1Francesca Rapetti Universite de Nice Sophia Antipolis Laboratoire Jean Alexandre Dieudonne Parc Valrose Nice Cedex France

Sophia - Antipolis Laboratoire

Description

Niveau: Supérieur
1Francesca Rapetti Universite de Nice Sophia-Antipolis Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonne Parc Valrose 06108 Nice Cedex 02 France Memoire de synthese pour l'habilitation a diriger des recherches Discretisation variationnelle d'ordre eleve sur simplexes: applications a l'electromagnetisme numerique Soutenue le 20 juin 2008 devant le jury compose de : Christine Bernardi (Laboratoire J.-L.L., C.N.R.S., Paris) Jacques Blum (Laboratoire J.-A.D., Univ. Nice Sophia-Antipolis, Nice) Alain Bossavit (Laboratoire L.G.E.P., Supelec, Paris) Patrick Ciarlet (Laboratoire P.O.E.M.S., E.N.S.T.A., Paris, rapporteur) Claudio Canuto (Ecole Polytechnique de Turin, rapporteur) Yvon Maday (Laboratoire J.-L.L., Univ. Pierre et Marie Curie, Paris) Richard Pasquetti (Laboratoire J.-A.D., C.N.R.S., Nice) Anthony Patera (M.I.T., Boston, rapporteur)

• sophia antipolis


• discretisation variationnelle d'ordre eleve sur simplexes


• multiplicateurs de lagrange d'ordre eleve dans la condition


• echanges scientifiques


• subtilites des methodes d'elements spectraux


• universite de nice


• fekete-gauss sur triangles

Sujets

• Dieudonné
• Lanteri
• E. M. S.
• Laboratoire
• Antipolis
• École polytechnique
• Patera
• Canuto

Informations

• Publié par: chaeh
• Publié le: 01 juin 2008
• Nombre de lectures: 31

Extrait

Francesca Rapetti Universit´edeNiceSophia-Antipolis LaboratoireJean-AlexandreDieudonne´ Parc Valrose 06108 Nice Cedex 02 France

Me´moiredesynthe`sepour l’habilitation`adirigerdesrecherches

Discre ´ tisationvariationnelled’ordre ´ eleve ´ sursimplexes: applications ` al’electromagnetismenumerique ´ ´ ´

Soutenuele20juin2008devantlejurycompos´ede: Christine Bernardi (Laboratoire J.-L.L., C.N.R.S., Paris) Jacques Blum (Laboratoire J.-A.D., Univ. Nice Sophia-Antipolis, Nice) AlainBossavit(LaboratoireL.G.E.P.,Supe´lec,Paris) Patrick Ciarlet (Laboratoire P.O.E.M.S., E.N.S.T.A., Paris, rapporteur) ´ Claudio Canuto (Ecole Polytechnique de Turin, rapporteur) Yvon Maday (Laboratoire J.-L.L., Univ. Pierre et Marie Curie, Paris) Richard Pasquetti (Laboratoire J.-A.D., C.N.R.S., Nice) Anthony Patera (M.I.T., Boston, rapporteur)

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Remerciements

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J’exprimemaplusgrandegratitudea`ClaudioCanuto,PatrickCiarletJr.etAnthony Pateraquim’ontfaitl’honneurderapportersurcemanuscript.Jelesremercietr`es sinc`erementpourletempspr´ecieuxqu’ilsm’ontconsacre´etpourl’intˆeretqu’ilsont montre pour mes recherches. ´

Mesremerciementsvont´egalement`aJacquesBlumd’avoiraccepte´depr´esenter monhabilitationa`dirigerdesrecherchesauConseilScientifiquedel’Universite´deNice Sophia-Antipolis, Christine Bernardi, Alain Bossavit, Yvon Maday et Richard Pasquetti d’avoiracce´pte´defairepartiedujury.

Merciatousd’ˆetrepre´sentsaujourd’hui.

