A MATH II PC

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A 2011 MATH II PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 2011 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

  • espaces vectoriels de dimension finie

  • théorème ergodique

  • hypothèse ergodique du physicien boltzmann

  • ?t ?

  • dimension

  • endomorphisme de l'espace vectoriel

  • telecom paristech


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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A 2011 MATH II PC
éCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT éTIENNE, MINES DE NANCY, TéLéCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FiliÈre PC). éCOLE POLYTECHNIQUE (FiliÈre TSI).
CONCOURS 2011
SECONDE ÈPREUVE DE MATHÈMATIQUES
Filire PC
(Dure de l’preuve : trois heures) L’usage de l’ordinateur ou de la calculatrice est interdit.
Sujet mis À la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES II - PC
L’nonc de cette preuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’Épreuve, un candidat repÈre ce qui lui semble tre une erreur d’ÉnoncÉ, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amenÉ À prendre.
Oscillations linÉaires et un thÉorÈme ergodique.
On dÉsigne parNl’ensemble des entiers naturels et parNl’ensemble des entiers naturels strictement positifs. k n SoitkNetnN.On noteC([0,+[;R)l’ensemble des fonctions de classe k n2n Csur[0,+[À valeurs dansR.Pour chaque fonctionxC([0,+[;R), on 0 00 noterax(t)la dÉrivÉe premiÈre dexau pointtetx(t)sa dÉrivÉe seconde. On dÉsigneraC2π(R;C)l’ensemble des fonctions continuesh:RCqui sont 2πpÉriodiques ;tR, h(t+ 2π) =h(t).PourhC2π(R;C)on posera :
||h||= sup|h(t)|. tR
n On dÉsigne parh;ile produit scalaire euclidien canonique deR.On identifiera chaque n vecteurxdeRÀ un vecteur colonne, encore notÉx, deMn,1(R). On considÈre deux matricesAetKdeMn,n(R)symÉtriques d’ordrenÀ coefficients rÉels. On suppose n que pour tout vecteur colonne non nulxdeRon a :
hAx;xi>0,hKx;xi>0.
I. Oscillations d’un certain systÈme linÉaire. Q1– Prouver que la matrice symÉtrique rÉelleAest inversible. (On pourra consi-dÉrer le noyau de l’applicationx7→Ax). n11 Q2– Prouver quex, yR,hA x;yi=hx;A yi.En dÉduire que la matrice 1 Aest symÉtrique. n Pourx, yR,on pose :(x;y)A=hAx;yi.On dÉsigne parEl’endomorphisme n n1 de l’espace vectorielRdÉfini parxR, E(x) =A Kx. n Q3– Prouver que(; )AdÉfinit un produit scalaire deR.Puis montrer que n x, yR,(E(x);y)A= (x;E(y))A.
n Q4– Montrer qu’il existe une base(ei)1indeRetnrÉels strictement positifs +λiR(1in)tels que 1 i∈ {1, . . . , n}Ke, Ai=λiei.
On considÈre l’Équation diffÉrentielle :
00 t[0,+[, Ax(t) =Kx(t)
2n de fonction inconnuexC([0,+[;R).
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(1)
