Exercices théoriques

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STAT-S-202(A) Corrige Seances 1-2 Seances 1-2 : Mesures de probabilite Exercices theoriques Exercice 1*** Soit Ω l'ensemble des resultats possibles d'une experience aleatoire E. Soit A une σ-algebre sur Ω, ce qui, pour rappel, signifie que A est une collection de sous-ensembles de Ω telle que (i) Ω ∈ A (ii) A ∈ A ⇒ Ac ∈ A (iii) A1, A2, .
  • ip 
  • premiere pile
  • a2 ∈
  • evenements independants
  • solutions satisfaisant la premiere contrainte
  • piece de monnaie
  • piles consecutifs
  • a1
  • ip
  • a2
Publié le : lundi 26 mars 2012
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Source : ulb.ac.be
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STAT-S-202(A) Corrige Seances 1-2
Seances 1-2 : Mesures de probabilite
Exercices theoriques
Exercice 1***
Soit
l’ensemble des resultats possibles d’une experience aleatoire E. SoitA une -algebre
sur , ce qui, pour rappel, signi e que A est une collection de sous-ensembles de
telle que
(i)
2A
c(ii) A2A) A 2A
(iii) A ;A ;:::2A) A [A [:::2A.1 2 1 2
Demontrer que
(a) ;2A
(ii) cPar (i),
2A =)
2A|{z}
;
(b) A ;A 2A) A [A 2A1 2 1 2
(iii)
A ;A 2A =)A [A [;[;[:::2A1 2 1 2
c c c(c) Montrer, au moyen d’un diagramme de Venn, que (A \A ) = A [A . En deduire que1 2 1 2
A ;A 2A) A \A 2A1 2 1 2

A A1 2
(ii) cA 2A =)A 2A1 1
(ii) cA 2A =)A 2A2 2
c c c cPar (iii), A [A 2A =) ((A \A ) ) =A \A 2A1 2 1 21 2| {z }
c(A\A )1 2
c(d) Montrer, au moyen d’un diagramme de Venn, que (A n A ) = A \ A . En deduire que1 2 1 2
A ;A 2A) (A nA )2A.1 2 1 2

A A1 2
Titulaire: D. Paindaveine Assistant: C. Bru aerts6
STAT-S-202(A) Corrige Seances 1-2
(ii) cA 2A =)A 2A2 2
(c)
c cA ;A 2A =)A \A 2A =)A nA 2A1 1 1 22 2
On retiendra que les -algebres sont stables lorsqu’on applique les diverses operations ensem-
blistes a deux ensemblesA ;A 2A. Ceci s’etend facilement aux cas den ensemblesA ;:::;A 2A1 2 1 n
et d’un nombre in ni denombrable d’ensembles A ;A ;:::2A.1 2
Exercice 3***
Soit ( ;A; IP) un espace probabilise. On rappelle que, par de nition, IP veri e les axiomes
(i) IP [A] 0 pour tout A2A
(ii) IP [ ] = 1
(iii) IP [A [A [:::] = IP [A ]+IP [A ]+:::, pour toutA ;A ;:::2A tels queA \A =; si i =j.1 2 1 2 1 2 i j
Deduire successivement de ces axiomes (ci-dessous, A;A ;A 2A)1 2
(a) IP [;] = 02 3
(iii)4 5IP
[;[;[;[::: = IP [ ] + IP [ ;] + IP [;] + IP [;] +::: =) IP [;] = 0| {z }

(b) Si A \A =;, alors IP [A [A ] = IP [A ] + IP [A ]1 2 1 2 1 2
(iii)
IP [A [A [;[;[:::] = IP [A ] + IP [A ] + IP [;] + IP [;] +:::1 2 1 2
