PSI Brizeux Ch E3: Les opérations de filtrage

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PSI Brizeux Ch. E3: Les opérations de filtrage 27 CHAPITRE E3 Les opérations de filtrage : intégration, dérivation, déphasage. 1. GENERALITES Le comportement d'un système linéaire vis-à-vis des signaux sinusoïdaux (dont on rappelle qu'ils sont un pur produit de laboratoire) va nous permettre de prévoir et d'analyser la réponse des systèmes linéaires à d'autres types de signaux. De façon générale, un filtre est un système dont le module et/ou la phase de la fonction de transfert dépendent de la fréquence en régime harmonique. Ainsi, le traitement d'un signal périodique par un filtre idéal donne : amplitude des harmoniques du signal d'entrée f spectre du signal d'entrée H f Module de la fonction de transfert d'un filtre linéaire f spectre du signal de sortie amplitude des harmoniques du signal de sortie

  • fréquence en régime harmonique

  • signal de sortie

  • part par la décomposition en série de fourier

  • signal créneau de période f0

  • filtre

  • intégration du signal d'entrée par le filtre

  • fréquence f0

  • harmoniques de fréquence f0


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Source : cpge-brizeux.fr
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PSI Brizeux                                                                                                            E .hC   éparitno:3L seo trage   s de fil         
 
Le comportement d’un système linéaire vis-à-vis des signaux sinusoïdaux (dont on rappelle qu’ils sont un pur produit de laboratoire) va nous permettre de prévoir et d’analyser la réponse des systèmes linéaires à d’autres types de signaux. De façon générale, un filtre est un système dont le module et/ou la phase de la fonction de transfert dépendent de la fréquence en régime harmonique.  Ainsi, le traitement d’un signal périodique par un filtre idéal donne :
1.   
 27
  
intégration, dérivation, déphasage.
C H A PIT R E E 3  Les opérations de filtrage :
 
GENERALITES
  
 
 2.   
 
PSI Brizeux Ch. E3: Les opérations de filtrage 28 Remarque : comme on l’a déjà dit lors d’un chapitre précédent, si le filtre n’était pas linéaire, on aurait un enrichissement du spectre du signal de sortie.  Les opérations de filtrage, illustrées de façon simple ci-dessus dans le cas d’un filtre parfait, peuvent être développées de façon plus formelles et générales.  Si on suppose e(t) T-périodique, sa décomposition en série de Fourier est :
 et
avec .
.
 
.
avec  En notation complexe on a :  Alors,  Soit H(j ω ) la fonction de transfert du filtre. Par superposition, la sortie se mettra sous la forme :  .  En effet, chaque terme de pulsation k ω du signal de sortie est la réponse associée au terme de même pulsation du signal d’entrée avec. ,  Ce résultat est représenté plus haut dans le cas simple d’un filtre idéal pour lequel, H(j ω ) = 1 dans la bande passante et H(j ω ) = 0 dans la bande coupée.    Nous allons étudier les effets d’un filtre sur un signal périodique en l’interprétant d’une part par la décomposition en série de Fourier, et d’autre part en analysant leur comportement asymptotique.  
FILTRE PASSE-BAS DU 1 ER ORDRE
2.1.  Définition et exemple type  H H (p) = 1+ τ 0 p de diagramme de Bode :   -Sa bande-passante à 3dB est [0 ; f H ] avec 1 f H  = 2 πτ .  
 
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2.2.  Effet d’un filtre passe-bas sur un signal périodique
Exemple type ?   
  
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 Sur les exemples ci-dessous, e(t) est un signal créneau ou triangulaire de fréquence f 0 .
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2.3.  Interprétation en terme de filtrage
 