2n Q5– Montrer quexC([0,+[;R)est solution de l’Équation diffÉrentielle (1) si et seulement si il existe2nnombres rÉels(ai)1in,(bi)1intels que : n X pp  t[0,+[, x(t) =aicos(t λi) +bisin(t λi)ei. i=1 En dÉduire que l’ensemble des solutions de (1) est un espace vectoriel de dimension finie dont on prÉcisera la dimension. 1n Q6– Soientx, yC([0,+[;R).Prouver que d 0 0 t[0,+[,(hAx;yi)(t) =hAx(t);y(t)i+hAx(t);y(t)i. dt
2n Q7– SoitxC([0,+[;R)une solution de l’Équation diffÉrentielle (1). Pour 010 01 chaque rÉelt0on pose,T(x)(t) =hAx(t);x(t)ietU(x)(t) =hKx(t);x(t)i. 2 2 0 Montrer alors que la quantitÉT(x)(t) +U(x)(t)ne dÉpend pas det[0,+[. Les solutions de (1) interviennent en physique; l’objet de la partie III est d’Étudier 0 leur comportement quandt+dans le casn= 2. Les quantitÉsT(x)(t)etU(x)(t) reprÉsentent respectivement une Énergie cinÉtique et une Énergie potentielle. II. RÉsultats intermÉdiaires. Z 2π 1 + costk SoitkN.On dÉsigne parckle rÉel positif tel que :ckdt= 1, 02   1 + costk et pour tout rÉelton poseRk(t) =ck. 2 Z π 1 + cost k k+1 Q8– Calculersin( )t dt.En dÉduire queck. 4 02 Q9– Soit]0, π[.On pose :dk(sup) =Rk(t).Prouver alors que t[,2π] limdk() = 0. k+
Q10– Soit]0, π[,etkN.Prouver que pour toutehC2π(R;C)qui est de 1 classeCsurRet tout rÉelu, on a : Z Z 2π2π Rk(ut)h(t)dt=Rk(t1)h(ut1)dt1,et 0 0 Z 2π 0 Rk(ut)h(t)dth(u)2||h||+ 4π||h||dk().   0 R 2π (On rappelle queRk(t1)dt1= 1et que||h||est dÉfini au dÉbut de l’ÉnoncÉ. Pour 0 Établir l’inÉgalitÉ, on pourra utiliser queh(ut1) =h(ut1+ 2π)lorsquet1[2π,2π]).
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III. Un thÉorÈme ergodique. Dans toute la suite on se limite au casn= 2de la partie I. 2 2 Q11– SoitxC([0,+[;R)une solution de l’Équation (1). Montrer qu’il existe quatre rÉelsc1, c2, ϕ1, ϕ2tels que : 2 X p t[0,+[, x(t) =cicos(t λi+ϕi)ei.(2) i=1 (On rappelle que les deux vecteurse1, e2sont introduits dans la Question 4 ). Dans la suite on fixe deux rÉelsϕ1, ϕ2et on pose : p p t[0,+[, θ(t) = (t λ1+ϕ1, tλ2+ϕ2).(3) λ1 Jusqu’À la fin de l’ÉnoncÉ, on suppose quen’est pas un nombre rationnel. On λ2 λ1m1 suppose doncqu’il n’existe pasd’entiers naturelsm1, m2Ntels que=. m λ2 2 2 2 On dÉsigne parC2π,2π(R;C)l’ensemble des fonctions continuesf:RCtelles que : 2 (θ1, θ2)R, f(θ1+ 2π, θ2) =f(θ1, θ2) =f(θ1, θ2+ 2π). 1 22 On dÉsigne parCle des fonctionsf2π,2π(R;C)l’ensembC2π,2π(R;C)telles ∂f ∂f2 que les deux dÉrivÉes partielles(θ1, θ2),(θ1, θ2)existent en tout point deRet ∂θ1∂θ2 2 dÉfinissent toutes deux des fonctions continues surR. 2 Q12– SoitfC2π,2π(R;C).Prouver que sup|f(θ1, θ2)|= sup|f(θ1, θ2)|. 2 2 (θ12)R(θ12)[0,2π] 2 En dÉduire que(θ1, θ2)7→ |f(θ1, θ2)|est majorÉe surRet atteint sa borne supÉrieure. Avec les notations de la question prÉcÉdente, on posera||f||= sup|f(θ1, θ2)|. 