuscule, la vitesse de londe électromagnétique, etCla vitesse de londe lumineuse.
6
doù il résulte :λ=hC= E
hC2 et donc :=λh. mC m
Ainsi naît lamécanique ondulatoire, qui sera très vite dépassée par les améliorations qui lui sont immédiatement apportées, mais le caractère ondulatoire des particules trouvera sa
confirmation expérimentale lorsquen 1927, Clinton Davisson (1881-1958) et Lester Germer
(1896-1971) mettront en évidence le phénomène de diffraction des électrons par un réseau
cristallin.
Cependant, dès 1925, Werner Heisenberg (1901-1976) a exposé les bases duformalisme
matriciel de la théoriequantiqueet, en 1926, Erwin Schrödinger (1887-1961) publie quatre articles intitulés :quantification traitée comme un problème de valeurs propresLa . Il y
démontre que les énergies quantifiées des états stationnaires sont, sous certaines conditions,
les valeurs propres dun opérateur différentiel. On recherchera ces valeurs propres en
résolvant une équation aux dérivées partielles du second ordre portant sur une fonction à
valeur complexe des coordonnées despace et du temps, la fonction donde. Cette théorie de la
fonction donde de Schrödinger servira de fondement à la théorie probabiliste de Max Born
(1882-1970), selon laquelle le carré du module de la fonction donde représente la densité de
probabilité de présence de la particule en un point de lespace à linstantt.
Cest dailleurs ce quavait pressenti de Broglie en proposant de décrire le mouvement de
lélectron au moyen dune fonction donde, comme le phénomène lumineux pour lequel le
carré du module de la fonction donde, cest-à-dire le carré de lamplitude, représente
lintensité vibratoire, cest-à-dire la densité du flux de photons, à laquelle léclairement est
proportionnel. A partir de la fonction donde, on doit être en mesure de retrouver les
grandeurs physiques caractéristiques du mouvement dune particule : on y parvient en appliquant à la fonction donde certainsopérateursconvenablement choisis. Il sagit dune
transposition des résultats de loptique ondulatoire et ce sont les mêmes opérateurs qui sont
également retenus en mécanique ondulatoire.
Si Planck, Einstein et de Broglie sont des initiateurs de la mécanique quantique, il faut
reconnaître que la construction dumodèle quantiquerevient essentiellement à Heisenberg et
peut-être plus encore à Schrödinger. En effet, cest ce dernier qui a très vite établi, en 1926,
léquivalence entre son point de vue ondulatoire et le point de vue matriciel de Heisenberg. Sa théorie de la fonction donde, à lorigine de linterprétation probabiliste de Born, a comme
intérêt principal sa très grande efficacité, puisquelle semble ramener à la résolution dune
équation  léquation de Schrödinger  la quasi-totalité des calculs relatifs aux atomes et
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molécules si bien que certains peuvent croire, à tort, que la mécanique quantique se réduit à
la résolution dun problème mathématique.
Pourtant, lathéorie de Schrödingerest bien plus que cela. Elle est en particulier fondée sur un certain nombre dapproximations qui sont clairement explicitées : par exemple le fait que
dans latome, les particules sont animées de vitesses faibles qui ressortent dune théorie « non
relativiste »  et donc en accord avec la relativité galiléenne  contrairement au photon ; le fait
que le nombre de particules matérielles décrites est supposé constant ; le fait que la fonction
donde de léquation de Schrödingerna de sens que pour une particule matérielle et ne peut en aucun cas se rapporter au photon. De surcroît, léquation de Schrödinger est à la base de
tous les calculs de la spectrométrie, dont elle a permis des développements très importants :
on peut le voir en spectroscopie infrarouge ou en spectrométrie par résonance magnétique
nucléaire. Cest ce pouvoir de prédiction du modèle qui en assure aujourdhui encore la
validité.
Initialement, le modèle quantique a été corroboré par des relations  plus précisément, par des
inégalités  formulées par Heisenberg en 1927 : ce dernier avait calculé que , pour un objet quantique la largeur de son spectre en quantité de mouvementpest reliée à la largeur de son
spectre en positionxtandis que la largeur du spectre en énergie, E reliée à la durée est
dévolutiont:p.xhetE.th. a substitué le terme d « incertitude » On au terme
« largeur de spectre » et lon parle donc du « principe dincertitude de Heisenberg ».
Le principe dincertitude (ou pourrait également dire « dindétermination ») a été rapidement
généralisé, et on peut lénoncer aujourdhui de la manière suivante : le produit des incertitudes
sur deux grandeurs complémentaires  on verra par la suite ce que cela signifie  est égal ou supérieur àh, en restant toutefois, dans ce dernier cas, du même ordre de grandeur queh. Considérons par exemple la deuxième inégalité :E.th.SiEreprésente lincertitude sur
un niveau dénergie quantifiée  ou, dit dune autre façon, la largeur du spectre de ce niveau 
et sit représente lincertitude sur le temps nécessaire pour quune évolution se produise  autrement dit, le temps pendant lequel la particule se trouve à ce niveau dénergie quantifiée ; autrement dit encore, la durée moyenne de vie de la particule sur ce niveau dénergie , alors :E.h, ce qui signifie que plusest petit,plusEest grand. Quant à la première relation :p.xh, elle permet de comprendre pourquoi un électron ne
« tombe » pas sur le noyau auquel il est lié : en mécanique quantique, contrairement à la
mécanique classique, lénergie cinétique est directement corrélée à la taille du système. Ici, en
effet, plus le rayon de lorbite décrite par lélectron est faible, plus lénergie cinétique
8
moyenne
2 Ec=pest 2m
grande.
