Algebre bilineaire et analyse de Fourier

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Niveau: Supérieur
Algebre bilineaire et analyse de Fourier cours redige par Jean-Pierre Demailly Universite Joseph Fourier, Grenoble Module MAT244, Annee universitaire 2011/2012 Table des matieres 0. Motivations 2 1. Rappels et complements d'algebre lineaire 3 2. Formes bilineaires. 12 3. Orthogonalite par rapport a une forme bilineaire symetrique 23 4. Formes sesquilineaires 34 5. Normes et distances, methode des moindres carres 44 6. Endomorphismes symetriques, anti-symetriques, orthogonaux et unitaires 49 7. Coniques et quadriques 58 8. Un bref aperc¸u de la vie de Fourier 69 9. L'equation de la chaleur 70 10. Series de Fourier, introduction 74 11. Notions de base sur les series numeriques et les series de fonctions 79 12. Series de Fourier, theoremes fondamentaux de convergence 85 Dans tout le cours, K designera un corps commutatif tel que Q, R ou C (dans toutes les parties purement algebriques cela pourrait etre aussi un corps commutatif quelconque dans lequel 2 = 1 + 1 6= 0, mais nous n'aurons pas besoin ici de considerer ce cas plus general). 1

  • dimension finie

  • famille

  • algebre lineaire

  • rappels generaux d'algebre lineaire

  • base de l'espace vectoriel

  • terrain en pente


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Alg`ebre bilin´eaire et analyse de Fourier
cours r´edig´e par Jean-Pierre Demailly
Universit´e Joseph Fourier, Grenoble
Module MAT244, Ann´ee universitaire 2011/2012
`Table des matieres
0. Motivations 2
1. Rappels et compl´ements d’alg`ebre lin´eaire 3
2. Formes bilin´eaires. 12
3. Orthogonalit´e par rapport a` une forme bilin´eaire sym´etrique 23
4. Formes sesquilin´eaires 34
5. Normes et distances, m´ethode des moindres carr´es 44
6. Endomorphismes sym´etriques, anti-sym´etriques, orthogonaux et unitaires 49
7. Coniques et quadriques 58
8. Un bref aperc¸u de la vie de Fourier 69
9. L’´equation de la chaleur 70
10. S´eries de Fourier, introduction 74
11. Notions de base sur les s´eries num´eriques et les s´eries de fonctions 79
12. S´eries de Fourier, th´eor`emes fondamentaux de convergence 85
Dans tout le cours,K d´esignera un corps commutatif tel queQ,R ouC (dans toutes les
parties purement alg´ebriques cela pourrait ˆetre aussi un corps commutatif quelconque dans
lequel 2 = 1+1 = 0, mais nous n’aurons pas besoin ici de consid´erer ce cas plus g´en´eral).
1
62
0. Motivations
Supposons que nous soyons amen´es a` nous promener en montagne, en nous rep´erant `a partir
d’une carte d’´etat-major.
On effectue un petit d´eplacement depuis le point (x,y) jusqu’au point (x+dx,y +dy) en
supposant (dx,dy) suffisamment petit pour que la pente du terrain n’ait pas le temps de
changer sensiblement (ce n’est pas n´ecessairement le cas sur notre dessin, mais la fl`eche
n’aurait pas ´et´e visible!) Le probl`eme est de calculer la distance parcourue.
p
2 2Sur la carte, le d´eplacement effectu´e est dx +dy d’apr`es le th´eor`eme de Pythagore, mais
ceci ne tient absolument pas compte du fait que l’on se d´eplace sur un terrain en pente. En
r´ealit´e, l’altitude z varie comme une fonction z =f(x,y) du point (x,y) rep´er´e sur la carte,
et la longueur du d´eplacement effectu´e est donc
p
2 2 2ds = dx +dy +dz ,