2 (θ12)R R 2π 1 2 (R;C). SoitfC2π,2πOn sait queθ27→f(θ1, θ2)1est continue surR.On 0 pose alors : Z ZZ Z2π2π2π2π f(θ1, θ2)12=f(θ1, θ2)12. 0 00 0 Le but de cette partie est de dÉmontrer le rÉsultat suivant : 1 2 ThÉorÈme 1.(ThÉorÈme Ergodique) SoitfC(R;C).Alors, 2π,2π Z ZZ T2π2π 1 2 limfθ(t)dt= (2π)f(θ1, θ2)12.(4) T00 0 T+λ1 (On rappelle queθ(t)est dÉfini dans(3)et quen’est pas un nombre rationnel). λ2 4
Q13– Soitj, lZ.Prouver le ThÉorÈme Ergodique dans le cas particulier de la 1j iθ2l fonction(θ1, θ2)7→f(θ1, θ2) =e e.(Dans le cas oÙ(j, l)6= (0,0)on pourra vÉrifier √ √ quej λ1+l λ2est non nul puis on pourra calculer sÉparÉment chaque membre de (4) dans ce cas particulier). 1 2 Dans les trois questions suivantes on fixe un ÉlÉment quelconquefC(R;C). 2π,2π Pour chaquekNon pose : Z Z 2π2π 2 (u, v)R, fk(u, v) =Rk(uθ1)Rk(vθ2)f(θ1, θ2)12. 0 0 2 Q14– SoitkN. Prouver qu’il existe(2k+ 1)nombres complexes(aj,l)kj,lk P 2iuj ivl tels que pour tout(u, v)R:fk(u, v) =aj,le e .Justifier que la kj,lk fonctionfkvÉrifie le ThÉorÈme Ergodique. Q15– Soit]0, π[etkN. En Écrivantfk(u, v)f(u, v)comme somme de 2 deux termes et en appliquant la Question 10, prouver que pour tout(u, v)R: ∂f ∂f |fk(u, v)f(u, v)| ≤2(|| ||+|| ||) + 8π||f||dk(). ∂θ1∂θ2 On rappelle que||f||est dÉfini juste aprÈs la Question 12. Q16– Prouver le ThÉorÈme Ergodique pour la fonctionf. (On pourra poser ∂f ∂fM= 2(|| ||+|| ||) + 8π||f||.Pour >0donnÉ, on pourra choisirkNtel que ∂θ1∂θ2 dk()< . Ensuite, on pourra appliquer la Question 14 Àfket considÉrerT0>0tel que pour toutTT0: Z ZZ T2π2π 1 2 |fkθ(t)dt(2π)fk(θ1, θ2)12|< .) T 0 00
Soienta, b]0,2π[tels quea < b.On dÉsigne parφa,b:RRla fonction continue 2πpÉriodique dÉfinie comme suit. La fonctionφa,best nulle sur[0, a]et[b,2π]. Pour 2π toutt[a, b], φa,b(t) = sin( (ta)). ba 2 On rappelle que tout ouvert non vide de]1,1[contient un pavÉ de la forme ] cosb,cosa[×] cosd,cosc[0< a < b < πet0< c < d < π. P2 Q17– On considÈre la solutionx(tcos() =t λi+ϕi)eide (1) obtenue en i=1 prenantc1=c2= 1dans (2). SoitΩun ouvert non vide de{ue1+ve2/ u,v]1,1[}. Prouver qu’il existet[0,+[tel quex(t)Ω.(On pourra raisonner par l’absurde et justifier alors l’existence d’une fonction du type(θ1, θ2)7→φa,b(θ1)φc,d(θ2) = Φ(θ1, θ2) telle queΦ(θ(t))est nulle pour toutt[0,+[).
Fin de l’Épreuve. Le ThÉorÈme 1 dit que la moyenne temporelle de la grandeur physiquefcoin-cide avec la moyenne spatiale def. Il s’agit de l’hypothÈse ergodique du physicien Boltzmann. La Question 17 est alors une illustration du fait que toute trajectoire du systÈme (hamiltonien) ergodique rencontre tout ouvert de l’espace des phases.
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