c(c) IP [A ] = 1 IP [A]2 3
(iii)c c c4 5IP A[A = IP [A] + IP [A ], IP [A ] = IP [ ] IP [A] = 1 IP [A]| {z }

(d) 0 IP [A] 1
(c)cIP [A ] = 1 IP [A], IP [A] 1
| {z }
0 (i)
(e) IP [A nA ] = IP [A ] IP [A \A ]1 2 1 1 2
(iii)
(A nA )[ (A \A ) =A =) IP [A ] = IP [A nA ] + IP [A \A ]1 2 1 2 1 1 1 2 1 2
(f) Si A A , alors IP [A ] IP [A ]1 2 1 2
Si A A , A [ (A nA ) =A et A \ (A nA ) =;.1 2 1 2 1 2 1 2 1
(b)
) IP [A ] = IP [A ] + IP [A nA ]2 1 2 1
| {z }
0
(g) IP [A [A ] = IP [A ] + IP [A ] IP [A \A ]1 2 1 2 1 2
A [ (A nA ) =A [A et A \ (A nA ) =;.1 2 1 1 2 1 2 1
(e)
) IP [A [A ] = IP [A ] + IP [A nA ] = IP [A ] + IP [A ] IP [A \A ]1 2 1 2 1 1 2 1 2
Exercice 4**
Soient A et A deux evenements. Supposons que IP [A ] = 1.1 2 1
(a) Que vaut alors IP [A [A ] ?1 2
3(f)
A (A [A )) IP [A ] IP [A [A ]1 1 2 1 1 2| {z }
=1
Titulaire: D. Paindaveine Assistant: C. Bru aerts STAT-S-202(A) Corrige Seances 1-2
3(d)
IP [A [A ] 1) IP [A [A ] = 11 2 1 2
(b) Supposons queA etA soient des evenements mutuellement exclusifs (au sens ouA\A =;).1 2 1 2
Calculer P [A ].2 2 3
4 5IP [A [A ] = IP [A ] + IP [A ] IP A \A1 2 1 2 1 2| {z }
;
) IP [A ] = IP [A [A ] IP [A ]2 1 2 1
= 1 IP [A ]1
= 1 1
= 0
Exercice 5*
Pour rappel, on de nit IP [ AjA ] = IP [A \A ]=IP [A ] (si IP [A ] > 0), ce qui implique que1 2 1 2 2 2
IP [A \A ] = IP [AjA ] IP [A ]. En developpant le membre de droite, prouver la loi de multiplica-1 2 1 2 2
tion IP [A \A \:::\A ] = IP [AjA \:::\A ]::: IP [A jA \A ] IP [A jA ] IP [A ] ou1 2 n 1 2 n n 2 n 1 n n 1 n n
n 3 (la formule tient si IP [A \:::\A ]> 0).2 n
IP [AjA \:::\A ] IP [AjA \:::\A ]::: IP [A jA \A ] IP [A jA ] IP [A ]1 2 n 2 3 n n 2 n 1 n n 1 n n
IP [A \A \:::\A ] IP [A \A \:::\A ] IP [A \A \A ]1 2 n 2 3 n n 2 n 1 n= :::
IP [A \:::\A ] IP [A \:::\A ] IP [A \A ]2 n 3 n n 1 n
IP [A \A ]n 1 n
IP [A ]n
IP [A ]n
= IP [A \A \:::\A ]1 2 n
Exercice 6**
Pour chacune des a rmations suivantes, donner soit une preuve soit un contre-exemple :
1. si A est independant de A , alors A est independant de A .1 2 2 1
L’assertion est vraie.
IP [A \A ] = IP [A ] IP [A ] = IP [A ] IP [A ] = IP [A \A ]1 2 1 2 2 1 2 1
2. si A est independant de A , si A l’est de A et si en plus A l’est de A \A , alors A est1 2 2 3 1 2 3 3
independant de A \A .1 2
L’assertion est vraie.
IP [A \ (A \A )] = IP [A \ (A \A )]3 1 2 1 2 3
= IP [A ] IP [A \A ]1 2 3
= IP [A ] IP [A ] IP [A ]1 2 3
= IP [A ] IP [A \A ]3 1 2
3. si A est independant de A et A , alors il l’est de A [A .1 2 3 2 3
L’assertion est fausse.
Contre-exemple : voir cours (l’exemple des deux des a la n du chapitre 1).