 
 Par exemple pour un signal créneau de période f 0 que l’on décompose en ses harmoniques de fréquence f 0 , 3f 0 , 5f 0 ...  Si f 0 << f H (c’est à dire T 0 >> τ ), les harmoniques de rang faible, c’est à dire de faibles fréquences, sont transmises sans atténuation. Seules les harmoniques de rang élevé sont atténuées : les « coins  du créneau ne passent pas.  Si f 0 >> f H (c’est à dire T 0 << τ ), toutes les harmoniques sont atténuées, mais pas dans les mêmes proportions : on a atténuation et déformation du signal.
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PSI Brizeux Ch. E3: Les opérations de filtrage 31  2.4.  Caractère intégrateur des filtres passe-bas à haute fréquence     Si on observe bien s(t) à haute fréquence, on constate que la déformation n’est pas quelconque. Le signal de sortie a la forme d’un triangle pour le créneau et celle de portions de paraboles pour le signal triangulaire : on a intégration du signal d’entrée par le filtre.   On peut interpréter ce résultat : H En régime sinusoïdal forcé : H(j ω ) = 1+j 0 ωτ . Donc pour ω >> 1/ τ , on a H(j ω ) --> jH ω 0 τ . D’où H 0 V e = j ωτ V s , ce qui correspond au comportement temporel : H 0 v e (t) = τ  ddvt s .  v s (t) est donc proportionnelle à l’intégrale de v e (t).  Pour des signaux T 0 -périodiques :   Si T 0  << τ  (soit ω 0  >> 1/ τ ), on a pour toutes les harmoniques de pulsation ω k  = k ω 0 , ω k >> H 0 1/ τ  donc H(j ω k )  j ω k τ . Donc pour toutes les harmoniques, comme on aura s k (t) primitive de e k (t). Comme la somme de primitives est égale à la primitive de la somme, s(t) est donc une primitive de e(t).    Le filtre passe-bas du 1 er  ordre est un montage pseudo-intégrateur : le signal de sortie est une primitive du signal d’entrée pour un signal périodique de pulsation grande devant la pulsation de coupure du filtre.  2.5.  Généralisation H Pour qu’un filtre ait un caractère intégrateur, il faut que H(p) = ± p 0 .  Il faut donc que le diagramme de Bode du filtre présente, au moins dans un certain domaine de π π fréquence* une pente de -20 dB/déc et un déphasage de - 2 (ou + 2 s’il y a inversion du signal).  * Le domaine de fréquence est du type [f 0 ; nf 0 ] où f 0 est la fréquence du signal d’entrée, et n le rang du dernier harmonique d’amplitude importante de ce signal.   2.6.  Montage intégrateur à A.O.  Le caractère intégrateur du filtre RC précédent est limité au domaine des hautes fréquences, et présente alors une forte atténuation. Un montage à A.O. permet de palier à ce genre de problème (au moins en théorie...)
 .1.6Mo. 32   2  iroé euqgatnht e                                                                taoiporé eifsnd ge  ltra                        . Ch    s Le: E3                          x euiz IrBSP
 On peut retrouver ce résultat de façon plus théorique :  V e V s R’ R + Z = 0 1 d’où V s Z R     1             V  =-R= - 1+jRC ω . V - = R1+Z1         avec Z = jC ω +R e  1 Ce montage est donc un filtre passe-bas du 1 er ordre de pulsation de coupure à -3dB ω c = RC  Pour un signal sinusoïdal de période T 0 << R’C (de pulsation ω 0 >> ω c ), v s est donc une primitive de v e , d’où l’intérêt de choisir une valeur de R’ la plus grande possible, pour avoir un domaine d’intégration le plus grand possible.
Le montage intégrateur à A.O. utilisé en pratique est celui représenté ci-contre : on place une résistance R’ en parallèle sur le condensateur.  Comment choisir R’ ?       Interprétation intuitive …
  
On a :-Cq       et     v e  = Ri = R ddtq  v s = d’où dv s v e : dt  = - RC   Le montage est donc intégrateur, théoriquement parfait puisque la relation établie ci-dessus est valable quelque soit le signal d’entrée.  Mais en pratique ce montage ne fonctionne pas, ceci étant dû aux limitations de l’A.O. : on observe une dérive plus ou moins rapide du signal de sortie jusqu’à saturation à ±V sat . . En fait, le condensateur se charge lentement sous l’effet des courants de dérive de l’A. O., et une fois chargé au maximum, se comporte comme un interrupteur ouvert ce qui équivaut à dire que l’A.O. n’est plus bouclé. Il sature donc. 2.6.2.  Montage pratique  
  
                                                                PSI Brizeux                       .3    33       HAE-SSPAS RELTFIRD E RRO UE1TUD tionfini. Dé 3.1                h. C3: E        aritno sL seo épage     de filtr   et exemple type
  