du moins si on suppose que l’on s’est d´eplac´e en ligne droite (sur une distance suffisamment
faible, on peut consid´erer que c’est le cas). Par diff´erentiation, on a
′ ′dz =f dx+f dyx y
′ ′ou` f , f sont les d´eriv´ees partielles au point (x,y). On trouve doncx y
2 2 2 ′ ′ 2 ′2 2 ′2 2 ′ ′ds =dx +dy +(f dx+f dy) = (1+f )dx +(1+f )dy +2f f dxdy.x y x y x y
Si (u,v) = (dx,dy) est le vecteur d´eplacement, on voit que la distance parcourue s’exprimep
comme q(u,v) ou` q(u,v) est une expression de la forme
2 2q(u,v)=au +bv +cuv.
C’est cequ’onappelle une forme quadratiquede2variables. Plusg´en´eralement, onest amen´e
`a consid´erer des espaces de dimension plus grande, par exemple en Physique on introduit
l’espace-temps de dimension 4, avec ses coordonn´ees (x,y,z,t) ou` t est le temps. Dans ce
cas, une forme quadratique jouant un rˆole important en th´eorie de la relativit´e restreinte est
la forme quadratique de Lorentz
2 2 2 2 2q(dx,dy,dz,dt)=dx +dy +dz −c dt3
ou` c est la vitesse de la lumi`ere. La th´eorie de la relativit´e g´en´eralis´ee consiste en l’´etude
de l’espace-temps courb´e par la pr´esence de la mati`ere ; dans ce cas, de mˆeme que dans
2 2l’expression de ds pour un parcours vallonn´e en montagne, on peut avoir des termes dx ,
2dxdy,... , dxdt, ... , dt dont les coefficients d´ependent eux-mˆemes de (x,y,z,t)!
L’un des buts de ce cours est une ´etude syst´ematique des formes quadratiques et de leurs
propri´et´es. Cette ´etude est fortement li´ee a` celle des applications et formes lin´eaires, c’est
pourquoi nous commencerons par des rappels g´en´eraux d’alg`ebre lin´eaire.
´ ` ´1. Rappels et complements d’algebre lineaire
UnK-espace vectoriel est un ensemble E muni d’une loi de composition interne not´ee +
E×E →E, (x,y)7!x+y,
et d’une loi de composition externe not´ee· (le· ´etant d’ailleurs tr`es souvent omis)
K×E →E, (λ,x)7!λ·x,
appel´ee ici multiplication par un scalaire, satisfaisant aux propri´et´es suivantes :
(1) (associativit´e de +) x+(y+z) = (x+y)+z pour tous x,y∈E
(2) (commutativit´e de +) x+y =y+x pour tous x,y∈E
(3) (´el´ement neutre) ilexiste un´el´ement 0 tel que 0 +x =x+0 =x pourtoutx∈E.E E E
′ ′ ′(4) pour toutx∈E, il existe un´el´ementx ∈E tel quex+x =x +x = 0 (cet´el´ementE
′x est alors unique, appel´e oppos´e de x, et il est not´e−x)
(5) 1·x =x pour tout x∈E
(6) (λµ)·x =λ·(µ·x) pour tous λ,µ∈K, x∈E
(7) λ·(x+y) =λ·x+λ·y pour tous x,y∈E, λ∈K
(8) (λ+µ)·x =λ·x+µ·x pour tous x∈E, λ,µ∈K.
nExemples 1.1. l’ensembleK des n-uplets (x ,...,x ) d’´el´ements deK ; l’ensembleK[X]1 n
des polynoˆmes a` coefficients dans K ; l’ensemble M (K) des matrices carr´ees d’ordre n ;n
0l’ensemble C (I,K) des fonctions continues f : I → K ; l’ensemble des suites r´eelles ou
complexes.
Unsous-espace vectorielF deE estunsous-ensemble deE non vide,stable paraddition
etmultiplicationparunscalaire:∀x,y∈F onax+y∈F,et∀λ∈K,∀x∈F,onaλ·x∈F.
De fa¸con ´equivalente, c’est un sous-ensemble de E non vide et stable par combinaisons
lin´eaires : ∀λ,µ ∈K et ∀x,y ∈ F on λ·x +µ·y ∈ K. Dans ce cas, F est lui mˆeme un
K-espace vectoriel pour les lois + et· induites par E.
Remarque 1.2. Un sous-espace vectoriel F de E contient toujours 0 , car si x∈F, alorsE
0·x = 0 ∈F.E
Exemple 1.3. Un plan d’´equationax+by+cz = 0 (a,b,c∈R) est un sous-espace vectoriel
3deR .