Titulaire: D. Paindaveine Assistant: C. Bru aerts6
STAT-S-202(A) Corrige Seances 1-2
4. si A est independant de A et A , et si A \A =;, alors A est independant de A [A .1 2 3 2 3 1 2 3
L’assertion est vraie.
IP [A \ (A [A )] = IP [(A \A )[ (A \A )]1 2 3 1 2 1 3
= IP [A \A ] + IP [A \A ]1 2 1 3
= IP [A ] IP [A ] + IP [A ] IP [A ]1 2 1 3
= IP [A ] (IP [A ] + IP [A ])1 2 3
= IP [A ] IP [A [A ]1 2 3
Exercices pratiques
Exercice 1**
Considerons l’experience aleatoire consistant a lancer deux des a 6 faces. Nous sommes interesses
par les deux evenements A : obtenir deux fois le m^eme nombre (la m^eme face) et A : obtenir au1 2
moins une fois la face 5.
(a) Calculer IP [A ], IP [A ], IP [A \A ] et IP [A [A ].1 2 1 2 1 2
Determinons tout d’abord l’ensemble des valeurs associees a ces deux evenements.
A =f(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)g1
A =f(1; 5); (2; 5); (3; 5); (4; 5); (5; 5); (6; 5); (5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 6)g2
De plus, A \A =f(5; 5)g1 2
Nous pouvons des lors determiner les probabilites suivantes :
1 1
IP [A ] = 6 =1
36 6
1 11
IP [A ] = 11 =2
36 36
1
IP [A \A ] =1 2
36
16 4
IP [A [A ] = =1 2
36 9
(b) Veri er qu’on a bien P [A [A ] =P [A ] +P [A ] P [A \A ].1 2 1 2 1 2
1 11 1 16
P [A ] +P [A ] P [A \A ] = + = = IP [A [A ]1 2 1 2 1 26 36 36 36
(c) Les evenements A et A sont-ils independants ?1 2
Si A et A etaient independants alors IP [A \A ] = IP [A ] IP [A ]1 2 1 2 1 2
16 1 11Dans notre cas, nous avons que = IP [A \A ] = IP [A ] IP [A ] = 1 2 1 236 6 36
A et A ne sont donc pas independants.1 2
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Exercice 2**
Quelle est la probabilite d’obtenir au moins un 6 lorsque l’on jette un de quatre fois ?
Soit A l’evenement obtenir au moins un 6 sur 4 lancers. L’evenement complementaire de A est
cA : obtenir aucun 6 sur 4 lancers.
cIP [A] = 1 IP [A ]
= 1 IP [pas 6 au lancer 1,pas 6 au lancer 2,pas 6 au lancer 3, pas 6 au lancer 4]
4
5
= 1 car les lancers sont independants les uns des autres
6
0:52
Exercice 3***
Dans une entreprise, la probabilite que l’ouvrier A quitte l’entreprise dans l’annee est 1/5, la
probabilite que le cadre B quitte l’entreprise dans l’annee est 1/8 et la probabilite que A et B
quittent tous deux l’entreprise est 1/40. Nous supposerons que le fait que l’ouvrier A et le cadre Bt l’entreprise sont des evenements independants. Calculer la probabilite que
(a) au moins l’un des deux quitte l’entreprise.
1
IP [A quitte] =
5
1
IP [B quitte] =
8
1
IP [A et B quittent] =
40
Soit A l’evenement qu’au moins un des deux quitte.1
A =f(A quitte;B quitte); (A quitte ;B reste); (A reste ;B quitte)g1
1 1 7 4 1 1 7 4 3
IP [A ] = + + = + + =1
40 5 8 5 8 40 40 40 10
(b) qu’aucun des deux ne quitte l’entreprise. Soit A l’evenement qu’aucun des deux quitte.2
A =f(A reste ;B reste)g2
4 7 7
IP [A ] = =2
5 8 10
Exercice 4**
Dix delegues de dix pays - dont la Russie, la France, la Grande-Bretagne et les Etats-Unis -
s’assoient en rang. De combien de manieres est-ce possible si le fran cais et l’anglais tiennent a ^etre
voisins tandis que l’americain et le russe ne veulent pas l’^etre ?
