AO 102 Syst`emes Dynamiques

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AO 102 Systemes Dynamiques Stabilite et Commande Cours et exercices corriges Edition 2011/2012 Frederic JEAN
  • loi d'evolution
  • equations differentielles
  • ordinaires lineaires
  • topologie des espaces metriques
  • modeliser des phenomenes evoluant dans le temps
  • continuite des applications lineaires en dimension finie
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Publié le : lundi 26 mars 2012
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Source : ensta-paristech.fr
Nombre de pages : 203
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AO 102
Syst`emes Dynamiques
Stabilit´e et Commande
Cours et exercices corrig´es
´Edition 2011/2012
Fr´ed´eric JEANTable des mati`eres
Avant-propos......................................................VII
1 Calcul diff´erentiel .............................................. 1
1.1 Applications diff´erentiables .................................... 1
1.2 Accroissements finis .......................................... 5
1.3 D´eriv´ees d’ordres sup´erieurs ................................... 8
1.4 Inversion locale et fonctions implicites .......................... 10
1.5 Et en dimension infinie?....................................... 14
1.6 Exercices corrig´es ............................................ 15
´2 Equations diff´erentielles lin´eaires autonomes ................... 25
2.1 Approche ´el´ementaire......................................... 25
2.2 Exponentielle de matrices ..................................... 27
2.3 Calcul de l’exponentielle de matrices............................ 29
2.4 Forme des solutions .......................................... 36
2.5 Exercices corrig´es ............................................ 42
´3 Equations diff´erentielles lin´eaires............................... 59
3.1 Existence et unicit´e globales ................................... 59
3.2 La r´esolvante ................................................ 61
3.3 Quelques propri´et´es de la r´esolvante ............................ 63
´3.4 Equations affines ............................................. 68
´3.5 Equations lin´eaires p´eriodiques................................. 69
3.6 Exercices corrig´es ............................................ 72
4 Th´eorie g´en´erale des ´equations diff´erentielles................... 81
4.1 Existence et unicit´e........................................... 82
4.2 Solutions maximales et dur´ee de vie ............................ 84
4.3 Flots, portraits de phase ...................................... 88Table des mati`eres
4.4 Lin´earisation et perturbation du flot ............................ 91
4.5 Exercices corrig´es ............................................ 99
5 Stabilit´e des ´equilibres .........................................117
´5.1 Equilibres et stabilit´e .........................................117
5.2 La stabilit´e par la lin´earisation.................................119
5.3 Fonctions de Lyapunov .......................................123
5.4 Exercices corrig´es ............................................128
6 Commande des syst`emes.......................................143
6.1 Syst`emes command´es .........................................143
6.2 Lin´earisation des syst`emes.....................................145
6.3 Commandabilit´e (relation entr´ee/´etat) ..........................148
6.4 Observabilit´e (relation ´etat/sortie) .............................152
6.5 Stabilisation .................................................154
6.6 Exercices corrig´es ............................................156
A Espaces vectoriels norm´es et th´eor`emes du point fixe ..........173
A.1 Topologie des espaces m´etriques................................173
A.2 Espaces vectoriels norm´es .....................................174
A.3 Th´eor`emes du Point Fixe......................................175
A.4 Cons´equence pour l’inversion locale et les fonctions implicites ......177
B Forme normale des syst`emes commandables....................181
´B.1 Equations diff´erentielles scalaires d’ordre n ......................181
B.2 Forme normale : cas m = 1 ....................................184
B.3 Forme normale : cas g´en´eral ...................................186
B.4 D´emonstration du th´eor`eme 6.7 ................................188
Bibliographie ......................................................191
Index..............................................................193
VIAvant-propos
Les syst`emes dynamiques sont les notions math´ematiques qui permettent de
mod´eliser des ph´enom`enes ´evoluant dans le temps, ces ph´enom`enes pouvant
provenirdelaphysique,lam´ecanique,l’´economie,labiologie,l’´ecologie,lachimie...
Un syst`eme dynamique est constitu´e d’un espace de phases, l’espace des´etats pos-
sibles du ph´enom`ene convenablement param´etr´e, muni d’une loi d’´evolution qui
d´ecrit la variation temporelle de l’´etat du syst`eme. Dans le cadre choisi ici, celui
de lois d´eterministes en temps continu, cette loi d’´evolution prend la forme d’une
´equation diff´erentielle.
La r´esolution explicite, ou mˆeme approch´ee, d’une ´equation diff´erentielle est en
g´en´eral impossible, les m´ethodes num´eriques permettant seulement de calculer sur
un intervalle de temps fini une solution correspondant `a des conditions initiales
donn´ees. La th´eorie vise donc plutoˆt une ´etude qualitative des ph´enom`enes et
cherche en particulier `a en comprendre l’´evolution `a long terme.
Le cours « Syst`emes Dynamiques: Stabilit´e et Commande » a deux objectifs.