Contre-exemple1.4. L’ensemble d´efiniparx−y+2z = 3n’estpasunsous-espacevectoriel
3deR .
Si F , F , ..., F sont des sous-espaces vectoriels de E, alors l’intersection1 2 N
N\
F =F ∩...∩Fi 1 N
i=14
est un sous-espace vectoriel de E, mais en g´en´eral la r´eunion
N[
F =F ∪...∪Fi 1 N
i=1
n’en est pas un (consid´erer par exemple deux droites concourantes dans un plan).
Soit E un K-espace vectoriel. On appelle famille (finie ou infinie) de vecteurs de E une
collection S = (s ) de vecteurs de E, non n´ecessairement distincts, num´erot´es par desi i∈I
indices i dans un certain ensemble I (lorsque la famille est finie de cardinal m, on choisit
en g´en´eral I ={1,2,...,m}). Une combinaison lin´eaire d’´el´ements de la familleS est un
vecteur de E de la forme X
λs,i i
i∈I
ou` (λ ) est une famille de scalaires n’ayant qu’un nombre fini de coefficients λ = 0 (dei i∈I i
sorte que la somme se r´eduit en fait a` une somme finie); on dit qu’une telle famille de
scalaires est presque nulle (noter que cette condition est toujours satisfaite si I est fini).
Lesous-espace vectoriel de E engendr´e parS est l’ensemble Vect(S) des combinaisons
lin´eaires d’´el´ements deS. Autrement dit,
n oX
Vect(S) = λs ; λ ∈K, λ = 0 en nombre fini .i i i i
i∈I
On dit qu’une familleS de vecteurs deE est g´en´eratrice (ou engendreE) si tout vecteur
v∈E est une combinaison lin´eaire d’´el´ements deS (autrement dit si E = Vect(S)).
Exemples 1.5.
3(1) Un plan deR est engendr´e par deux vecteurs non colin´eaires de ce plan.
n(2) Les n vecteurs (1,0,...,0), ... , (0,...,0,1) engendrentK .
n(3)K[X] est engendr´e par la famille infinie (X ) .n∈N
(4) Une famille quelconque S est toujours par d´efinition une famille g´en´eratrice de
Vect(S).
On dit qu’une familleS = (s ) de vecteurs deE estlibre si pour toute famille de scalairesi i∈I
(λ ) presque nulle on ai i∈I
X
λs = 0⇒λ = 0 pour tout i∈I.i i i
i∈I
Cela aussi revient a` dire qu’aucun ´el´ement deS n’est combinaison lin´eaires des autres.
Exemples 1.6.
(1) Une famille contenant 0 n’est jamais libre.
(2) Une famille contenant deux vecteurs identiques n’est jamais libre, puisqu’on peut
´ecrire 1·v+(−1)·v = 0.
(3) Si v ,v ∈E, une famille (v ,v ) est libre si et seulement si v et v sont non nuls et1 2 1 2 1 2
non colin´eaires.
(4) La famille de fonctions continues (f ,f ,f ) deR dansR telle que1 2 3
2f (x) = 1, f (x) = cos(2x), f (x) = cos (x)1 2 2
n’est pas libre (pourquoi?)
665
n(5) La famille (1,0,...,0), ... , (0,...,0,1) de vecteurs deK est libre.
(6) La famille (f,g) de fonctions f(x) = cos(x), g(x) = sin(x) surR est libre.
On dit qu’une famille de vecteurs B = (e ) est une base de E si elle est a` la fois libre eti i∈I
g´en´eratrice. Cela revient a` dire que tout vecteur x de E s’´ecrit de mani`ere unique commeP
combinaison lin´eairex = xe d’´el´ements deB (la somme n’ayant qu’un nombre fini dei ii∈I
termes x = 0).i
Exemples 1.7.
n(1) La famille de vecteurs (1,0,...,0), ... , (0,...,0,1) forme une base deK , appel´ee
base canonique.
n(2) La famille (1,X,...,X ) forme une base de l’espace vectoriel, not´eK[X] , des po-n
lynoˆmes a` coefficients dansK de degr´e au plus n. On a donc dim K[X] =n+1.K n
(3) Plus g´en´eralement, si P ∈ K[X] est un polynoˆme de degr´e exactement k (c’est-j
ja`-dire de coefficient de X non nul), alors (P ,P ,...,P ) est une base deK[X] .0 1 n n