 
τ + τ pp   de diagramme de Bode : H (p) = H 0 1   Sa bande-passante à -3dB est [f B ; + [ avec 1 f B  = 2 πτ .  
Exemple type ?  3.2.  Effet du filtre sur un signal périodique
(voir figure page suivante).  Si f 0  << f B  alors s(t) est d’amplitude très faible. On peut cependant noter que les discontinuités du signal passent bien.  Si f 0 >> f B alors e(t) est transmis sans déformation importante hormis l’élimination de sa composante continue.
3.3.  Interprétation en terme de filtrage  (voir figure page suivante).  Si f 0 << 1/ τ alors seules les harmoniques de rang élevé sont transmises. Ceci permet d’expliquer que le signal carré « ressort  de ce filtre sous forme d’impulsions.  Si f 0  >> 1/ τ  alors seule la composante continue est éliminée. les autres composantes sont transmises sans atténuation : le signal s(t) correspond à la partie variable de e(t).  
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PSI Brizeux Ch. E3: Les opérations de filtrage 35  3.4.  Caractère dérivateur des filtres passe-haut à basse fréquence  Si on observe bien s(t) à basse fréquence, on constate que la déformation n’est pas quelconque mais semble correspondre à une dérivation du signal.   On peut interpréter ce résultat :   En régime sinusoïdal forcé : H(j ω ) = H 0  1j+ ω j τωτ . Donc pour ω << 1/ τ , on a H(j ω ) --> H 0 j ωτ . dv D’où H 0 j ωτ  Ve = V s , ce qui correspond au comportement temporel : v s (t) = H 0 τ  dt e .  v s (t) est donc proportionnelle à la dérivée de v e (t).  Pour des signaux T 0 -périodiques :   Si T 0 >> τ (soit ω 0 << 1/ τ ), on a pour les harmoniques k de pulsation ω k = k ω 0 telles que ω k << 1/ τ : donc H(j ω k ) H 0 j ω k τ . Cela concerne donc les harmoniques de rang pas trop élevé.  Comme généralement quelques harmoniques de rang faible suffisent à reconstituer correctement un signal, le signal de sortie est donc la dérivée du signal d’entrée.  Le filtre passe-haut du 1 er  ordre est un montage pseudo-dérivateur : le signal de sortie est une dérivée du signal d’entrée pour un signal périodique de pulsation faible devant la pulsation de coupure du filtre.  
3.5.  Généralisation   Pour qu’un filtre ait un caractère dérivateur, il faut que H(p) = ± pH 0 .  Il faut donc que le diagramme de Bode du filtre présente, au moins dans un certain domaine de π π fréquence* une pente de +20 dB/déc et un déphasage de + 2 (ou - 2 s’il y a inversion du signal).  * en pratique il suffit que f 0 <f C /100, alors que pour le caractère intégrateur d’un filtre passebas, il suffit que f 0 >10f C .   3.6.  Montage dérivateur à A.O.  Le caractère dérivateur du filtre RC précédent est limité au domaine des basses fréquences, et présente alors une forte atténuation. Un montage à A.O. permet de palier à ce genre de problème (au moins en théorie...)  
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3.6.1.  Montage théorique  
 
Le montage intégrateur à A.O. utilisé en pratique est celui représenté ci-contre : pour pallier à ce phénomène d’oscillation, on place une résistance R’ en série sur le condensateur. Cette résistance permet de diminuer l’acuité de la résonance du filtre passe-bande précédent en introduisant un facteur d’amortissement supplémentaire.   Comment choisir la valeur de cette résistance ? ω -j ω 1  Les calculs de la fonction de transfert du montage précédent aboutissent à : H = ω , 1+j ω 2  avec ω 1 = 1/RC et ω 2 = 1/R’C.   En supposant R’ < R, on obtient le diagramme de Bode ci-contre :   On a donc intérêt à choisir R’ le plus faible possible ( ω 2  le plus grand possible) mais de valeur compatible avec les non oscillations du système global.
 
O : v e  = qC       et     vdq  n a s = - Ri = - R dt d’où : v s = -RC ddvt e     Le montage est donc dérivateur, théoriquement parfait puisque la relation établie ci-dessus est valable quelque soit le signal d’entrée.   Mais en pratique ce montage ne fonctionne pas.  Par exemple, si e(t) est triangulaire, on récupère à la sortie un signal de la forme :  ce qui ressemble aux oscillations de relaxation d’un filtre passe-bande du type circuit R, L, C. Explication ? 3.6.2.  Montage pratique  
PSI Brizeux Ch. E3: Les opérations de filtrage 37  4.   
 
 
FILTRES PASSE-BANDE  4.1.  Définition et exemple type
2 σ  H (p) p ω 0  de diagramme de  = 2 σ p 2 1+ ω 0 p + ω 02  Bode asymptotique :   On parle de filtre passe-bande du 2 cd  ordre (du fait de l’ordre maximum de H(p) en p) ou de filtre du 1 er  ordre du fait des pentes maximum du diagramme de Bode   Exemple type ?  4.2.  Effet du filtre sur un signal périodique
(voir figure page suivante).  Si f 0 << f B (en pratique f 0 < f B /100), on a un effet dérivateur.  Si f 0 >> f B (en pratique f 0 > 10f H ) alors on a un effet intégrateur.   
 
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