Le premier est d’aborder l’´etude g´en´erale des syst`emes dynamiques r´egis par des
´equationsdiff´erentiellesordinaires.L’accentestmisprincipalementsurlanotionde
stabilit´edontl’importance,pourdenombreuxprobl`emespratiques,estcomparable
a` celle de la connaissance effective des solutions.
Ledeuxi`emeobjectifestdepr´esenteruneintroduction`alacommandedessyst`emes
dynamiques, c’est-`a-dire `a l’automatique. Il s’agit en particulier d’´etudier, dans le
cadredel’automatiquelin´eaire,lesnotionsessentiellesquesontlacommandabilit´e,
l’observabilit´e et la stabilisation.
Chaque chapitre est constitu´e d’une part de notes de cours et d’autre part
d’exercices suivis de leurs corrig´es. Les deux parties sont d’´egale importance. En
effet, les notes de cours sont volontairement r´edig´ees dans un style assez th´eorique,
les exemples et les applications´etant pr´esent´es dans les exercices. Ceux-ci contien-
nent aussi beaucoup de m´ethodes classiques d’analyse des syst`emes dynamiques
ainsi qu’un certain nombre de r´esultats annexes.Avant-propos
`Aquelquesexceptionspr´es,lesr´esultats sontaccompagn´esdeleurpreuve.Lorsque
celle-ci n’est pas utile `a la compr´ehension du cours ou est trop difficile, elle est
pr´ec´ed´ee du symbole *. Le mˆeme traitement (symbole *) est appliqu´e aux par-
ties les plus avanc´ees du document, qui peuvent ˆetre ignor´ees lors d’une premi`ere
lecture.
Le plan de cet ouvrage est le suivant.
Le chapitre 1 est consacr´e au calcul diff´erentiel : application lin´eaire tangente,
th´eor`emes d’inversion locale et des fonctions implicites... Ces concepts sont
n´ecessaires pour la partie du cours qui concerne la lin´earisation, mais leur utilit´e
d´epasse largement le cadre des ´equations diff´erentielles.
Une deuxi`eme partie traite des ´equations diff´erentielles ordinaires lin´eaires, au-
tonomes dans un premier temps (chapitre 2), puis non autonomes (chapitre 3).
Cette partie permet d’aborder dans un cadre plus simple des th`emes importants
pour la suite : ´etude des portraits de phase et du comportement asymptotique des
solutions, ainsi qu’exponentielle de matrice et r´esolvante, qui pr´efigurent la notion
de flot.
L’´etude de la stabilit´e des ´equations diff´erentielles ordinaires non lin´eaires fait
l’objet d’une troisi`eme partie. On commence par pr´esenter au chapitre 4 les
´el´ements fondamentaux de la th´eorie g´en´erale des ´equations diff´erentielles, puis
le chapitre 5 est consacr´e `a l’´etude de la stabilit´e des´equilibres. On montre en par-
ticulier comment celle-ci peut se r´eduire dans certains cas `a l’´etude de la stabilit´e
des ´equations diff´erentielles ordinaires lin´eaires, `a l’aide d’une technique dite de
lin´earisation.
Enfin, le chapitre 6 pr´esente une introduction `a l’automatique. On y voit d’abord
comment se ramener, par lin´earisation `a des syst`emes command´es lin´eaires, puis
on aborde, dans le cadre de l’automatique lin´eaire, les probl`emes de l’analyse du
comportement dynamique d’un syst`eme et de la synth`ese des lois de commande.
Deux annexes viennent compl´eter cet ouvrage, l’une comprenant des rappels et
pr´ecisions sur les espaces de Banach, l’autre traitant des ´equations diff´erentielles
d’ordre sup´erieur `a un et de leur lien avec la notion de commandabilit´e.
Cette organisation est un peu diff´erente de celle de l’enseignement (cours magis-
traux et petites classes) tel qu’il sera donn´e cette ann´ee, les s´eances de cours ´etant
r´eparties de la fa¸con suivante :
1. calcul diff´erentiel (chapitre 1),
2. th´eorie g´en´erale des ´equations diff´erentielles (sections 4.1, 4.2 et 4.3),
3. ´equations lin´eaires autonomes (chapitre 2),
4. lin´earisation et ´equations lin´eaires non-autonomes (section 4.4 et chapitre 3),
5. stabilit´e (chapitre 5),
6. commande des syst`emes (chapitre 6).
VIIIAvant-propos
Le contenu en est cependant le mˆeme et on esp`ere que ces deux fac¸ons diff´erentes
d’aborder le sujet en faciliteront la compr´ehension.