On d´emontre en effet facilement par r´ecurrence sur n qu’il s’agit d’une famille libre,
respectivement d’une famille g´en´eratrice.
(4) SiS est une famille libre de E, alors c’est une base de Vect(S).
On dit que E est de dimension finie s’il existe une famille g´en´eratrice de cardinal fini.
Dans ce cas,E poss`ede au moins une base, et toutes les bases sont de mˆeme cardinal, appel´e
la dimension deE surK, not´ee dim E ; on omettra parfois l’indiceK dans cette notationK
s’il n’y a pas d’ambiguit´e. (Nous ne red´emontrerons pas ici ces r´esultats fondamentaux qui
font l’objet du cours d’introduction a` l’alg`ebre lin´eaire).
Si E n’est pas de dimension finie, on peut d´emontrer aussi que E admet une base (la
d´emonstration utilise des raisonnements plus avanc´es de th´eorie des ensembles, en parti-
culier “l’axiome du choix”, et elle sera admise).
Th´eor`eme 1.8 (autres propri´et´es fondamentales).
(1) Toute famille libre S de E peut se compl´eter en une base de E, et a donc un
nombre d’´el´ements inf´erieur ou ´egal a` dim E.K
(2) De toute famille g´en´eratriceS deE on peut extraire une base deE, etS doit donc
avoir un nombre d’´el´ements sup´erieur ou ´egal a` dim E.K
(3) Si E est de dimension finie, il en est de mˆeme pour tout sous-espace vectoriel F, et
on a
dim F ≤ dim E,K K
avec ´egalit´e si et seulement si F =E.
(4) Sin = dim E est finie, une famille libre ou g´en´eratrice ayant exactementn ´el´ementsK
est n´ecessairement une base.
On suppose maintenant queE est de dimension finien. SoitB = (e ,...,e ) une base deE.1 n
Alors, pour tout x∈E, on peut ´ecrire
x =x e +...+x e , x ∈K.1 1 n n i
La matrice colonne  
x1
. .X = .
xn
66
s’appelle la matrice descoordonn´ees dex dans la baseB. Il convient de distinguer soigneu-
sement le vecteur x de la matrice X qui le repr´esente (et qui d’ailleurs d´epend de la baseB
choisie).
Attention! Unebase est une familleordonn´ee! Sionchange l’ordredesvecteurs, onobtient
une nouvelle base, et les coordonn´ees x sont permut´ees.i
′ ′ ′SoitB = (e ,...,e ) une autre base deE. Comment calculer les coordonn´es dex∈E dans1 n
′la baseB lorsqu’on les connait dans la baseB?
′Soit P ∈ M (K) la matrice de passage de B `a B , c’est-a`-dire la matrice carr´ee P = (p )n ij
dont les colonnes successives    
p p11 1n
. .   . ., ... ,. .
p pn1 nn
′ ′ ′sont les matrices de coordonn´ees des vecteurs e ,...,e deB dans l’ancienne baseB. Alors1 nPn′par d´efinition on a e = p e . Siij ij i=1
 ′x1
.′  .X = .
′xn
′d´esignent les coordonn´ees du vecteur x dansB , on a
n n n n nX X X X X
′ ′ ′ ′x = x e = x p e = p x e,ij i ij ij j j j
j=1 j=1 i=1 i=1 j=1
et par cons´equent les anciennes coordonn´ees sont li´ees aux nouvelles par la relation
nX
′ ′ ′ −1x = p x ⇐⇒ X =PX ⇐⇒ X =P X.i ij j
j=1
′ ′On notera que l’unicit´e des coordonn´ees entraˆıne que l’application X 7! X = PX est
bijective, donc la matrice P doit ˆetre inversible (sinon, il y a erreur, a` moins que la famille
′B consid´er´ee ne soit pas une base!)
′Pour retenir la formule : se souvenir que si la matriceP exprime la nouvelle baseB par
′rapport`al’ancienne, alorslaformuleX =PX donneaucontrairelesanciennescoordonn´ees
par rapport aux nouvelles.
Exemple 1.9. Supposons, dans un espace vectoriel E de dimension 3 muni d’une base
(i,j,k), que l’on effectue le changement de coordonn´ees

