Continuité, Limites Cours 1

De
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Publié le : mercredi 6 février 2013
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T ES1
f I R
f
..................
.............................................................................................
............................................. .............................................
............................................. .............................................
x R E(x)
x∈ n;n+1 n∈Z E(x) = n
E(2,1) = ...... E(3,9) = ...... E(−1,8) = ...... E(......) =−5
pr?c?den
traduit
tin
on
in
sauts",
de
de
t
faire
Con
"sans
une
on",
fonction
y
le

Exemple
le
1
er
Langage
lev

"sans
un
dire

?
trait

(b
),
Exemple
Un
en

e
tre-exemple

:
tin
la
uit?-Limites
fonction
la
partie
1.1
en
graphique
ti?re
d?nie
D?nition
terv
1
Lorsque

de

trace
partie
tin
en
[,
ti?re
graphique
La
Sur
fonction
1
partie
que
en
disan
ti?re
.
asso
2

tuitiv
?
id?e
tout
Cours
nom
Con
bre
uit?-Limites
Sur
tin
de
1
le
de
un

nom
uit?
bre
Appro
graphique
he
pr?c?den
Soit
t,
foncion
on
sur
tel
in
que
alle
:
.
si
la
a
e
que
la
[
se
que
d'un
a

on
u,
t,
F
1
1.2.............................................
.......................................
f a;b f
f(a) f(b)
k f(a) f(b)
.............................................................................................
f(x) = k ......................................................
Ou
il
:
,

et
repr?sen
tre
aleurs
en
tin

ti?re,
bre
le
nom
admettrons
tout
1.3
our
fonction
p
en
que
phrases
signie
la
Cela
an
1
Repr?sen
Remarque
que
.
term?diaires
et
des
2
ue
existe
n'est
en

sur
aleur
est
v
fonction
toute
an
seule

une
partie
et
graphique
fois
tracer
une
?re
prend
graphique
alors
les


[
l'?quation
alle
Nous
terv
in
l'in
v
de
Th?or?me
monotome
sur
t
tin

pas
et
ti?re
ue
partie
tin
La

ue
fonction

une
ti?re
est
partie
Si
La
monotone.
tes
t
suiv

les

puis
term?diaire,
en
in
fonction
aleurs
de
v
tation
des
la
Th?or?me
t
1
suiv
Th?or?me
rep
ts.
Dans
an
tation
suiv
th?or?mes
en
tref a;b f
f a;b
2 3 4lim x =··· lim x =··· lim x =···
x→+∞ x→+∞ x→−∞√
2 3 lim x =···lim x =··· lim x =···
x→−∞ x→−∞ x→+∞
1 1 1
lim =··· lim √ =··· lim =···
3+ + +x→0 x x→0 x x→0 x
1 11
lim =··· lim =···lim =··· 3− 2 −x→0 x x→0 xx→0 x
a
1 1 1
lim =··· lim =··· lim √ =···
2x→+∞ x→+∞ x→+∞x−a (x−a) x−a
1 1 1
lim =··· lim =··· lim =···
2+ − x→ax−a x−a (x−a)x→a x→a
f
f g f +g f×g
g
′l l a R
+∞ −∞
te
tin
d'une

les
usuelles
t
fonctions
2.1
de
d'?quation
nom
deux
fonction
de
bre
les
[
p
sur
alle
une
terpr?tation
est
graphique
Si
limites
Th?or?me
p
2
alors
Th?or?me
"Lorsqu'on
des
de
Limites
Limites
sur
en
l'in
des
de
2
v
en
um
?"
maxim
Soien
le
terpr?tation
aleurs
bres
in
ici
et
en
um
t
minim
soit
le
ou
tre
:
en

prend
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d?signe
fonctions
term?diaire.
et
un
,

eut-on
aleur
d?duire
v
limites
toute
fonctions
fois
[
une
,
moins
terme
au
et
r?el.
In
2.2
Limite
Op
somme
?rations
t
sur
et
les
In
terv
nom
ue
r?els.
Les
3

p
son
ermet
soit
de
un
r?p
oin
ondre

?

la
en
question
Le
suiv
an
limites
.
Ce
paragraphef l l l +∞ −∞ +∞
′g l +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
(f +g)
2lim x +x+1 = ...
x→+∞
′l l a R
+∞ −∞
f l l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 +∞ +∞ −∞ 0
+∞′g l +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
−∞
(f×g)

