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  • problème pratique de la fermeture des équations de navier-stokes en moyenne

  • modèle physique


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : ethesis.inp-toulouse.fr
Nombre de pages : 70
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Chapitre 4
Mod´elisationd´ecoulements parie´tauxturbulents instationnaires
Aperçu 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.1 Un premier aperçu des grandes classes de modélisation . . . . . . . . . . . . . . 46 1.2 Contribution de la présente étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2 Différentes approches dans la littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.1 Simulation numérique directe des équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . 49 2.2 Simulations aux grandes échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3 Approches statistiques fondées sur la moyenne de Reynolds . . . . . . . . . . . 51 2.4 Approches statistiques avancées - Organised Eddy Simulation . . . . . . . . . . 52 2.5 Approches hybrides - Detached Eddy Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3 Modèles de fermeture dans le cadre d’une modélisation statistique de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1 Modélisation au second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2 Modèles au premier ordre linéaires fondés sur une viscosité de turbulence . . . 59 3.3 Modèles non-linéaires et algébriques explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4 Modèle OES à viscosité de turbulence tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2 Physical analysis of turbulent stress-strain relation in the near-region . . . . . . 73 4.3 Anisotropic OES modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.4 Numerical simulation of strongly detached flows around bodies . . . . . . . . . 77 4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.6 Appendix A. Transport equations for the stress-strain projection coefficients . . 81 4.7 Appendix B. Summary of the OES anisotropic first-order model . . . . . . . . 82 4.8 Compléments à l’article . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5 Prédiction d’écoulements turbulents compressibles . . . . . . . . . . . . . . 87 5.1 Quelle moyenne statistique dans le cas d’écoulements compressibles ? . . . . . . 87 5.2 Equations de Navier-Stokes compressibles en moyenne de Favre . . . . . . . . . 88 5.3 Modèles de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6 Conclusion - modélisation “haute-fidélité” des écoulements turbulents . . 89
1 Introduction Malgré de nombreuses avancées théoriques dans l’analyse physique des mécanismes fondamentaux de la turbulence et le développement d’outils de calcul numérique de plus en plus performants, la prédiction d’écoulements pariétaux instationnaires à grands nombres de Reynolds reste un problème difficile. En effet, la résolution numérique directe des équations de Navier-Stokes tridimensionnelles et instationnaires
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Chapitre 4. Modélisation d’écoulements pariétaux turbulents instationnaires
n’est généralement pas envisageable pour la prédiction d’écoulements réalistes et la mise en œuvre de stratégies de modélisation de la turbulence est inévitable. De multiples méthodologies, notamment des méthodes de macrosimulation, ont été développées dans ce sens. Plusieurs approches théoriques différentes peuvent être considérées selon la configuration physique d’intérêt et la nature des résultats attendus, es-sentiellement la prédiction de quantités physiques moyennes ou filtrées, stochastiques ou déterministes. Dans le cadre de la présente étude, l’étape de modélisation de la turbulence par une méthode de macro-simulation peut être considérée comme une première phase de “réduction de la dimension” du problème. En effet, dans le contexte du développement d’une modélisation hiérarchique d’écoulements réalistes, les simulations mettant en jeu une modélisation de l’effet de la turbulence non résolue constituent une approximation du modèle physique “haute-fidélité” que représentent les équations de Navier-Stokes ins-tationnaires tridimensionnelles. A l’inverse, les approches de simulation décrites dans ce chapitre peuvent également être considérées comme des modèles physiques détaillés dont la complexité numérique peut encore être réduite grâce à une méthode de modélisation d’ordre faible fondée sur la décomposition or-thogonale aux valeurs propres. Ce point sera abordé dans les chapitres suivants. Dans une optique de modélisation hiérarchique, l’étape de modélisation de la turbulence est donc cruciale pour le développe-ment de modèles d’ordre réduit pertinents, représentatifs de l’écoulement réel.