′x = 2x−y+z
′y =−x+2y+4z
 ′z =−4x+y+z
`ou` (x,y,z) d´esignent les coordonn´ees dans la base (i,j,k). A quelle base correspondent ces
′nouvelles coordonn´ees? Pour letrouver, onr´esout lesyst`eme ci-dessus de laformeX =AX,
ce qui donne une solution unique (v´erification laiss´ee au lecteur)

1 1 1′ ′ ′x =− x + y − z 9 9 3
5 ′ 1 ′ 1 ′y =− x + y − z
6 3 2 7 ′ 1 ′ 1 ′z = x + y + z.
18 9 67
Le changement de coordonn´ees est bien bijectif, les nouvelles coordonn´ees sont associ´ees a`
′ ′ ′ −1la base (i,j,k) d´efinie par la matrice de passage P =A :
  
1 1 1 ′ 1 5 7− − i =− i− j + k9 9 3 9 6 18 5 1 1 ′ 1 1 1P = − − soit j = i+ j + k 6 3 2 9 3 97 1 1 1 1 1′k =− i− j + k.
18 9 6 3 2 6
Sommes et sommes directes de sous-espaces vectoriels. Soient F ,...,F des sous-1 m
espaces vectoriels deE. La somme des sous-espaces F ,...,F est le sous-espace vectoriel1 m
F +...+F de E d´efini par1 m

F +...+F = v =v +...+v ; v ∈F1 m 1 m i i
(il est tr`es facile de v´erifier que c’est bien un sous-espace vectoriel). Si on prend une baseBi
deF et une familleB qui est la r´eunion des basesB , il est facile de voir que c’est une famillei i
g´en´eratrice (mais non n´ecessairement une base) de F +...+F . On a donc en g´en´eral1 m
dim (F +...+F )≤ dim F +dim F +...+dim F .K 1 m K 1 K 2 K m
L’in´egalit´e est stricte s’il on prend par exemple pour E un plan vectoriel r´eel, et F = D ,1 1
F =D , F =D trois droites deux `a deux distinctes de ce plan. Dans ce cas, si e est un2 2 3 3 i
vecteurdirecteurdeD ,onvoitque(e ,e ,e )estunsyst`emeg´en´erateurdeE =D +D +D ,i 1 2 3 1 2 3
mais ce n’est pas une famille libre.
On dit que F ,...,F sont en somme directe si pour tout v ∈F ,...,v ∈F , on a1 m 1 1 m m
v +...+v = 0 ⇒ v =... =v = 0.1 m 1 m
Par diff´erence de deux d´ecompositions donnant le mˆeme vecteur v
′ ′ ′v =v +...+v =v +...+v avec v,v ∈F,1 m i i1 m i
′ ′ ′ ′ona0 = (v −v )+...+(v −v )etdoncv −v = 0,soitv =v ;onvoitainsique l’´ecriture1 m i i1 m i i
d’une somme v = v +...+v avec v ∈ F est unique, et cette propri´et´e caract´erise les1 m i i
′sommes directes (prendre v = 0 et v = 0).i
Dans cette situation, on dit que F =F +...+F est la somme directe des sous-espaces1 m
F ,...,F et on ´ecrit1 m
F =F ⊕...⊕F .1 m
De l’unicit´e de la d´ecomposition on d´eduit facilement que l’on obtient une base B de F en
prenant la r´eunion de basesB des F . On a donc bien icii i
dim (F ⊕...⊕F ) = dim F +dim F +...+dim F ,K 1 m K 1 K 2 K m
et en dimension finie cette propri´et´e caract´erise les sommes directes.
Si m = 2, on v´erifie imm´ediatement que F et F sont en somme directe si et seulement si1 2
on a F ∩F ={0} (en revanche l’exemple ci-dessus de 3 droites D d’un plan montre que1 2 i
D +D +D n’est pas en somme directe, bien que D ∩D =D ∩D =D ∩D ={0}.)1 2 3 1 2 2 3 1 3
Exemple 1.10. Si e ,...,e est une base de E, alors1 n
E =Ke ⊕···⊕Ke .1 n
Par exemple
3R =R(1,0,0)⊕R(0,1,0)⊕R(0,0,1).
′Applicationslin´eaires.SoientE,E deuxK-espacesvectoriels.UneapplicationK-lin´eaire
′ ′de E dans E est une application f :E →E v´erifiant les 2 propri´et´es :
(1) f(v +v ) =f(v )+f(v ) pour tous v ,v ∈E,1 2 1 2 1 28
(2) f(λv)=λf(v) pour tous λ∈K, v∈E.
Il est ´equivalent de v´erifier (1) et (2) ou la propri´et´e ´equivalente de transformation parf des
combinaisons lin´eaires :
(3) f(λ v +λ v ) =λ f(v )+λ f(v ) pour tous λ ,λ ∈K, v ,v ∈E.1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2
Dans ce cas, on a n´ecessairement f(0) = 0 (comme on le voit en faisant λ = 0 dans
l’axiome (2)).
Le noyau de f, not´e Kerf, est l’ensemble