Depuisseptans,j’aileplaisird’ˆetreenseignant-chercheurauseinduLaboratoire Jean-AlexandreDieudonn´edel’Universit´edeNice-SophiaAntipolis,dirige´avecbeau- coupdepassionparPhilippeMaisonobe.J’aigrandementappr´eci´elesconditionsde travail,lafacilite´des´echangesscientifiques,l’ambiancecordialedecelaboratoire.

Ilm’este´galementtr`esagr´eabled’e´voquerl’accueilamicalquel’onm’afaita`l’INRIA deSophia-Antipolisetlaconfiancequim’ae´te´te´moigne´e,enm’invitanta`fairepartie duprojetNACHOSdirig´eparStephaneLanteri.

Unepense´eparticulie`res’adressea`tousmescollaborateurs,enparticulierceux faisantpartiedujury.Cescollaborationssontencoreaujourd’huil’occasiond’´echanges fructueux et interessants. Je remercie ainsi mes co-auteurs dont Yvon Maday, qui reste ´ avanttousmondirecteurdethe`seetdontl’energieetl’enthousiasmeonte´te´toujours t`escommunicatifs(mˆemepart´elephone!),ChristineBernardi,dontlacuriosite´per-r manentepourdenouvellesme´thodesetleserieuxontapporte´beaucoupd’efficacite´ `anostravauxcommuns,AlainBossavit,quiatoujourssumetransmettresapas- sionpourlascienceetquiresteunesourcein´epuisabledequestions(etdere´ponses !)enelectromagne´tisme,RichardPasquettiquim’aaid´e`ad´echiffrerlessubtilite´sdes ´ m´ethodesd’ele´mentsspectraux,...etbeaucoupd’autresdontj’ometslenomicimais ´ sans qui ces travaux n’auraient pas pu voir le jour.

Jen’auraispaspumenera`bienmestravauxsanslere´confortpermanentetla compre´hensiondemonmariErosetlesoutiendemafamille.

Jed´ediecest`mestisenfants,Marco,FabioetGiulia.Mercid’exister. ravaux a ro

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Contents 1 Introduction 7 2Me´thodesd’´el´ementsspectraux pourdesprobl`emesauxlimiteselliptiques9 2.1Lam´ethodeQ..01SEM,Gauss-Lobatriadt`laeser....L-otnegeserduqru 2.2Lame´thodeT. . . . . . . . . . . . . .  .SEM, Fekete-Gauss sur triangles 13 2.2.1 Les points de Fekete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.2 Formules de quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.3Matricesdede´rivation.........................17 2.2.4R´esultatsnum´eriquespourlam´ethodeTSEM : pre´cisionetapplicationa`l’´electromagn´etisme............18 2.3R´esolutiondusyste`melin´eairepourQSEM etT . . . . . . . . . . . 19SEM . 2.3.1Pr´econditionneurdetypeSchwarzpourQSEM etT . . . .SEM . 21 2.3.2Pre´conditionneur`asous-structurespourTSEM . . . . . . . . . . . 23 2.3.3Me´thodep-multigrille pourT . . . SEM . 26. . . . . . . . . . . . . . 2.4 Conclusions et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3Quelqueapplicationsenl’´electromagne´tisme des´ele´mentsdeWhitney31 3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2p. . . . . . 38-formes de Whitney d’ordre un sur les simplexes . . . . . . . . 3.3 Calcul automatique de groupes d’homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4Op´erateursderestriction/prolongementpourles´el´ementsdeWhitney..45 3.5p.....47........dyentihWse´rgedeeuri´eup..n.aur`-esdeform 3.6 Conclusions et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4Lame´thoded’e´le´mentsfinisavecjoints51 4.1Lecasd’unede´compositiondeΩsans 52recouvrement entre les sous-domaines 4.1.1Discr´etisationdelaconditiondecouplage..............55 4.1.2MultiplicateursdeLagranged’ordre´eleve´danslaconditionde couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2Lecasd’uned´ecompositiondeΩavec 58recouvrement entre sous-domaines . 4.3 FormulationT´ntedonymaqieu........60elruopΦ-eml`obpragameled 4.4 Conclusions et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5 Publications 65 6Re´f´erences70

