Theoremes d'analyse et leur demonstration

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Theoremes d'analyse et leur demonstration 22 mars 2010 I Theoremes portant sur les fonctions continues Theoreme 1 (des valeurs intermediaires) Soit f une fonction a valeurs reelles definie et continue sur un intervalle I. Soit (a, b) ? I2 avec a < b et f(a) < f(b) (resp. f(a) ≥ f(b)). Pour tout y ? [f(a), f(b)] (resp. y ? [f(b), f(a)]), il existe x ? [a, b] tel que y = f(x). Autrement dit, la fonction f prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b). La demonstration differe de celle vue en cours. Ici on emploie la dichotomie. Demonstration. — Nous traitons le cas ou f(a) < f(b), le cas f(a) ≥ f(b) se traitant de maniere analogue. Pour etablir le theoreme des valeurs intermediaires, nous allons utiliser le procede de dichotomie. On construit par recurrence deux suites (an)n et (bn)n contenues dans [a, b] et ayant les proprietes suivantes : 1. a0 = a et b0 = b ; 2. les suites (an)n et (bn)n sont adjacentes ; 3.

  • interpretation graphique du theoreme des accroissements finis

  • demonstration

  • ?n ?

  • principe de la demonstration

  • theoreme

  • corde joignant le point

  • interpretation geometrique

  • existence de la limite


Publié le : lundi 1 mars 2010
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Source : cpge-brizeux.fr
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Th´eor`emesdanalyseetleurde´monstration
22mars2010
IThe´ore`mesportantsurlesfonctionscontinues
Th´eor`eme1(desvaleursinterme´diaires)Soitfuenofcnleursr´etion`avaeinocteellee´dsnruinntsuue 2 intervalleI.Soit(a, b)Iaveca < betf(a)< f(b)(resp.f(a)f(b)). Pour touty[f(a), f(b)](resp. y[f(b), f(a)]), il existex[a, b]tel quey=f(x).
Autrement dit, la fonctionfprend toutes les valeurs entref(a) etf(buecedeevllidnere`rtsnoita)e´omL.da en cours. Ici on emploie la dichotomie. D´emonstrationuo`asecslonitratsuoN.f(a)< f(b),le casf(a)f(biatnain`tedtreamnal)osereaug.e Poure´tablirleth´eor`emedesvaleursinterme´diaires,nousallonsutiliserleproce´de´dedichotomie.On construitparre´currencedeuxsuites(an)net (bn)ncontenues dans [a, bprrosplentyata]eiuavtnse´itee´ss: 1.a0=aetb0=b; 2. lessuites (an)net (bn)nsont adjacentes; 3.nN, f(an)yf(bn). Avantdeconstruirepr´ecis´ementlesdeuxsuites,voyonscommentconclure. (padr`es2.,lessuitesan)net (bn)ntemiloicmveneˆmenusrevtnegrex.De plusx[a, b],`rsedpa1.. la fonctionfunit´rusenatenoctI,donc sur [a, b],elle est continue enx.s´equent,Parcon limf(anlim) =f(bn) =f(x). n+n+ouveontrt3.,emen:`antlilanpEsaasnelrdacetimsnad f(x)yf(x). Do`uy=f(x.´ethleet)ilbate´tseeme`ro
Ilrestea`construirelessuites(an) et (bnsuininlpqseuomnipliqdapeuerlp)´rrarucencreile:sneitag proce´de´dedichotomie!Commeindiqu´ea0=aetb0=b.ahca´euqesop`uqOupnsetapende construction f(an)yf(bn). ` an+bn Al´etape(n+ 1),enimrete´dnoc=f( ).netn:te´esesrpugerdseuxcaDe 2 an+bn sic > y,alors on posean+1=anetbn+1= ; 2 an+bn sicy,alors on posean= etbn+1=bn. 2 Les suites (an)net (bn)ntesvtruient´eriaocsnniiss(teuissles,urlei´etroprlespbienarli..aPe.3te´1san)n et (bn)nsont bien adjacentes. En effet : (an)nest croissante par construction; (bn)niossed´trsceaprnaet bnan construction ;nN, anbnet limbnan= 0 carnN, bn+1an+1quicond=uit`aec 2 n+b0a0 bnan=npour toutnN. 2 2
Corollaire 1Soitfvrlanietrunuunseontieetceniesd´llee´rsruelava`nioctonefunleI.Alorsf(I),l’image directe deIparf, est un intervalle.
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PCSI B
Mathe´matiques
Lyc´eeBrizeux-anne´e2009-2010
Fig.iettasenrobsedem`eor´eTh1rttaoi.ndae´omsnncipedelntes:pri
De´monstrationudele´ht´dlIuoce.iseurm´einteresqdiaiemedroe`uesrvslacetdavecc < dentiarppa`antne f(I),alors [c, d]f(I).inunrvtelealdetcarire´itasdnoCestl`aunecaR).(urestrpihaec.lcfslee´rserbmonsel Il s’ensuit quef(I) est un intervalle.2
Th´eor`eme2(desbornesatteintes)Soitfd´enieeserununictnoitunellavretobe´mref´ern[a, b].Alorsf estborn´eesur[a, b].De plusfatteint ses bornes.
1 Autrement dit, inff(xsup) etf(x) existent et il existex1[a, b] (resp.x2[a, b]) tel que x[a,b] x[a,b] f(x1) =inff(x) (resp.f(x2sup) =f(x) ). x[a,b] x[a,b]
D´emonstration. — On montre d’abord quefajtmesd´emonstor´ee(laaftiuqearitnoudfee´eensttmesorinttuotniop analogue). Supposons par l’absurde quefr[sueer´jomaastpnsea, b]. meobıˆ´tse[uiesdetegmsetsenrapthcidmotonueiiurtsnocnOan, bnlim] avecbnan= 0 sur n+lesquelsfsmpastee.´eorajn Ale´tape0deconstruction,onposea0=aetb0=b.e`htnieslseopyhDr`apitiale,fnestpasamoj´ree sur [a0, b0]. Supposons avoir construit le segment [an, bn] de telle sorte quefojsartoiapemnsru[e´sean, bn].Il en an+bnan+bn re´sultequefseesmgnest[enrteˆtuep´eorajemndurlsuan,] ou [, bn] (sifeer´e´tiatojam 2 2 sur ces deux segments, elle le serait sur le segment [an, bn]). an+bn S’il s’agit du segment [an,],on pose 2 an+bn [an+1, bn+1] = [an,]. 2 Sinon, on pose an+bn [an+1, bn+1] = [, bn]. 2 Soitcn[an, bn] tel quef(cn)n.eexismentisqutepunUlee´et´lfsueer[nptseamsa´rojan, bn]. La suite (cn)nenieconvergeveraniiss´dx0[a, b].En effet nN, ancnbn. De plus, les suites (an)net (bn)nevtnnusrvnocegre,eeseslljaadntceattne´miteemˆemelix0[a, b]. Leth´eor`emedesgendarmespermetdeconclure. La suite (f(cn))ntend vers +puisquef(cn)npour toutnN.e´tiunitnocaltitrediconscecMai s´equentielleenx0lim: en effet, on doit avoirf(cn) =f(x0). n+1 Uneautremani`eredeledire:f[s`edposinimeunmnuammutesmruixuma, b].
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