Si nous considerons le fran cais et l’anglais comme un seul bloc, et les 8 autres delegues comme
8 autres blocs, il existe 9! manieres d’ordonner les blocs. Parmi le bloc constitue du fran cais et de
l’anglais, il existe deux fa cons de les permuter. Au total, nous obtenons 2 9! solutions satisfaisant
la premiere contrainte.
Pour la seconde contrainte, a savoir que l’americain et le russe ne veulent pas ^etre voisins, il existe
une multitude de cas possibles. Il vaut donc mieux denombrer le nombre de cas ne satisfaisant pas
Titulaire: D. Paindaveine Assistant: C. Bru aerts STAT-S-202(A) Corrige Seances 1-2
la contrainte a( savoir que l’americain et le russe sont en e et voisins) et soustraire ce nombre de
cas a partir du nombre total de possibilites calcule precedemment.
Considerons a nouveau le fran cais et l’anglais comme un premier bloc, l’americain et le russe comme
un second bloc, et les 6 delegues restants 6 autres blocs. Il y a 8 ! fa cons d’ordonner ces 8
blocs, et chaque fois 22 fa cons de permuter le fran cais et l’anglais ainsi que le russe et l’americain.
Au total, nous obtenons 4 8! solutions.
Finalement, le nombre de solutions satisfaisant les deux contraintes simultanement est :
2 9! 4 8! = 2 8! (9 2) = 2 8! 7 = 564480
Exercice 5***
Un etudiant doit suivre 2 cours de math (M1, M2), 3 cours de chimie (C1, C2, C3), et 4 cours
de physique (P1, P2, P3, P4). Il decide de n’assister qu’ a 3 cours, qu’il choisit au hasard. Quelle
est la probabilite
(a) qu’il assiste aux deux cours de math ?
Clairement, nous sommes dans une situation d’equiprobabilite (la probabilite que l’etudiant
choisisse le cours P1 est la m^eme que la probabilite qu’il prenne le cours M2). De fait, le
nombre de possibilites que l’etudiant a de choisir 3 cours parmi les 9 qui lui sont proposes est :

9 9!
Nombre de cas possibles = = = 84
3 (9 3)!3!
Le nombre de possibilites que l’etudiant a de prendre les deux cours de math est de 7. En e et,
comme l’etudiant doit choisir 3 cours dont 2 d’entre eux sont les 2 cours de math, il aura la
possibilite de choisir un parmi les 7 autres cours disponibles a n de completer son choix.
Nombre de cas favorables = 7
7
IP [assister aux deux cours de math] =
84
(b) qu’il n’assiste a aucun cours de math ?
Le nombre de possibilites que l’etudiant a de n’assister a aucun cours de math est :

7 7!
Nombre de cas favorables = = = 35
3 (7 3)!3!
35
IP [n’assister a aucun cours de math] =
84
(c) qu’il n’assiste qu’ a un seul cours de math ?
IP [assister a un seul cours de math] = 1 IP [assister aux 2 cours de math]
IP a aucun cours de math]
7 35 42 1
= 1 = =
84 84 84 2
Exercice 6**
Si 12 personnes sont dans une m^eme piece, quelle est la probabilite qu’aucune d’entre elles ne
soit nee le m^eme mois ?
Titulaire: D. Paindaveine Assistant: C. Bru aerts STAT-S-202(A) Corrige Seances 1-2
Determiner la probabilite qu’aucune personne ne soit nee le m^eme mois revient a determiner la
probabilite que les 12 personnes soient nees des mois di erents. Comme chaque personne a a priori
la m^eme probabilite d’^etre nee durant l’un des 12 mois, nous pouvons dire que nous sommes dans
une situation d’equiprobabilite.
12Nombre de cas possibles = 12 12::: 12 = 12| {z }
12 fois
Nombre de cas favorables = 12 11::: 2 1 = 12!
Nous obtenons donc que :
12!