1.1 Un premier aperçu des grandes classes de modélisation Dans le cadre de la prédiction d’écoulements instationnaires autour d’obstacles à grands nombres de Reynolds, la simulation numérique directe ouDirect Numerical Simulation(DNS) nécessite des discréti-sations spatiale et temporelle extrêmement fines pour capturer toutes les échelles des quantités physiques aléatoires mises en jeu. Les approches les plus couramment considérées pour contourner cette difficulté sont brièvement présentées. La méthodologie la plus proche de la simulation directe sur le plan théo-rique est la simulation aux grandes échelles ouLarge Eddy Simulation(LES). Cette approche, initiée par Smagorinsky(1963) dans le domaine météorologique, consiste à appliquer un filtre spatial aux différentes quantités physiques et à ne simuler que les grandes échelles, les échelles non résolues étant prises en compte par l’introduction d’un modèle de fermeture dans les équations de Navier-Stokes filtrées. Cette approche est, par nature, tridimensionnelle et comme cela sera explicité dans ce chapitre, elle donne accès, comme la DNS, à des réalisations des variables aléatoires que constituent les quantités physiques mises en jeu. La démarche proposée par la LES s’applique a priori à tous les types d’écoulements, qu’ils présentent ou non une cohérence spatio-temporelle marquée par la présence de structures organisées. Une des difficultés liées à cette approche est le traitement des résultats de simulation. En effet, une réalisation de l’écoulement ne peut être considérée comme représentative de la moyenne d’ensemble que sous des hypothèses d’ergodicité et d’homogénéité délicates à démontrer dans la pratique. Dans le cas général, plu-sieurs résolutions successives doivent être envisagées avant d’accéder aux grandeurs statistiques. De plus, la modélisation des échelles non résolues ou échelles de sous-maille passe en général par l’introduction d’un concept de viscosité de turbulence qui est essentiellement adapté à la modélisation d’une partie du spectre d’énergie cinétique turbulente dans le cas d’une turbulence homogène isotrope. Etant donné que la taille du filtre spatial est dans la pratique liée à la finesse de la discrétisation spatiale, ce point implique que l’approche LES doive tendre vers une simulation numérique directe dans les régions de proche-paroi. Cela rend la LES difficilement applicable pour la modélisation d’écoulements pariétaux à grands nombres de Reynolds dans un contexte industriel (Davidsonet al.,2003) et justifie le développement de méthodes de macrosimulation hybrides, couplant la simulation aux grandes échelles à des méthodes statistiques plus adaptées à la simulation des écoulements en proche-paroi. Les méthodes statistiques constituent une alternative très largement répandue aux simulations di-recte et aux grandes échelles. D’une manière générale, elles conduisent à décomposer l’ensemble des variables physiques en termes moyen et fluctuant. L’approche la plus classique qui consiste à considérer une moyenne d’ensemble1conduit aux équations de Navier-Stokes en moyenne de Reynolds ouRey-nolds Averaged Navier-Stokes(RANS). Les variables considérées sont alors déterministes et non plus stochastiques comme dans le cas de la DNS ou de la LES, ce qui simplifie l’exploitation des résultats de simulation. Les méthodes dérivées de cette approche ne sont en théorie valables que pour des écoulements en équilibre statistique autrement dit des écoulements dont les quantités physiques caractéristiques sont 1La moyenne d’ensemble peut être remplacée par une moyenne temporelle dans le cas de processus ergodiques.
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1. Introduction
des processus stochastiques stationnaires2en équilibre dans le sens de la théorie deet Kolmogorov(1941) tels que la zone lointaine d’un sillage, d’un jet ou d’une zone de mélange par exemple. Le fait de considérer les équations de Navier-Stokes en moyenne fait apparaître un terme supplémentaire traduisant la “perte d’information” par rapport aux équations originelles définies dans un cadre stochastique : les corrélations doubles des fluctuations de vitesse en un point, appelées tensions de Reynolds lorsque cette moyenne est mise en œuvre et plus généralement contraintes turbulentes. Ainsi les équations de Navier-Stokes en moyenne constituent un système ouvert et leur résolution nécessite une représentation (simulation ou modélisation) des contraintes turbulentes. Deux types d’approches sont généralement distinguées : d’une part l’approche dite “au second ordre” qui assure la prédiction des contraintes turbulentes au moyen d’équations de transport supplémentaires associées à ces quantités où les termes inconnus tels que les corrélations triples sont modélisés, d’autre part, les modèles “au premier ordre” qui relient algébrique-ment les tensions de Reynolds aux grandeurs physiques moyennes. Les modèles au premier ordre les plus répandus sont les modèles linéaires qui utilisent une hypothèse de fermeture fondée sur une analogie avec la loi constitutive des fluides newtoniens : la loi deBoussinesq(1877). Le tenseur des contraintes est alors relié linéairement au taux de déformation moyen grâce à un concept de viscosité de turbulence. Comme cela sera détaillé dans ce chapitre, une relation constitutive linéaire peut conduire à une mo-délisation erronée de certaines propriétés structurales de la turbulence entraînant d’importantes erreurs d’estimation des quantités globales d’intérêt telles que les coefficients