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Bourguet

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première

• mémoire

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• représentation fidèle des données de référence


• validation de l'approche sur le modèle


• analyse de l'instabilité de von kármán


• base pod robuste


• modèle réduit

Sujets

• Première
• Mémoire
• Maquette

Informations

• Publié par: profil-mazor-2012
• Nombre de lectures: 11
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 7 Mo

Extrait

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Chapitre 8

Analyse de la robustesse des mode`lesPOD-Galerkin-vers l’optimisation de forme

Aperçu 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 2 Analyse de l’instabilité de von Kármán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 2.1 Analyse de stabilité linéaire fondée sur le modèle réduit . . . . . . . . . . . . . 184 2.2 Amélioration du modèle réduit - ajout d’unshift mode 187. . . . . . . . . . . . . . 3 Robustesse du ROM vis-à-vis d’une variation du nombre de Reynolds . . 189 3.1 Base POD robuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 3.2 Modification du nombre de Reynolds dans le ROM . . . . . . . . . . . . . . . . 191 3.3 Prédiction des états intermédiaires grâce au ROM . . . . . . . . . . . . . . . . 192 4 Robustesse du ROM vis-à-vis d’une modification de la forme . . . . . . . . 194 4.1 Modifier la forme du profil dans le ROM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 4.2 Validation de l’approche sur le modèle “haute-fidélité” . . . . . . . . . . . . . . 196 4.3 Analyse de la robustesse du ROM pour l’optimisation de forme . . . . . . . . . 197 5 Conclusion - le ROM comme outil de prédiction . . . . . . . . . . . . . . . . 204

1 Introduction L’objectif principal de la méthode de modélisation de dimension réduite développée dans le cadre de cette étude est son intégration au sein de processus itératifs tels que des boucles d’optimisation de forme, ou encore au sein de simulations multi-disciplinaires, en particulier en interaction fluide-structure. Dans ces contextes où de nombreuses simulations successives d’écoulements complexes sont nécessaires ou lorsqu’une réponse en temps réel est attendue, l’utilisation de modèles d’ordre faible semble inévitable. Afin que l’approche décrite dans ce mémoire trouve une application dans le cadre de ces problématiques, il est nécessaire qu’elle conduise à : – une représentation fidèle des données de référence utilisées pour construire le modèle réduit, – une prédiction efficace des dynamiques “voisines” des configurations de référence. Le premier point a été traité aux chapitres6et7a en effet été montré que l’approche POD-Galerkin. Il pouvait conduire à une estimation pertinente des états de référence même dans des cas non-strictement périodiques incluant éventuellement des évènements rares. Le second point fait l’objet de ce chapitre, l’objectif étant ici d’examiner la robustesse de la méthode vis-à-vis de variations paramétriques de la configuration étudiée. Dans la littérature, les modèles d’ordre réduit fondés sur la décomposition aux valeurs propres ont fait l’objet de nombreuses applications dans le domaine du contrôle d’écoulements notamment, où ils ont pu être substitués avec succès aux modèles HF (Ravindran,2000, par exemple). Afin d’assurer une certaine représentativité de la base POD, lorsque les dynamiques fondamentales sont modifiées par la variation

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Chapitre 8. Analyse de la robustesse des modèles POD-Galerkin - vers l’optimisation de forme