Kerf = v∈E; f(v) = 0 ⊂E.
C’est un sous-espace vectoriel de E.
L’image de f, not´ee Imf, est l’ensemble

′Imf = f(v),v∈E ⊂E.
′C’est un sous-espace vectoriel de E .
′ ′Notation 1.11. On noteraL (E;E ) l’ensemble des applicationsK-lin´eaires de E dans EK
(et on se permettra souvent d’omettre le corpsK s’il n’y a pas d’ambiguit´e possible).
′ ′ ′ ′Si B = (e ,...,e ) est une base de E et B = (e ,...,e ) une base de E , toute application1 p 1 n
′lin´eaire f ∈L(E;E ) s’exprime sous la forme
′x =x e +...+x e → x =f(x) =x f(e )+...+x f(e ).1 p n p 1 1 p p
P
′ ′ ′Si l’on pose f(e ) = a e dans la base (e ) de E , a ∈K, on aj ij ij1≤i≤n i i
p n n pX X X X
′ ′ ′x = x a e = a x e.j ij ij ji i
j=1 i=1 i=1 j=1
′ ′ ′La matrice colonne des coordonn´ees X de x dansB s’exprime donc par
pX
′ ′
′x = a x , soit X =AX, ou` A = (a ) = Mat (f)ij j ij 1≤i≤p, 1≤j≤n B,Bi
j=1
′est pard´efinition lamatricedef relativement aux basesB etB ;c’est une matrice `an lignes
′et p colonnes `a coefficients dansK, avec n = dim E et p = dim E.K K
Formule g´en´erale de changement de base. Supposons que l’on change simultan´ement
′ eles bases deE et deE : dansE, on remplace la baseB = (e ) par une baseB = (e ) d´efiniej j
′ ′ ′ ′ ′epar la matrice de passage P, et dans E la baseB = (e ) par une base B = (e) d´efinie pari i
′ ′´une matrice de passage P . Etant donn´e une application lin´eaire f ∈L (E;E ), la questionK
est de trouver la nouvelle matrice
e ′A = Mat (f) en fonction de A = Mat (f).e′e B,BB,B
Avec des notations ´evidentes, on a
′ ′ ′ ′e eX =AX, X =PX, X =P X .
Ceci donne
′ ′ −1 ′ ′ −1 ′ −1e eX = (P ) X = (P ) AX = (P ) APX.
On voit donc que la nouvelle matrice de f est donn´ee par
′ −1eMat (f) =A = (P ) AP,′e eB,B
′ ′si P et P sont les matrices de passage dans E et E respectivement.
79
′Th´eor`eme 1.12 (Th´eor`eme du rang). Soient E,E deuxK-espaces vectoriels, et soit f :
′E → E une application lin´eaire. Si E est de dimension finie, alors Kerf et Imf sont de
dimension finie et on a
dim Kerf +dim Imf = dim E.K K K
D´emonstration. Comme Kerf est un sous-espace vectoriel de E, il est n´ecessairement de
dimension finie. Soit (e ,...,e ) une base de Kerf, avecp = dim Kerf. On la compl`ete en1 p K
une base (e ,...,e ) de E, ou` n = dim E ≥ p. On a f(e ) = ... = f(e ) = 0 puisque ces1 n K 1 p
vecteurs e sont dans Kerf. L’image Imf est par d´efinition l’ensemble des vecteurs imagesi
w =f(x e +...+x e ). Comme f est lin´eaire, il vient1 1 n n
w =f(x e +...+x e ) =x f(e )+...+x f(e ) =f(x e +...+x e ),1 1 n n p+1 p+1 n n p+1 p+1 n n
et on voit d´ej`a que la famille G = (f(e ),...,f(e )) est une famille g´en´eratrice de Imf.p+1 n
Montrons que c’est une base : il reste `a voir que G est libre. Pour cela, supposons w = 0.
Alorsv =x e +...+x e ∈ Kerf,et comme (e ,...,e ) est une base de Kerf, il existep+1 p+1 n n 1 p
des scalaires v ,...,v ∈K tels que1 p
v =x e +...+x e =v e +...+v e .p+1 p+1 n n 1 1 p p
Maintenant, comme (e ,...,e ) est une base de E, on en conclut que x = ... = x = 01 n p+1 n
(etaussiv =... =v = 0).CecientraˆınequeG estbienlibre.Onadoncdim Imf =n−pet1 p K
dim Kerf +dim Imf =p+(n−p) =n = dim E.K K K