aérodynamiques par exemple. Afin de pallier certaines limitations du modèle linéaire, des lois constitutives non-linéaires ont été développées. Elles consistent à inclure, dans la relation constitutive, des tenseurs d’ordre supérieurs issus de combi-naisons des tenseurs des taux de déformation et rotation moyens (Pope,1975, par exemple). Plusieurs approches ont été envisagées par analogie aux lois constitutives considérées en rhéologie pour les fluides visco-élastiques ou à effet de mémoire donnant lieu auxNon Linear Eddy Viscosity Models(NLEVM) (Shihet al.,1993, par exemple) ou encore en dégénérant les équations aux dérivées partielles de modèles au second ordre pour en dériver des expressions algébriques des tensions turbulentes,Explicit Algebraic Stress Modelling(EASM) (Pope,1975;Gatski & Speziale,1993;Wallin & Johansson,2000). Ce type d’approche a notamment pour objectif une meilleure capture de l’anisotropie des contraintes turbulentes normales en proche-paroi par rapport au modèle linéaire fondé sur l’hypothèse deBoussinesq(1877) qui prédit un comportement isotrope de ces tensions. Dans le cas où les processus physiques étudiés ne sont pas statistiquement stationnaires, par exemple lorsque des structures organisées apparaissent dans l’écoulement, il semble que ces phénomènes puissent être considérés non plus comme des fluctuations aléatoires mais comme des évolutions déterministes des propriétés statistiques de ces processus. Cela conduit à l’approche RANS instationnaire ouUnsteady RANS(URANS) qui est la méthodologie de modélisation des écoulements turbulents la plus largement mise en œuvre. Les équations simulant l’évolution des quantités physiques moyennes sont les mêmes que les équations RANS, au terme temporel près. Par ailleurs, les mêmes méthodes de fermeture que dans le cas stationnaire sont généralement utilisées dans ce contexte qui ne correspond pas, a priori, à leur domaine d’application. En particulier, les échelles caractéristiques de la turbulence évaluées par ces approches ne sont plus nécessairement adaptées et peuvent conduire à des prédictions erronées. Une reconsidération des approches statistiques classiques dans le cas de processus instationnaires est donc cruciale. Afin d’étendre de manière rigoureuse les approches statistiques précédentes aux cas d’écoulements ins-tationnaires caractérisés par la présence de structures organisées, une méthodologie fondée sur la décom-position triple distinguant pour chaque processus, une composante moyenne, une composante fluctuante organisée et une composante aléatoire a été imaginée (Reynolds & Hussain,1972). Cette approche s’est développée, à la fin des années 1970, alors que de nombreux travaux expérimentaux tentaient de quan-tifier la partie cohérente du mouvement turbulent par des mesures conditionnelles telles que la moyenne de phase (Cantwell,1981;Boissonet al.,1983par exemple). Dans la pratique, une distinction est faite, entre la partie cohérente du processus (composantes moyenne et fluctuante organisée) qui est considérée comme une variable déterministe et sa partie aléatoire selon la décomposition proposée parCantwell & Coles(1983le cas où l’écoulement d’intérêt présente un fort caractère périodique, l’utilisation de). Dans l’opérateur de moyenne de phase conduit à une dissociation efficace des quantités cohérentes et aléatoires 2La stationnarité d’un processus stochastique traduit l’indépendance de ses différents moments statistiques (moyenne, corrélations doubles...) par rapport à l’origine des temps.
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Chapitre 4. Modélisation d’écoulements pariétaux turbulents instationnaires
dans ce sens. L’effet de cette distinction sur le plan spectral est détaillé dans ce chapitre au§2.4. Substi-tuer cette moyenne conditionnelle à la moyenne d’ensemble conduit aux mêmes équations que le système URANS. Cette approche a été utilisée pour la mesure et la prédiction d’écoulements autour de profils d’aile oscillants à grand nombre de Reynolds (McCroskeyet al.,1982, notamment). Sur le plan théorique, une telle méthodologie implique le calcul des quantités organisées correspondant à la turbulence résolue et la modélisation des effets des processus aléatoires. Par rapport à l’approche RANS, la modélisation du tenseur des contraintes turbulentes apparaissant dans les équations en moyenne doit être reconsidérée, y compris dans le cas où une loi constitutive linéaire est mise en œuvre. Pour cela, l’approcheOrganised Eddy Simulation(OES) a été proposée parDervieuxet al.(1998),Braza(2000),Abalakin & Dervieux (2000),Hoarau(2002) etBrazaet al.(2006). La modification des fermetures turbulentes dans le contexte OES est décrite au§2.4. Le principal écueil rencontré quant à l’utilisation de la LES pour la simulation d’écoulements autour de corps est la finesse de discrétisation de la région de proche-paroi. Afin de limiter l’usage de la simu-lation aux grandes échelles à son domaine optimal d’application, des méthodes hybrides couplant LES et approches statistiques peuvent être considérées. En particulier, la méthodeDetached Eddy Simulation (DES) (Spalartet al.,1997;Travinet al.,2000) combine les approches LES et RANS par une sélection locale de l’échelle de longueur de la turbulence. Les approches de modélisation des écoulements turbulents présentées dans cette section introductive correspondent à un premier aperçu des méthodes détaillées dans ce chapitre. Il est important de noter que le tour d’horizon ici proposé n’est en aucun cas exhaustif.