Certes,
dans le
même
temps,
lénergie potentielle
V(r tendre vers - pour 1 puisquelle est proportionnelle à -) diminue,quand tend vers 0,
mais lénergie cinétique a une croissance plus rapide, de sorte quelle lemporte sur lénergie
potentielle et quon arrive à un compromis, à une valeur de pour laquelle lénergie totale du
système est minimale et qui représente donc bien un état de stabilité du système. Ainsi, le
modèle de la mécanique quantique qui vient dêtre élaboré trouve sa validation dans le fait
quil fournit une explication acceptable, en accord avec les autres lois connues de la physique,
de la stabilité de certaines orbites correspondant à des niveaux dénergie quantifiés.
A ce jour, rien na remis fondamentalement en cause la théorie quantique : initialement élaborée pour les atomes, à léchelle du dixième de nanomètre (10-10m), la mécanique quantique reste tout aussi valable à léchelle du noyau (10-14 quà celle des particules m) subatomiques (10-17Cependant, rien ne dit que des faitsm), notamment des quarks. expérimentaux nouveaux ne viendront pas, à lavenir, remettre en cause ce modèle, qui
napparaîtra plus alors que comme lapproximation dune théorie plus profonde, dun modèle
nouveau. En effet, il est bon de considérer que toute théorie, « modèle réduit » de la réalité,
est par principe insuffisant, de sorte quil peut être remplacé par un modèle plus complet
(mais également insuffisant : la tâche du scientifique est moins de « démontrer » des théories
que de les réfuter, afin den proposer de plus précises).
3 -INTRODUCTION À LÉTUDE DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
3-1-Rappels de quelques notions élémentaires
3-1-1- Rappels sur les modèles du phénomène lumineux
Nous avons vu que la lumière peut être décrite comme la propagation dun flux de photons
auxquels on associe une onde électromagnétique dont la figure1 donne une représentation
schématique.
9
rt sr=Ssin(2π −ϕ)
λ=cT⇔ λ=c, si c est la vitesse de propagation de londe.
Ψ = Ψ0exp[
Avecexp(2
2πix+y+zvt(λ)]) i(...)=cos(...)+isin(...)etΨ*Ψ = Ψ02
1
2
Les photons sont des corpuscules caractérisés par leur énergieE, reliée à leur fréquence
par
la relation de Planck-Einstein :E=h. La propagation dune onde électromagnétique plane peut être décrite au moyen dune fonction donde (rr,t en tout point M de lespace) égale, (repéré par un vecteurr, de composantes (x, y, z)) et au tempst, par : r i(ωtk.rr)6 0e (1.5)
Observons que cette fonction peut aussi sexprimer sous la forme suivante : (rrt)ei(Ehtphr.rr)0eih(Etpr.rr)(1.6) ,0
6On se souvient de la formule dEuler :eiθ=cosθ+isinθ.
10
Cette fonction peut correspondre au champ électrique ou au champ magnétique composant
londe électromagnétique. Elle peut comporter une partie imaginaire, mais les grandeurs
physiques auxquelles elle permet daccéder sont des grandeurs réelles. En effet, si lon note
le nombre conjugué dun nombrex:
ψ=0[cos( ) +i sin()]0[cos() isin()] =20 (1.7)
En un point repéré par le vecteur , le carré de lamplitude20 lintensité représente vibratoire, lequel est proportionnel au flux de photons (densité du flux lumineux). Dautres grandeurs physiquesgseront obtenues au moyen dautres opérateurs notésG. Ainsi, limpulsion des photonsp=mvrsobtiendra au moyen de lopérateur impulsion p= −ihgrad(on peut aussi utiliser le symbolepour noter le gradient) appliqué à la fonction donde : rp= −ih( ) .7 (1.8)
De même, lénergie cinétiqueEc obtenue en appliquant à sera
cinétique :
Ec=h2.82m
(1.9)
3-1-2- Rappels de mécanique classique
 lopérateur énergie
Dans un repère galiléen, le mouvement dun point matériel M de massemest décrit parM (t).
La loi fondamentale de la dynamique classique est : r F=mar (1.10) r Fest la somme vectorielle des forces appliquées etarlaccélération dans le repèreS.Au mouvement, on associe les grandeurs suivantes : r - en cinématique : la vitessevret laccélérationa
- en dynamique : r r -limpulsionp=mv 7Pour obtenir lénergie, il suffit de dériver la fonction donde par rapport au temps : (r,t) ψ(rtr,t)= −ihEψ0eih(Etpr.rr)= −ihEψ(rr,t), soitE=ihr. ψ(rr,t)t Pour obtenir limpulsion, il suffit de prendre le gradient : ih(rr,t)=vp(rr,t). 222 acien :+ +. 8Δreprésente le laplx2y2z2
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