2lim(x +1) x = ...
x→0
′l l a R
+∞ −∞
+∞
f l l +∞ +∞ −∞ −∞
−∞
+∞ +∞′ ′ ′ ′ ′g l = 0 l > 0 l < 0 l > 0 l < 0
−∞ −∞
f
g
−3
lim = ...
x→+∞2x+1
l a R +∞
−∞
.
d?nominateur
deux
a
soit
une
our
limite
une
non
Limite
n
son
ulle
p
Soien
t
t
bres
o?
p
et
ou

limites
le
en
deux
limite
nom
de
bres
duit
r?els.
o?
Les
Soit
limites


oin
ici
limite
son
pro
t
t
soit
r?els.
en
ou
un
soit
p
a
oin
Exemple
t
p
dans
oin
de
en
t
d'un
soit
d'un
en
le
quotien
d?nominateur
d'un
n
ou
un
Limite
Les
Limite
son
.
un
Limite
a
d'un
en
quotien
alors
t,
d'un
d?nominateur
duit
de
Soien
d'une
et
le
nom
bres
4
Les
ulle

si
ici
somme
t
a
alors
p
un
our
p
limite
limite
si
5
a
our
p
a
our
si
limite
t
si
soit
a
ou
p
Limite
our
pro
limite
Limite
ou
quotien
alors
dans
a

4
le
Exemple
a
si
limite
limite
ulle
a
si
p
nom
our
r?els.
limite
limites
our
ici
p
t6
en
a
p
p
t
ou
de
our
soit
limite
our
Exemple
ou
3
limite
.
non
nf l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 0
+ − + −g 0 0 0 0 0
f
g
2x−3
√lim = ...
x→0 x
+∞ −∞
+∞ −∞
3 2lim 2x +45x = ...
x→−∞
6 22x −3x +1
lim = ...
3x→−∞ 3x −x+4
g h g h
g◦h(x) = g(h(x))
D D g hg h
g(h(x)) x D h(x) Dh g
2u v R u(x) = x v(x) = 2x+5
que
alors
d?nition
limite
La
Exemple
en
8
deux
our
t
p
ons
a
faut
si
.
p
limites
our
En
limite
les
limite
de
our
p
p
limite
a
dans
si
de
ulle

n
ou
limite
fonction
de
l'innie.
Exemple
t
6
p
d?nominateur
bles
2.3
ermet
F
nous

p
p
oir
t,
fonction
quotien
2.
d'un
degr?.
Limite
plus
2.4
mon?me
Comp

osition
9
de
et
fonctions
d?nies
et
:
limites

D?nition
et
2
3
F
2

notan

est
os?e
et
Soien
ou
t
ensem

de
et
de
et
et
rationnelles
,
a
a
v
5
que
d?nit
our
la
ouv
fonction


rationnelle
os?e
d'une
de
La
Le
il
et
que
th?or?me
soit
de
haut
la
et
mani?re
de
suiv
son
an
dans
te
est
:
Exemple
suiv
On
an
simplier
7
l'?tude
Exemple
fonctions
degr?.
sur
haut
par
plus
des
de
en
mon?mes
p
des
d'une
t
limite
quotien
1.
du
Th?or?me

?
Remarque
deux
.
fonctions,
onu ◦ v(x) = v◦u(x) = ..................
..................
a b c +∞ −∞
f g h f = g◦h
lim h(x) = b lim g(T) = c lim g(h(x)) = ...
x→a x→aT→b
p
2lim x −x+1 =...
x→+∞
x f(x)≥ g(x)
lim g(x) = +∞
x→+∞
lim f(x) = ......
x→+∞
x
u(x)≤f(x)≤ v(x) l∈R
lim u(x) = lim v(x) =l
x→+∞ x→+∞
lim f(x) = ......
x→+∞
des
assez

our
fonctions
p
soit
Si
Limite
5
Soit
Th?or?me
Th?or?me

d?signe
de
,
Th?or?me
que
6
et

des
t
Th?or?me
des
soit
limites.
un
Si
,
p
os?e
our
fonction
Th?or?mes
Et
assez
a
grand,
trois
2.5
,
10
limites
,
osition
et
de
:
4
a
.
on
,
alors
r?el,
,
soit
et
et
Si
lettres
.
Chacune
que

telles
alors,
si
d'une
grand,
,
alors,
plus
,
:
et
de
si
:
a
alors
v
On
ec
.
6
Exemplef I R C
a b
Δ x a
lim f(x) = +∞
x→a
C
lim f(x) =−∞
x→a
D y b
lim f(x) = b
x→+∞
C
lim f(x) = b
x→−∞
d y ax +
lim f(x)−(ax+b) = 0 b
x→+∞
C
lim f(x)−(ax+b) = 0
x→−∞
de
La
sur
La
asymptote
alle
ou
7
nom
d'?quation
la
Asymptotes
une
=
Soien
2.6
et
est
un
asymptote
in
horizon

tale
fonction
?
e
la
orthonorm?.

t
e
plus
de
des
et
ou
=
est
terv
d'?quation
droite

La
v
bres
?
r?els.
ou
Limite
e
terpr?tation
d?nie
est

oblique
la
sa
droite

d'?quation
e
=
repr?sen
In
tativ
graphique
e
asymptote
dans
?
un

rep
?re
droite
On

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