1.2 Contribution de la présente étude Les développements effectués dans le cadre de cette thèse s’inscrivent dans le contexte de l’approche de modélisationOrganised Eddy Simulationde la présente étude concerne l’améliora-. La contribution tion de la capture des propriétés structurales de la turbulence grâce à l’introduction d’une nouvelle loi constitutive des tensions turbulentes incluant une viscosité de turbulence tensorielle. Plus précisément, les non-linéarités apparaissant dans un écoulement instationnaire fortement détaché entre le tenseur d’ani-sotropie des contraintes turbulentes et le tenseur des taux de déformations moyens sont examinées sur la base de résultats expérimentaux détaillés. Cette analyse illustre les limitations des approches linéaires fondées sur l’hypothèse deBoussinesq(1877). Afin de prendre en compte la non-colinéarité des tenseurs d’anisotropie des contraintes turbulentes et de déformation ainsi mise en évidence, une alternative aux modèles non-linéaires les plus répandus (NLEVM et EASM) est suggérée sous la forme d’une loi consti-tutive modifiée. De plus, un modèle de fermeture permettant la mise en œuvre pratique de cette loi de comportement des contraintes turbulentes est proposé. Ces développements sont détaillés au§4de ce chapitre et ont été rapportés dans deux articles publiés dans le cadre de cette thèse (Bourguetet al., 2007b,2008). Les différentes approches de modélisation précédemment évoquées sont plus précisément décrites au§2, notamment du point de vue de l’introduction des opérateurs de filtrage ou de moyenne dans les équations de Navier-Stokes. Après avoir mis en évidence le problème pratique de la fermeture des équations de Navier-Stokes en moyenne, le choix de modèles de turbulence adaptés dans le contexte des approches statistiques est détaillé au§3particulier, les modifications induites par la reconsidération des échelles. En caractéristiques de la turbulence dans le cadre de l’approche OES sont présentées. La contribution de la présente étude à l’amélioration des capacités prédictives des modèles OES est décrite au§4. Pour plus de clarté, l’ensemble des approches de modélisation ainsi que les développements menés dans cette thèse sur ce thème sont en premier lieu présentés dans le contexte des écoulements incompressibles. La transposition au cas d’écoulements compressibles est proposée au§5.
2 Différentes approches dans la littérature Dans cette section les principales approches de modélisation d’écoulements turbulents à grands nombres de Reynolds sont présentées. Pour chacune d’elles, les équations de Navier-Stokes filtrées ou en moyenne
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2. Différentes approches dans la littérature
sont détaillées et, le cas échéant, la nécessité d’introduire des modèles de fermeture est mise en évidence dans l’optique d’une résolution numérique de ce système.
2.1 Simulation numérique directe des équations de Navier-Stokes La simulation directe consiste à résoudre numériquement les équations de Navier-Stokes tridimen-sionnelles instationnaires qui correspondent, dans le cas d’écoulements incompressibles, à l’équation de continuité et aux trois équations de conservation de la quantité de mouvement, pouri= 1,2,3: (uuα,αt,i(+=u0iuα)=ρ1p,i+νui,αα,(4.1) uidésigne la ièmecomposante de la vitesse,ρla masse volumique du fluide supposée constante dans le cas incompressible,pla pression etνla viscosité cinématique également supposée constante dans ce contexte.,tet,ireprésentent respectivement les dérivées temporelle et spatiale dans la directioni. Pour plus de clarté, les indices grecs sont utilisés pour indiquer les sommations implicites. La résolution directe de ces équations, munies de conditions initiales et aux limites, conduit à la simulation de toutes les échelles de structure dans l’écoulement et ne nécessite donc pas de modélisation supplémentaire. En ce sens, ce type d’approche peut être considéré comme une véritable “expérience numérique” (Chassaing,2000) utile pour la compréhension des propriétés de la turbulence, notamment dans l’optique du développement d’approches de modélisation. Le principal obstacle à la mise en œuvre pratique d’une telle méthode pour des écoulements réalistes à grands nombres de Reynolds est la finesse de discrétisation nécessaire à la capture de l’ensemble du spectre comme cela a déjà été évoqué. Par ailleurs, l’accès aux propriétés statistiques d’écoulements simulés par DNS ne peut être envisagé qu’a posteriori, chaque simulation correspondant à une réalisation d’un processus aléatoire. Dans la pratique, la simulation directe reste encore un outil d’investigation scientifique dans le contexte de la prédiction des écoulements pariétaux à grands nombres de Reynolds ; des méthodes de modélisation de la turbulence doivent nécessairement être mises en œuvre pour la simulation d’écoulements turbulents instationnaires autour de géométries complexes.