IP [toutes les personnes sont nees lors de mois di erents] =
1212
Exercice 7*
Eugene et Diogene ont l’habitude de se retrouver chaque semaine autour d’un verre et de decider
a pile ou face qui regle l’addition. Eugene se lamente d’avoir paye les quatre dernieres additions.
Diogene lui propose alors de modi er la regle. Il propose a Eugene de lancer 5 fois la piece et de ne
payer que s’il appara^ t une suite d’au moins 3 piles consecutifs ou de 3 faces consecutifs. Eugene se
felicite d’avoir un si bon ami. A tort ou a raison ?
Strategie 1 : Jeu de pile ou face (1 lancer) :
1
IP [Eugene gagne ] =
2
Strategie 2 : Jeu de pile ou face (5 lancers) avec une suite d’au moins 3 piles (faces) consecutifs :
IP [Eugene gagne ] =?
A n de mieux aborder l’exercice, commen cons par calculer la probabilite qu’Eugene gagne sous
la strategie 2 pour 3 et 4 lancers :
3 lancers :
3Nombre de cas possibles = 2
Cas favorables : (p,p,p) et (f,f,f).
Nombre de cas favorables = 2
2 1
) IP [Eugene gagne ] = = = 0:25
32 4
4 lancers :
4Nombre de cas possibles = 2
Cas favorables : (p,p,p,p), (p,p,p,f), (f,p,p,p) et idem en rempla cant f par p et p par f.
Nombre de cas favorables = 6
6 3
) IP [Eugene gagne ] = = = 0:375
42 8
Finalement, 5 lancers :
5Nombre de cas possibles = 2
Titulaire: D. Paindaveine Assistant: C. Bru aerts STAT-S-202(A) Corrige Seances 1-2
Cas favorables : (p,p,p,p,p), (p,p,p,f,f), (p,p,p,f,p), (p,p,p,p,f), (f,p,p,p), (f,p,p,p,f), (f,f,p,p,p),
(p,f,p,p,p) et idem en rempla cant f par p et p par f.
Nombre de cas favorables = 16
16 1
) IP [Eugene gagne ] = = = 0:5
52 2
Ceci signi e que la probabilite pour Eugene de gagner sous la strategie 2 est egale a la proba-
bilite pour lui de gagner sous la strategie 1. Les deux strategies sont donc equivalentes en termes
de gains (ou pertes) attendus.
Exercice 8***
Un voyageur arrive a un carrefour. Il sait qu’ a cet endroit il va trouver deux routes : un cul de
sac et la bonne route. Il y a trois freres a ce carrefour : F ;F et F . F dit la verite 1 fois sur 10.1 2 3 1
F dit la verite 3 fois sur 10. F dit la verite 9 fois sur 10. Il n’y a personne d’autre a ce carrefour.2 3
Le voyageur s’adresse au hasard a un et un seul des trois freres. Il lui demande son chemin, et
s’aper coit par la suite que ce chemin est le bon. Quelle est la probabilite qu’il se soit adresse a F ?1
Soit f l’evenement on est tombe sur le frere F et BR l’evenement bonne route.i i
Par le theoreme de Bayes, nous avons que :
IP [BRjf ] IP [f ]1 1IP [fjBR] =1
IP [BRjf ] IP [f ] + IP [BRjf ] IP [f ] + IP [BRjf ] IP [f ]1 1 2 2 3 3
1 1
10 3 =
1 1 3 1 9 1 + +
10 3 10 3 10 3
1 130= =
13 13
30
Exercice 9**
On jette deux des equilibres. Quelle est la probabilite qu’on obtienne au moins un 6, sachant
que les deux resultats sont di erents ?
SoitA l’evenement avoir au moins un 6 sur 2 lancers etB l’evenement avoir 2 resultats di erents
sur 2 lancers.