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1 Introduction L’´electromagn´etismenum´eriqueasuscite´cesderni`eresanne´esunint´ˆetcroissantde er lapartdesnume´riciensetafourniunchampd’applicationdetechniquesavanc´eesde math´ematiquesappliqu´eesetdecalculscientifique.Lesenjeuxtechnologiques,quipen- dantlesdernie`resanne´essontdevenusdeplusenplusimportants(soinsm´edicauxparra- diation,te´le´phoniemobile,etc.)ontmisene´videncelan´ecessit´ed’avoirdesalgorithmes fiablesetperformants.Lesm´ethodesdediscre´tisationd’ordree´leve´pourl’approximation d’´equationsad´erive´espartielles(EDPs)sontd´esormaisincontournablespourleurs ux propri´ete´sdeconvergencerapide(quipeutˆetreexponentielleenpr´esencedesolutions tr`esre´guli`eres)etdehautepr´ecision. Ayantaborde´cedomainederecherchelorsdemontravailauseinduCRS4eten- suitelorsdemath`ese,mesrecherchesautourdem´ethodesdediscr´etisationvariation- nelled’ordree´leve´pourderobl`limitesen´electromagn´etismeontcontinu´e s p emes aux parlasuiteetserontl’objetcentraldecem´emoire.Marechercheaporte´surl’´etude detroistechniquesnum´eriquesavanc´ees:lesme´thodesd’e´l´ementsspectrauxsurtrian- gles/te´trae`dresetdespr´econditionneursissusdelad´ecompositiondedomainepourles syste`mesline´airesr´esultants,lad´efinitionetl’applicationdes´ele´mentsfinisdeWhitney dedegre´polynomialunouplus,lesm´ethodes(detype“mortar”)dede´compositionde domaine non-conforme avec ou sans recouvrement entre les sous-domaines. Lepremierchapitreestde´die´a`desprobl`emesauxlimiteselliptiquesdiscre´tise´spar unem´ethodeFekete-Gaussd’´ele´mentsspectrauxsurtriangles(Tethode´maL.)MES Tcommcts,r´ecelap´ffresuidsaepnestlee,t´al,noisiilibixefld´efiMestSEeeosyl´sataninee conditionnementdesmatricesfinales`ainverser.Lapre´cisiondelam´ethodespectralepar rapportaudegre´pixampporda’rrapeuqirbe´glateealminolypoontilatailleapport`ahdes e´le´mentsdumaillage,estconserv´eegraˆcea`unbonchoixdespointsd’approximation(les points de Fekete sur le triangle) et de la formule de quadrature (formule de type Gauss) pourlecalculdesinte´gralespre´sentesdanslaformulationvariationnelleduproble`me. Laflexibilite´delam´ethodereposesurlapossibilit´edediscr´etiserledomainedecalcul avecdesmaillages`a´ele´mentstriangulaires,a`cˆot´esdroitsoucourbes,dejouersurle coupletailledese´le´mentsetdegre´d’approximationpouraboutirauchoixlemeilleur pourleproble`meconsid´ere´,etdes’appuyersurdesalgorithmesmultiniveauxa`maillage fixe (pitlum-.tne´rdea’pp`euadngeondiff´erroximatihcu`euqalirgo)elsstai´ocveniesau Lemauvaisconditionnementdesmatricesfinales`ainverseresttrait´edemani`eresatis- faisantea`l’aidedepr´econditionneursissusdelade´compositiondedomaine.Lame´thode ´t´pliqu´eea`lar´esolutiond’unproble`memode`ledediffractiond’uneondeplanepar a e e ap unobjetpolygonal´etalli m que. Dansladeuxie`mepartie,ons’inte´resseaux´el´ementsdeWhitneysursimplexes.On regardedesapplicationspourcese´le´mentsentopologiealg´ebrique(calculautomatique desnombresdeBettipourundomainea`topologienon-triviale),ond´efinitdesop´erateurs derestrictionetprolongemententremaillagesemboˆıte´spourlamiseaupointd’une techniquemultiniveau,onintroduituneapproched’ordre´eleve´o`ulesdegre´sdeliberte´