2.2 Simulations aux grandes échelles En considérant que la principale limitation de la simulation directe est la finesse de discrétisation nécessaire à la capture de l’ensemble des structures de l’écoulement, la simulation aux grandes échelles constitue une alternative où seuls les processus de grande taille sont simulés alors que l’effet des petites structures est modélisé par une loi de “sous-maille”. L’idée directrice de cette méthode est que la partie du spectre négligée correspond aux petites structures obéissant aux hypothèses d’équilibre de la turbulence homogène isotrope dont l’effet peut, par conséquent, être modélisé simplement par l’introduction d’un terme assurant la dissipation de l’énergie provenant des structures résolues de plus grande taille. Un schéma comparatif de la simulation aux grandes échelles et de l’approche OES sera présenté par la suite dans le plan spectral (figure4.1issues du filtrage spatial et un exemple de fermeture). Les équations classiquement appliquée en LES sont décrits dans cette section. La LES n’a pas été utilisée dans la présente étude ; la présentation proposée est par conséquent succincte, l’objectif étant de situer l’approche mise en œuvre dans le cadre de cette thèse par rapport aux autres méthodes existantes. Pour plus de détails concernant la simulation aux grandes échelles, le lecteur pourra se référer aux articles et ouvrages de référence deRogallo & Moin(1984),Lesieur & Métais(1996) etSagaut(2002).
Equations filtrées spatialement La mise en œuvre de la simulation aux grandes échelles implique la définition d’un filtre spatial permettant de distinguer les structures résolues de celles dont les effets devront être modélisés. Pour une quantité stochastique de dépendance spatio-temporellev, la moyenne spatiale filtréevest définie comme suit : v(x, t) =ZΩG(x,x0,Δ)v(x0, t)dx0,(4.2) G(x,x0,Δ)désigne l’opérateur de filtrage spatial au pointx,Δreprésente la plus petite échelle de structure résolue ou plus généralement un paramètre caractéristique de la coupure spectrale de ce filtre.
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Chapitre 4. Modélisation d’écoulements pariétaux turbulents instationnaires
L’opérateur de filtrage est supposé normé : ZG(x,x0,Δ)dx0= 1.(4.3) Ω L’ensemble des variables de l’écoulement peuvent alors être décomposées comme suit : v(x, t) =v(x, t) +v0(x, t),(4.4) v0désigne la fluctuation devpar rapport à la moyenne spatiale filtrée.vétant un processus stochas-tique, les termesvetv0sont également des variables aléatoires. Comme le souligneChassaing(2000), l’accès aux propriétés statistiques devpose donc un problème méthodologique conséquent. Par ailleurs, afin de conduire à une forme simple des équations de Navier-Stokes filtrées, l’opérateurGdoit commuter avec les opérations de dérivations spatiale et temporelle. Ainsi, un filtre gaussien normé dont l’écart-type est proportionnel à la taille de la maille locale de discrétisation peut par exemple être considéré. Il est important de noter les propriétés suivantes, liées à la définition de la moyenne spatiale filtrée : v6=vet par conséquentv0=vv6= 0 (4.5)dans le cas général. L’application du filtre spatial aux équations de Navier-Stokes (4.1) conduit au système filtré suivant : (uuαα,it,=(+u0iuα)=ρ1p,i+νui,αα.(4.6) Afin d’exprimer la moyenne filtrée du produit des vitesses en fonction du produit des vitesses filtrées, la décomposition suivante est généralement utilisée : uiuj=uiuj+Lij+Rij,(4.7) avec Lij=uiujuiujetRij=uiu0j+u0iuj+ui0u0j.(4.8) Le termeLijcorrespond aux tensions de Leonard qui peuvent être évaluées directement et le termeRij représente la contribution des tensions de sous-maille. Le système (4.6) ainsi obtenu est ouvert du point de vue des variables filtrées et une représentation de l’effet des échelles non résolues doit être introduite via une modélisation du tenseurRij. Un exemple de fermeture - le modèle de Smagorinsky Le premier modèle de fermeture ou modèle de sous-maille, proposé parSmagorinsky(1963), relie le tenseur des contraintes non résoluesRijaux grandeurs filtrées simulées comme suit : Rij13Rααδij=2νtSijνt= (CsΔ)2q2SαβSαβ.(4.9) δijest le symbole de Kronecker,Csest la constante de Smagorinsky. L’échelle de longueur caractéris-tique est celle du filtreΔet la vitesse caractéristique est estimée grâce au tenseur des taux de déformation moyens : Sij(21=ui,j+uj,i).(4.10) Ce modèle est le plus largement utilisé mais présente le défaut de dissiper trop d’énergie sans assurer sa redistribution dans le cas où les structures non résolues après la troncature spectrale ne sont pas strictement dissipatives3. Dans la littérature, de très nombreux modèles de sous-maille ont été développés pour pallier les limitations du modèle original de Smagorinsky. Pour ne citer que quelques exemples, le modèle mixte deBardinaet al.(1983) autorise une redistribution de l’énergie vers les échelles résolues, le modèle deSchumann(1975) inclut une équation de transport de l’énergie cinétique de sous-maille utilisée pour déterminer la viscosité de turbulenceνt. Plus récemment,Germanoet al.(1991) etGermano (1992) ont introduit le concept de modèle dynamique qui autorise une variation du coefficientCs. Ce 3discrétisations spatiales théoriquement nécessaires ne peuvent pas êtreEn particulier dans les régions pariétales, où les mises en œuvre pour des raisons de coût numérique de résolution.
