STI Génie électronique, électrotechnique, optique

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ STI Génie électronique, électrotechnique, optique \ Métropole septembre 2003 L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Toutes les questions sauf la question 2. d. peuvent être traitées par toutes les spé- cialités de STI et STL. EXERCICE 1 5 points 1. a. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes C l'équation d'incon- nue z : z2?2z+4= 0. Ondésignepar z1 la solutiondepartie imaginaire positive et par z2 l'autre solution. b. Déterminer le module et un argument de chacune des solutions. c. En déduire le module et un argument de z21 et de z 2 2 ; calculer ces deux nombres sous forme algébrique. 2. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal ( O, ?? u , ?? v ) d'unité gra- phique 1 cm. On désigne par A, B, A? et B? les points d'affixes respectives : zA = 1+ i p 3 ; zB = 1? i p 3 ; zA? =?2+2i p 3 et zB? =?2?2i p 3. a. Placer ces points dans le plan complexe. b. Déterminer et justifier la nature du quadrilatère AA?B?B. c. Soit? le point d'affixe ?2. Calculer les distance?A et?A?. En déduire que les points A, B, A? et B? sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

• solution particulière


• spé- cialités de sti


• question après question


• sti génie


• solution de l'équation différentielle


• affixe des images


• génie électronique

Sujets

• Terminale
• Électronique

Informations

• Publié par: apmep
• Date de parution: 01 septembre 2003
• Nombre de lectures: 15
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[STI Génie électronique, électrotechnique, optique\ Métropole septembre 2003

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Toutes les questions sauf la question 2. d. peuvent être traitées par toutes les spé cialités de STI et STL.

E X E R C IC E points1 5 1. a.Résoudre dans l’ensemble des nombres complexesCl’équation d’incon nuez:

2 z−2z+4=0. On désigne parz 1 la solution de partie imaginaire positive et parz 2 l’autre solution. b.Déterminer le module et un argument de chacune des solutions. 2 2 c.En déduire le module et un argument dezet dez; calculer ces deux 1 2 nombres sous forme algébrique. ³ ´ −→−→ 2.O,Le plan complexe est muni d’un repère orthonormalu,vd’unité gra phique 1 cm. ′ ′ On désigne par A, B, Aet Bles points d’affixes respectives :

i 3 ;z=1−i 3 z A =1+ B ;z A = −2+2i 3 etz= −2−2i 3. ′ ′ B a.Placer ces points dans le plan complexe. ′ ′ b.Déterminer et justifier la nature du quadrilatère AA B B. c.SoitΩle point d’affixe−2. ′ Calculer les distanceΩA etΩA . ′ ′ En déduire que les points A, B, Aet Bsont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 2π 3.Soit R la rotation de centre O et d’angle. 3 ′ Calculer l’affixe des images de chacun des points B et Apar la rotation R. Que remarqueton ?

E X E R C IC E 2 4points C Le circuit électrique représenté cicontre est constitué d’un condensateur parfait de capacité C exprimée en farads, d’un résistor de résistance R exprimée en ohms et d’un interrupteur K. À l’ins tantt=0, on ferme l’interrupteur K et le conden R K sateur, initialement chargé, se décharge dans le circuit. Dans tout l’exercice l’unité de temps est la seconde.

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A. P. M.E. P.

On noteu(t) la valeur, exprimée en volts, de la tension aux bornes du condensateur à l’instanttexprimé en secondes. On définit ainsi une fonctionusur l’intervalle [0,+∞[. On admet que cette fonction est dérivable sur cet intervalle et est solution de l’équation différentielle (E)

1 ′ y+y=0. RC −4 4 Dans tout l’exercice on prend pour valeurs numériques C = 10et R = 10, l’équa tion différentielle (E) est donc

′ y+y=0. 1. a.Résoudre l’équation différentielle (E). b.Déterminer la solution particulièreude (E) vérifiantu(0)=12. 2.On admet queuest la fonction définie sur l’intervalle [0,+∞[ par

−t u(t)=12e . a.Calculert 1 , la valeur exacte de l’instant à partir duquel la tensionu(t), exprimée en volts, est inférieure ou égale à 0,6. −2 b.Donner une valeur approchée det 1 près, par excès.à 10 3.L’énergie emmagasinée dans le condensateur, exprimée en joules, a pour va leur à l’instantt 1 2 W(t)=C×[u(t)] . 2 On définit ainsi une fonctionWsur l’intervalle [0 ;+∞[. Calculer la valeur moyenne W m de cette fonction entre les instantst=0 ett=2. −5 On en donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10près par défaut.

P R O B L È M E Dans tout le problème, I désigne l’intervalle ]0 ;+∞[

Partie A : étude d’une fonction auxiliaire

Soitgla fonction définie sur l’intervalle I par

11 points

2 g(x)=1−x−lnx. ′ On notegsa fonction dérivée. ′ 1.Pour toutxde l’intervalle I, calculerg(x) et préciser son signe. 2.Dresser le tableau de variations degsur I (on ne demande pas les limites aux bornes de I). 3. a.Calculerg(1). b.En déduire le signe deg(x) pourxappartenant à l’intervalle I.

Partie B : étude d’une fonction Soit la fonctionfdéfinie sur I par :

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lnx f(x)= −x+3+. x

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A. P. M.E. P.

³ ´ −→−→ On appelleCO,sa courbe représentative dans un repère orthonormalı,du plan, d’unité graphique 2 cm. 1.étudier la limite defen 0 et déduire l’existence d’une asymptote à la courbe C. 2. a.Déterminer la limite defen+∞. ³ ´ −→−→ b.SoitDla droite d’équation :y= −x+3 dans le repèreO,ı,. Montrer que la droiteDest asymptote à la courbeC. c.urbeDéterminer les coordonnées du point P, intersection de la coCet de la droiteD. d.Déterminer la position de la courbeCpar rapport à la droiteD. ′ 3.On notefla fonction dérivée de la fonctionf. a.Montrer que pour tout réelxde l’intervalle I g(x) ′ f(x)=. 2 x oùgest la fonction définie à lapartie A. ′ b.En déduire le signe def(x). c.Dresser le tableau de variations de la fonctionfsur l’intervalle I (on pré cisera les limites aux bornes de I). 4. a.Justifier que l’équationf(x)=0 admet des solutionsαetβtelles que 0, 1<α<1 et 3<β<4. b.à l’aide d’une calculatrice, donner un encadrement d’amplitude 0,1 des deux valeursαetβ. 5.Calculer les coordonnées du point Q de la courbeCoù la tangente est paral lèle àD. 6.Représenter la courbeCet la droiteD. On fera figurer les points P et Q.

Partie C : calcul d’aire

1.Calculer la dérivée de la fonctionhdéfinie sur l’intervalle I par :

2 h(x)=(lnx) .

2.Calculer en unités d’aire, la valeur de l’aire de la partie du plan limitée par la courbeC, la droiteDet les droites d’équationsx=1 etx=e.

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