25 25 11
IP [A] = 1 IP [aucun 6 sur 2 lancers] = 1 = 1 =
6 36 36
6 5
IP [B] = 1 IP [avoir 2 resultats identiques sur 2 lancers] = 1 =
36 6
A\B =f(1; 6); (2; 6); (3; 6); (4; 6); (5; 6); (6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5)g
1 5
IP [A\B] = 10 =
36 18
5IP [A\B] 118) IP [AjB] = = =
5IP [B] 3
6
Titulaire: D. Paindaveine Assistant: C. Bru aerts STAT-S-202(A) Corrige Seances 1-2
Exercice 10***
Dans une population, on a observe que pendant 1 mois, 40% des individus sont alles au cinema,
25% au theatr^ e et 12,5% au cinema et au the^atre. Calculer la probabilite que pendant 1 mois un
individu
(a) aille au cinema ou au the^atre.
Soit A l’evenement aller au cinema et soit B l’evenement aller au the^atre.
40 2
IP [A] = =
100 5
25 1
IP [B] = =
100 4
125 1
IP [A\B] = =
1000 8
On cherche a savoir IP [A[B]
2 1 1 16 + 10 5 21
IP [A[B] = IP [A] + IP [B] IP [A\B] = + = =
5 4 8 40 40
(b) n’aille pas au cinema.
2 3cIP [A ] = 1 IP [A] = 1 =
5 5
(c) n’aille ni au cinema ni au the^atre.
c c cIP [A \B ] = IP [(A[B) ]
= 1 IP [A[B]
21
= 1
40
19
=
40
(d) aille au cinema mais pas au the^atre.
cIP [A\B ] = IP [A] IP [A\B]
2 1
=
5 8
11
=
40
(e) aille au the^atre sachant qu’il est alle au cinema.
1IP [B\A] 58IP [BjA] = = =
2IP [A] 16
5
(f) n’aille pas au cinema sachant qu’il n’est pas alle au the^atre.
19 19c cIP [A \B ] 19c c 40 40IP [AjB ] = = = =
1 3cIP [B ] 301 4 4
Titulaire: D. Paindaveine Assistant: C. Bru aerts STAT-S-202(A) Corrige Seances 1-2
Exercice 11**
Une question \vrai ou faux" est posee a un couple lors d’un jeu. Le mari et la femme donneront,
independamment, la bonne reponse avec une probabilite p. Parmi les deux strategies suivantes,
quelle est la meilleure pour le couple ?
{ Choisir l’un d’eux et le laisser repondre a la question ; ou
{ Considerer la question tous les deux et alors soit donner la reponse commune s’ils sont d’ac-
cord, soit, s’ils ne sont pas d’accord, lancer une piece pour determiner la reponse a donner.
Soit :
c{ BR l’evenement \donner" la bonne reponse et MR = BR l’evenement \avoir la mauvaise
reponse".
c{ ACC l’evenement \mari et femme sont d’accord" et PACC = ACC l’evenement \mari et
femme ne sont pas d’accord".
c{ M l’evenement \le mari repond" et F =M l’evenement \la femme repond".
Nous savons que IP [BRjM] = IP [BRjF ] =p.
Strategie 1 :
IP [BR] = IP [BRjM] IP [M] + IP [BRjF ] IP [F ]
1 1
= p +p
2 2
= p
Strategie 2 :
IP [BR] = IP [BRjPACC] IP [PACC] + IP [BRjACC] IP [ACC]
1
= (p (1 p) + (1 p)p) + IP [BR\ACC]
2
1
= 2p (1 p) +pp
2
2= p (1 p) +p
= p
Il s’avere donc que ces deux strategies sont equivalentes.
Exercice 12*
On lance une piece de monnaie jusqu’ a ce qu’on obtienne pile. Puis, on lance un de un nombre
de fois egal au nombre de fois qu’on a lance la piece de monnaie. Notons A l’evenement obtenir au
moins un six avec le de, et pour n = 1; 2; 3;:::, posonsE l’evenement la premiere pile survient aun
iemen lancer de la piece.
1. Calculez les probabilites IP [E ] et IP [AjE ], pour chaque n 1.n n
IP [E ] = IP [(n-1) faces puis 1 pile]n
= IP [face]::: IP [face]IP [Pile]
| {z }
n-1 fois
n 11 1
=
2 2
n1
=
2
Titulaire: D. Paindaveine Assistant: C. Bru aerts

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