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2. Différentes approches dans la littérature type d’approche se fonde théoriquement sur l’introduction d’une coupure spectrale “test” en amont de la coupure induite par la discrétisation, où le transfert énergétique peut être évalué, puis transposé au niveau de la coupure effective. Malgré de nombreux développements, parmi les plus récents laVariational Multi-Scale(VMS) LES (Hughes,2000), il semble que la simulation aux grandes échelles ne soit effectivement applicable, pour la prédiction d’écoulements pariétaux autour de géométries réalistes, qu’à des nombres de Reynolds relativement modérés, de l’ordre de104concernant les écoulements autour de surfaces portantes par exemple (Davidsonet al.,2003). Néanmoins, l’utilisation de la LES pour la simulation de ce type d’écoulements, à grands nombres de Reynolds, est envisageable au sein de méthodologies hybrides telles que la DES présentée au§2.5. 2.3 Approches statistiques fondées sur la moyenne de Reynolds Les approches statistiques fondées sur l’utilisation de la moyenne de Reynolds ou moyenne d’ensemble sont les plus largement utilisées y compris dans des contextes industriels. Initialement développées pour la simulation d’écoulements stationnaires (RANS), ces méthodes ont par la suite été étendues au cas instationnaire (URANS). D’un point de vue général, l’avantage de ce type d’approches par rapport aux DNS et LES réside dans le fait que les quantités résolues sont supposées déterministes et ne nécessitent par conséquent pas une capture effective de fluctuations supposées aléatoires, notamment dans les régions de proche-paroi. Une conséquence directe est que les discrétisations spatiales mises en jeu peuvent être significativement plus “larges”. Dans cette section, les équations de Navier-Stokes en moyenne de Reynolds sont présentées dans le cas instationnaire et le problème lié à la fermeture de ce système est détaillé. Des analyses théoriques approfondies d’écoulements turbulents libres et en présence de parois solides ainsi que de leur modélisation statistique sont rapportées dans les ouvrages de référence deChassaing(2000) etDurbin & Pettersson Reif(2001). Equations de Navier-Stokes en moyenne de Reynolds Pour un processus stochastique de dépendance spatio-temporellev, la moyenne d’ensemblevest définie comme suit, dans le cas discret et de dimension finie4: N v(x, t) =N1Xvi(x, t),(4.11) i=1 {vi}représente une famille deNréalisations du processusv. La variable aléatoirevpeut ainsi être décomposée comme suit : v(x, t) =v(x, t) +v0(x, t),(4.12) où la moyenne statistiquevest une quantité déterministe5alors que la fluctuationv0est un processus aléatoire . Par rapport à la moyenne filtrée mise en œuvre en LES, la moyenne d’ensemble présente les propriétés suivantes : v=vet par conséquentv0= 0.(4.13) De plus, l’opérateur de moyenne d’ensemble commute avec les dérivations temporelle et spatiale.vetw étant deux variables stochastiques : vw=v w.(4.14) L’application de l’opérateur de moyenne d’ensemble aux équations de Navier-Stokes dans lesquelles les variables sont décomposées selon (4.12) conduit aux équations de Navier-Stokes en moyenne de Reynolds : α= 0 uut,i,α+ (uiuα)+u0iu0αα=1ρp,i+νu(4.15) i,αα. , La présence du terme temporelui,tet RANS. Dans le cas où la vitessedifférencie les approches URANS est un processus statistiquement stationnaire, ce terme s’annule. De même que dans le cas des équations de Navier-Stokes en moyenne filtrée (LES), un terme supplémentaire associé aux contributions des processus 4rencontrée, que les “expérimentations” soient menées en soufflerie ouCe cas correspond à la situation effectivement numériquement. 5Contrairement à la moyenne filtrée en LES. 51
Chapitre 4. Modélisation d’écoulements pariétaux turbulents instationnaires
non résolus apparaît. Dans le cas où la moyenne de Reynolds est utilisée, ce terme correspond aux moyennes d’ensemble des produits des fluctuations de vitesseui0u0j, nommées tensions de Reynolds ou contraintes turbulentes.