Enfin, ce cours a ´et´e cr´e´e `a l’ENSTA il y a plus de 10 ans par Rapha¨el Krikorian
sous le titre « Lin´earisation et stabilit´e des ´equations diff´erentielles ». Le pr´esent
documentdoitbeaucoup`aceluiqu’ilavaitr´edig´e,etjel’enremercie.Denombreux
charg´es de travaux dirig´es ont particip´e tout au long de ces ann´ees `a cet enseigne-
ment, chacun y ayant apport´e des am´eliorations. Je leur en suis tr`es reconnaissant,
tout particuli`erement au premier d’entre eux, J´erˆome Perez, qui a propos´e nom-
bre d’exercices de cet ouvrage, et aux derniers arriv´es, Maxence Cassier, Nicolas
Chaulet et Zhiping Rao, qui ont effectu´e un gros travail de relecture et de correc-
tion.
IX1
Calcul diff´erentiel
Pour simplifier l’expos´e, nous avons choisi de pr´esenter les principales notions du
calcul diff´erentiel dans le cadre des espaces vectoriels de dimension finie. Tout au
long de ce chapitre, les espaces vectoriels (not´es E, F, G) que nous consid´ererons
seront donc suppos´es de dimension finie. Nous expliquerons cependant `a la fin du
chapitre, dans la section 1.5, comment ´etendre ces outils a` un cadre plus g´en´eral,
celui des espaces de Banach.
Ce chapitre (et ceux qui suivent!) n´ecessite quelques connaissances de topologie
(normes, continuit´e,...). Nous avons choisi de les regrouper en annexe dans les
sections A.1 et A.2.
1.1 Applications diff´erentiables
Dans tout ce qui suit, E et F sont deux espaces vectoriels de dimension finie,
U ⊂ E est un ouvert de E, a ∈ U est un point et f : U ⊂ E → F est une
application.
D´efinition 1.1. Nousdironsquef estdiff´erentiableenas’ilexisteuneapplication
lin´eaire L :E→F telle que, pour tout v v´erifiant a+v∈U, on ait :a
f(a+v) =f(a)+L (v)+kvkε(v),a
ou` lim kε(v)k = 0 (on notera alors kvkε(v) =o(kvk)).v→0
Sielleexiste,l’applicationlin´eaireL estunique(exercice:v´erifiez-le).Onl’appellea
la diff´erentielle de f en a – ou l’application lin´eaire tangente `af ena – et on note
L =Df(a).a
Insistonssurlefaitqueladiff´erentielleestuneapplicationlin´eaireDf(a) :E→F.
C’est donc un ´el´ement deL(E,F), l’ensemble des applications lin´eaires deE dans
F,quiestunespacevectorieldedimensionfinie.NousnoteronsDf(a)·v l’imagede1 Calcul diff´erentiel
v∈E par cette application; cette expressionDf(a)·v se lit donc« la diff´erentielle
de f au point a appliqu´ee au vecteur v ».
Remarque 1.1. Une application diff´erentiable en a est ´egalement continue en a.
C’est une cons´equence directe de la d´efinition ci-dessus et de la continuit´e des
applications lin´eaires en dimension finie (voir `a ce propos la section 1.5).
Donnons quelques cas importants de calcul de diff´erentielle.
• Fonction r´eelle de la variable r´eelle. Pour une fonction f : R → R, la d´eriv´ee
usuelle est d´efinie comme
f(t +h)−f(t )0 0′f (t ) = lim ,0
h→0 h
ce qui est ´equivalent `a l’existence du d´eveloppement limit´e
′f(t +h) =f(t )+hf (t )+o(h).0 0 0
Ainsi, dans ce cas, diff´erentiable ´equivaut `a d´erivable et la diff´erentielle est
′l’application lin´eaire Df(t ) :h →hf (t ) deR dansR. La d´eriv´ee s’obtient a`0 0
′partir de la diff´erentielle par f (t ) =Df(t )·1.0 0
• Fonction vectorielle de la variable r´eelle. Consid´erons maintenant une fonction
f : R → F. Comme dans l’exemple pr´ec´edent, la division par h est possible.
La diff´erentiabilit´e de f en t ´equivaut `a l’existence de la limite0
f(t +h)−f(t )0 0 ′lim =f (t )∈F,0
h→0 h
(vecteur d´eriv´e ou vecteur vitesse de f en t ), et la diff´erentielle Df(t ) est0 0
′ ′l’application lin´eaire h →hf (t ) deR dans F. On a aussi f (t ) =Df(t )·1.0 0 0
• Les applications lin´eaires. Si f : E → F est une application lin´eaire, sa
diff´erentielle en tout point a ∈ E est ´egale `a elle-mˆeme : Df(a) = f. En
effet, par lin´earit´e, f(a+v) =f(a)+f(v).
• Diff´erentielle de l’inverse. Consid´erons l’application
Φ : GL (R)⊂M (R)→M (R)n n n
−1M →M ,
ou`M (R) est l’espace vectoriel des matrices carr´eesn×n `a coefficients r´eels etn
GL (R) le sous-ensemble des matrices inversibles. Rappelons que GL (R) estn n
un ouvert deM (R).n
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