d’un paramètre de l’écoulement, plusieurs stratégies ont été développées. L’utilisation de bases POD construites une fois pour toutes à partir de différentes bases de données 1 a été considérée (Grahamet al., 1999a;Bergmannet al.,2005) et appliquée pour le contrôle optimal du sillage laminaire d’un cylindre circulaire oscillant. Dans ce contexte, la méthode procédant par définition de régions de confiance ou Trust-RegionPOD (TRPOD), utilisée notamment parArianet al.(2000), présente l’avantage d’assurer la convergence de la solution optimale obtenue par le modèle réduit vers la solution du problème mettant en jeu le modèle HF. Quelle que soit la méthodologie mise en œuvre pour accroître la pertinence du sous-espace de projection, l’idée directrice est que la sensibilité du modèle réduit doit être fidèle à celle du modèle physique complexe pour la variation d’un paramètre donné de l’écoulement, ce paramètre pou- vant correspondre à l’intensité de l’activation d’un dispositif de contrôle, à la forme du domaine physique considéré, à la valeur du nombre de Reynolds, à la température ou l’incidence d’une aile, par exemple. Dans ce chapitre, la question de la robustesse du modèle POD-Galerkin est abordée sous plusieurs angles. Au§3, la capacité du ROM à prédire l’évolution des dynamiques prédominantes de l’écoulement lorsque le nombre de Reynolds est modifié est examinée dans le cas de l’écoulement transsonique autour d’un profil d’aile de type NACA0012 à incidence nulle étudié au chapitre6. Différentes méthodes sont envisagées et comparées pour introduire cette variation paramétrique dans le modèle réduit. Au§4, une seconde étude paramétrique est menée dans la perspective d’une intégration d’un modèle réduit POD- Galerkin dans un processus d’optimisation de forme. Dans ce sens, une stratégie est proposée pour la prise en compte de la variation de la forme du profil d’aile dans le système dynamique d’ordre faible. Cette méthode est en premier lieu évaluée sur le modèle HF, puis les résultats obtenus via le ROM sont comparés à ces données de référence. Dans une section préliminaire (§2), une analyse de stabilité linéaire est proposée via le modèle réduit quant à l’apparition de l’instabilité de von Kármán sous l’effet d’une augmentation du nombre de Mach. Cette brève étude a pour objectif l’évaluation des capacités prédictives du ROM au cours de la phase transitoire de croissance de l’instabilité. Cette analyse permet de pointer certaines limites de la méthode et de proposer des solutions pour accroître sa précision dans ce contexte.

2 Analyse de l’instabilité de von Kármán L’écoulement incompressible autour d’un profil d’aile de type NACA0012 à incidence nulle est station- naire pour des nombres de Reynolds modérés de l’ordre de[0.5,1]×10 4 . Sous l’effet d’une augmentation du nombre de Mach, l’épaississement des couches limites en aval des régions d’accélération conduit à une augmentation de la taille des bulbes de recirculation près du bord de fuite. Une légère ondulation du sillage apparaissant pour des nombres de Mach de l’ordre de0.2−0.3conduit à une déstabilisation de ces régions tourbillonnaires et au déclenchement de l’instabilité de von Kármán. Une analyse physique détaillée de ce phénomène induit par la compressibilité de l’écoulement a été rapportée parBouhadji & Braza(2003a,b). Dans cette section, une analyse de stabilité linéaire globale d’un tel écoulement est proposée en utilisant le ROM comme modèle physique de référence. Dans la littérature, ce type d’études fondées sur des approches d’ordre faible a été mené dans le cas d’écoulements bidimensionnels incom- pressibles autour de cylindres de section circulaire (Bergmann,2004, par exemple) et de section carrée (Gallettiet al.,2007). Suite à l’analyse de stabilité linéaire relative à l’apparition de l’échappement tour- billonnaire de von Kármán, une stratégie d’amélioration du ROM pour une meilleure prédiction du régime transitoire est présentée.

2.1 Analyse de stabilité linéaire fondée sur le modèle réduit L’analyse de stabilité linéaire d’un système dynamique autonome 2 consiste à étudier l’évolution du caractère stable ou instable de ses points d’équilibre lorsqu’un paramètre physique du système 3 est mo- difié. Le système correspondant au modèle réduit développé au chapitre6(6.52) peut être écrit sous la forme suivante, pour un paramètre du système physique fixéκ: ˙ a=f(a, κ),(8.1) 1 Ou encore de différentes excitations du paramètre de contrôle. 2 système ne dépend pas explicitement du temps.Autonome signifie que le second membre du 3 Ce paramètre correspond ici au nombre de Mach.

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