Logarithme népérien Cours 5

De
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Publié le : jeudi 1 janvier 2009
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T ES2
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
...... ..................
......
1
x ...0 ...............
x
................................................................................................
................................................................................................
a b a <b ln(a)...ln(b)
...............
ln,
not?e
fonction
tels
de
dresser
la
2
de
e
d?nition

de
tout
ble
la
L'ensem
Allure
1
ln
Remarque
ln
est
F
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bre
n?p
our
logarithme
.
est
ariation
donc
le
fonction
la
La
la
1

D?nition
an
D?nition
5
1
n?p
?rien
t
n?p
que
logarithme
nom
ourquoi
alors,
p
P

Remarque
,
fonction
a,
de
on
v
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p
.
Ainsi
de
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deux
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nom
fonction
bres
La
t
e
et
:

l'allure

la
t
F
p
logarithme
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son

,
de
Cours
fonction
On
a
p
suiv
eut
te
alors
1a > 0 b> 0 ....................................
a > 0 a > 0 ... a > 01 2 p
..........................................

1
A = ln(8)+ln(10) +ln B = ln(3x)+ln(3)
40
x> 0

1
◦ b> 0 ln =.........
b
a
◦ a> 0 b > 0 ln =..................
b
pa p
p ....................................
pln(a ) =.........

a a> 0

a> 0 ln( a) =.........
de
:
e
Propri?t?
d'un
our
,
our
(
5
Preuv
a
en
on
tier
plusieurs
relatif
a
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P
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our
pro
tout
de
en
:
tier
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,
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et
2
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,
tous
de
our
P
P
r?el
,
,
r?el
de
tout
Logarithme
our
fonction
P
Propri?t?s
t
a
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tous
d'un
P
Logarithme
nom
3
de
Propri?t?
pro
.
Logarithme
:
Propri?t?
Preuv
on
Logarithme
Propri?t?
4
Logarithme
r?els
et
et
,
bres
our
nom
P
des
tout
Simplication
bres
1
deux
Exemple
on
:
:
a
duit
on
d'un
,
1
,
ln
,
la
,
alg?briques
Propri?t?
r?els
2
,
p
e
our
2ln
]0;+∞[
+∞ 0
◦ lim lnx =...... ◦ lim lnx =......
x→+∞ x→0
ln
3
2
1
0
-1
-2
-3
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
de
de
ble
alle
Preuv

l'ensem
d?j?
de
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Etude
de
1
a

que
t
:

v
et
tation
able
fonction
ornes
en
b
en
Equation
vu
la
la
te
e
aux
T
limites
de
les
ariations
regardons
Repr?sen
?tude,
graphique
fonction
la
ln
fonction
la
Nous
P
et
.
v
ons
6
Limite
Propri?t?
tion.
son
d?n

our
d?riv
terv
t
l'in
de
sur
tangen
p
au
te
oin
est
d'abscisse
3
3lnx =α
α lnx =α
e
e ..................
lnx
◦ lim =...... ◦ lim xlnx =......
+x→+∞ x x→0
lnx ln(1+x)
◦ lim =...... ◦ lim =......
x→1x−1 x→0 x
+u R R
x u u(x)............
Il
existe
un
unique
que,
une
dans
nom
de
ind?termin?es
un
formes

Quelques
e
9
on
bre
.
Propri?t?
.
bre,
:
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,
our
tel
l'ensem
que
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:
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p
e
bre
:
L'?quation
4
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F
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,
ln
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u
telle
Soit
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nom
tout
Le
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ble
d?nie
d?nition
sur
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un
a
in
unique
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de
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8
nom
et
Soit
?
7
v
une
Propri?t?
4x −→ln(u(x)) ........................
.......................................................................................
lnu
.................................
a +∞ −∞
+◦ lim u(x) = 0 lim lnu(x) =......
x→a x→a
◦ lim u(x) = +∞ lim lnu(x) =......
x→a x→a
+◦ lim u(x) =b b∈R lim lnu(x) =......
x→a x→a
u ........................... R
......′(lnu) =
......
′u
u
u R
′u
u
◦ x −→ln(u(x)) u(x) > 0
◦ x −→......... u(x) < 0
′u
◦ ............
u
un
in
terv
I
les
applique
alle
:
de
est
our
si
,
ln
alors
si
:
fonction
p
th?or?me
a
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par
et
d?nie
est
fonction
,
si
De
La
sur
u
our
ln
11
de
fonction
ariation
.
v
nom
de
on
si
ou
Sens
d?riv
10
fonction
sur
Si
12
?e
alors
la
de
a
Preuv
sur
e
g?n?rale
:
primitiv
Propri?t?
de
13
est
Cons?quence
u
:
de
primitiv
alors
e
la
de
:
v
le
ariation
Soit
Preuv
un
e
bre
,
ou
:
,
est
,
d?riv

able
able,
sur
sur
un
;
in
une
terv
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alle
u
I
de
de
D?riv
alors
Propri?t?
,
si
et
on
ne
alors
s'y
de
ann
I.
ule
mani?re
pas.
:
Alors,
Une
une
e
primitiv
I
e
limites
sens
sur
I

de
P
la
ln
fonction
la
Propri?t?
La
Limites
fonction
Propri?t?
52x
f :x −→
2x +1
......... ]0;+∞[
......
log(x) =
......
log(100) log(1000) log(0,001)
:
la
,
,
par

.
La
2
e
T
5
Exemple
D?nition
3
logarithme
Calculer
Logarithme
:
primitiv
rouv
de
er
fonction
une
Logarithme
sur
puis
d?nie
not?e
fonction

la
fonction
est

,
2
Exemple
6

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