Problème de fermeture Le système d’équations (4.15) est ouvert et une estimation des tensions de Reynolds est nécessaire pour envisager sa résolution. Dans ce contexte, les contraintes turbulentes sont des quantités déterministes qui peuvent être évaluées par différentes approches. D’un point de vue général, deux stratégies peuvent être distinguées pour la représentation de ce terme : – Une simulation desu0iu0jcomme des variables supplémentaires du système physique via des équations aux dérivées partielles spécifiques correspond à l’approche dite au second ordre, – Une modélisation des contraintes turbulentes via une loi constitutive algébrique relative aux gran-deurs moyennes conduit à une approche au premier ordre. L’utilisation d’une loi constitutive pour représenter les tensions de Reynolds implique néanmoins dans la plupart des cas la résolution d’équations aux dérivées partielles supplémentaires utilisées pour l’évaluation locale des échelles caractéristiques de la turbulence à modéliser. Un grand nombre de modèles au premier et second ordres ont été rapportés dans la littérature et divers exemples sont détaillés au§3. Remarque :Les variables physiques mises en jeu dans les équations de Navier-Stokes en moyenne de Reynolds sont des quantités déterministes correspondant à des moyennes d’ensemble. Dans la pratique, l’introduction d’un terme temporel conduit dans la plupart des cas à des solutions instationnaires. Cela signifie que les processus simulés présentent des moyennes statistiques instationnaires, y compris dans des configurations théoriquement stationnaires du point de vue de la moyenne d’ensemble comme, par exemple, l’écoulement en aval d’un obstacle dans un domaine muni des conditions aux limites station-naires. Dans ce cas, la dérivée temporelle présente dans les équations en moyenne de Reynolds devrait s’annuler, ce qui n’est généralement pas le cas. Cette incertitude quant à la nature de l’opérateur sta-tistique effectivement mis en œuvre dans l’approche URANS a notamment été soulignée parCarpy & Manceau(2006) qui remarquent cependant que d’une manière générale, les résultats obtenus par moyenne temporelle de simulations URANS sont en meilleur accord avec l’expérience que ceux issus de l’approche RANS. Ce point faible dans la définition de la méthodologie URANS justifie le développement d’ap-proches statistiques avancées fondées sur l’utilisation de moyennes conditionnelles comme l’approche OES présentée dans la section suivante.
2.4 Approches statistiques avancées - Organised Eddy Simulation Dans le contexte de la simulation d’écoulements présentant des structures spatio-temporelles organi-sées liées par exemple à un échappement tourbillonnaire, la méthodologie OES (Dervieuxet al.,1998; Hoarau,2002;Brazaet al.,2006) repose sur une décomposition des processus physiques aléatoires en un terme moyen déterministe associé à la partie cohérente des processus, et un terme aléatoire associé aux fluctuations chaotiques autour de la partie moyenne. Du point de vue spectral, cette décomposition conduit à une séparation du spectre d’énergie cinétique turbulente en deux parties, de même que la simu-lation aux grandes échelles. Cependant, dans le cas de l’OES, cedual spectrum splittingne consiste pas à simuler les processus de plus basses fréquences et modéliser la région dissipative. En effet, comme illustré sur la figure4.1, le ou les pics associés à la présence de structures organisées dans l’écoulement corres-pondent à la partie résolue alors que le spectre résiduel s’entendant continûment des basses aux hautes fréquences est modélisé. Compte tenu de la nature du spectre associé aux processus non résolus (spectre continu sur l’ensemble des nombres d’ondes), l’utilisation des concepts de modélisation statistique semble adaptée à la prise en compte de l’effet de ces quantités fluctuantes sur les processus organisés (Brazaet al., 2006). Néanmoins, il apparaît que la présence de structures cohérentes dans l’écoulement conduit à une modification importante de la forme du spectre d’énergie cinétique turbulente par rapport au spectre en équilibre décrit par la théorie deKolmogorov(1941). D’une part, les structures organisées se traduisent par l’apparition d’un ou plusieurs pics dans le spectre pour des longueurs d’ondes ou fréquences carac-téristiques de ces structures. D’autre part, la présence de structures cohérentes induit une modification de la pente du spectre dans la zone inertielle en principe décrite par la loi enκ5/3κreprésente le nombre d’onde. Ce phénomène a été quantifié expérimentalement comme en attestent les spectres obtenus
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2. Différentes approches dans la littérature
Fig.4.1 – Représentation schématique de la décomposition spectrale considérée dans le cadre de l’ap-proche OES : la distinction entre les parties résolue et modélisée se fonde sur le caractère organisé (marqué par la présence de pics dans le spectre) ou aléatoire des processus considérés. La partie (2) correspond aux processus à modéliser en mettant en œuvre des modèles de turbulence statistiques avancés pour prendre en compte la modification spectrale liée à la présence de structures cohérentes dans l’écoulement. Pour comparaison, la décomposition considérée en LES est également présentée, d’aprèsBrazaet al.(2006).
à partir de mesuresLaser Doppler Velocimetry(LDV) (Djeridiet al.,2003) etParticle Image Velocimetry (PIV) (Brazaet al.,2006) dans le proche sillage d’un cylindre circulaire pour un nombre de Reynolds égal à1.4×105(figure4.2). Par conséquent, une modélisation efficace des processus aléatoires en présence de structures organisées doit se fonder sur une reconsidération des échelles de la turbulence par rapport aux fermetures statistiques classiques (RANS), adaptées aux écoulements présentant une turbulence en équilibre. Ce point sera abordé au§3.2où les modifications de certains modèles de turbulence classiques dans le contexte de l’OES seront présentées. Capturer les structures cohérentes - la moyenne de phase Un point important de la définition de l’approche OES est le choix de la moyenne conditionnelle considérée pour “extraire” les processus cohérents. Dans le cas d’écoulements présentant un fort caractère (quasi-)périodique, qu’il s’agisse de configurations où la périodicité est forcée par exemple par le tan-gage d’une aile, ou d’une périodicité apparaissant en raison de l’amplification d’instabilités naturelles, la moyenne de phase peut être adoptée. Dans ce contexte, un processus stochastiquevpeut être décomposé selon l’approche suggérée parReynolds & Hussain(1972) comme suit : v(x, t) =v(x) +v˜ (x, t) +v0(x, t),(4.16) vreprésente la moyenne temporelle stationnaire,v˜est une quantité déterministe représentant l’évolu-tion périodique devetv0désigne la partie fluctuante aléatoire. Un regroupement des termes déterministes conduit à la décomposition en moyenne de phase (Cantwell & Coles,1983) telle que : v(x, t) =hvi(x, t) +v0(x, t),(4.17)
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Chapitre 4. Modélisation d’écoulements pariétaux turbulents instationnaires
Fig.cinétique turbulente obtenus à partir de données4.2 – (a) Comparaison des spectres d’énergie LDV et PIV. (b) Spectres d’énergie cinétique turbulente obtenus à partir de données PIV avant et après 5 l’opération de moyenne de phase. Mesures dans le sillage proche d’un cylindre circulaire àRe= 1.4×10, d’aprèsBrazaet al.(2006).
(4.18)
h∙idésigne l’opérateur de moyenne de phase définie par : , t) 1Nvi(x, t), hvi(x=NX i=1 {vi}représente une famille deNréalisations en phase6du processusv. Equations de Navier-Stokes en moyenne de phase L’opérateur de moyenne de phase (4.18) possède les mêmes propriétés que la moyenne de Reynolds, en particulier : hhvii=hvi,hv0i= 0ethhviwi=hvihwi,(4.19) pour deux processus aléatoiresvetw. Remarque :Sidésigne la moyenne temporelle :hvi=vethviv0= 0. Ainsi, si les quantités résolues correspondent aux moyennes de phase des processus aléatoires, la moyenne temporelle peut être simple-ment calculée a posteriori pour comparaison avec des résultats expérimentaux par exemple. Comme l’opérateur de moyenne d’ensemble, l’opérateur de moyenne de phase commute avec les déri-vations temporelle et spatiale. Les équations de Navier-Stokes en moyenne de phase s’écrivent donc : (huαi= 0ρhpi,i+νhuii,αα.(4.20) huii,t+ (huiihuαi)+ (hu0iu0αi)=1 Ce système d’équations est le même que celui obtenu par l’approche URANS. Néanmoins, en tenant compte des remarques précédentes concernant la modification du spectre d’énergie cinétique turbulente sous l’effet des structures organisées, les fermetures classiquement utilisées pour estimer les tensions turbulentes devront être reconsidérées pour la modélisation des corrélations doubles des fluctuations de vitesse en moyenne de phase (cf.§3.2). Généralisation de la moyenne de phase La moyenne conditionnelle actuellement utilisée pour définir l’OES est la moyenne de phase. Cette moyenne présente l’avantage de conduire à une formulation des équations de Navier-Stokes identique à 6Selon les cas (instationnarité naturelle ou forcée), la détermination d’une procédure de mise en phase peut être délicate.
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