Remarque compl´ementaire. Si S = Vect(e ,...,e ), alors on a par construction lap+1 n
somme directe
E = Kerf⊕S,
et la restriction f : S → Imf est une bijection (“isomorphisme” d’espaces vectoriels),|S
envoyant la base (e ,...,e ) de S sur la baseG = (f(e ),...,f(e )) de Imf.p+1 n p+1 n
′D´efinition 1.13. Le rang d’une application lin´eaire f :E →E est par d´efinition
rang (f) = dim ImfKK
Il existe plusieurs m´ethodes pour calculer le rang, l’une d’elles est de calculer Kerf et sa
dimension, puis d’appliquer le th´eor`eme du rang. Une autre est d’observer que pour toute
base B = (ε ,...,ε ) de E, la famille G = (f(ε ),...,f(ε )) constitu´ee par les vecteurs1 n 1 n
colonnes de Mat (f) est une famille g´en´eratrice de Imf. On cherche alors a` ´eliminer lesB
vecteurs qui sont combinaisons lin´eaires des autres pour en extraire une base de Imf ;P
on remarquera que ces combinaisons lin´eaires λ f(ε ) = 0 s’obtiennent pr´ecis´ement enj j
cherchant les vecteurs x =λ ε tels que f(x) = 0.j j
Formes lin´eaires. Une forme lin´eaire surE est par d´efinition une application lin´eaire de
E dansK.
Lemme 1.14. Soit E unK-espace vectoriel de dimension n, et soit f :E →K une forme
lin´eaire non nulle. Alors dim Kerf =n−1.K
D´emonstration. D’apr`es le th´eor`eme du rang, il suffit de montrer que dim Imf = 1. EnK
fait, on va montrer que Imf =K, ce qui entraˆınera que dim Imf = dim K = 1.K K
Puisquef est suppos´ee non nulle, il existex ∈E tel quef(x ) = 0. Soit maintenantλ∈K.0 0
On a λ λ
f x = f(x ) =λ,0 0
f(x ) f(x )0 0
610
et donc λ ∈ Imf. Ceci ´etant vrai pour tout λ ∈K, on obtient Imf =K, ce qui ach`eve la
d´emonstration.
Remarque 1.15. Le r´esultat peut ˆetre approch´e de mani`ere plus calculatoire comme suit :
soit (e ,...,e ) une base E. Posons a =f(e )∈K. Alors pour tout x =x e +...+x e1 n i i 1 1 n n
f(x) =x f(e )+...+x f(e ) =a x +...+a x .1 1 n n 1 1 n n
On a donc
f(x) = 0 ⇐⇒ a x +...+a x = 0.1 1 n n
Puisque f est non nulle, un des a est non nul, et donci
a a a a1 i−1 i+1 n
f(x) = 0 ⇐⇒ x =− x +...+ x + x +...+ xi 1 i−1 i+1 n
a a a ai i i i
         .1 0 0x .1 .
. . ..         . . .. . 1 . . .        
         a aa i−1 i+1 a1 n− − − −⇐⇒ x =x +...+x +x +...+x         i 1 i−1 i+1 na a a ai i i i         . . . .1.   .   .     . . . . .
..x 0 0 . 1n
ou` chaque matrice colonne du membre de droite n’a que deux coefficients non nuls au plus.
Ces (n− 1) matrices colonnes sont les coordonn´ees d’une base de Kerf relativement a` la
base (e ,...,e ) de E.1 n
Espace dual. Si E est unK-espace vectoriel, on appelle dual de E leK-espace vectoriel
∗E =L (E;K) des formes lin´eaires sur E.K
∗Suupposons queE soit de dimension finien, muni d’une base (e ,...,e ), et soitℓ∈E une1 n
forme lin´eaire. Alors pour x =x e +...+x e on a1 1 n n
ℓ(x) =x ℓ(e )+...+x ℓ(e ) =a x +...+a x1 1 n n 1 1 n n
avec a = ℓ(e ). Si on utilise comme base de K la base canonique (1), la matrice de ℓi i
relativement aux bases (e ,...,e ) de E et (1) deK est la matrice ligne A = (a ,...,a ).1 n 1 n
En identifiant les scalaires aux matrices 1×1 on a
 
x1
. .ℓ(x) = (a ,...,a ) =AX1 n .
xn
ou` X est la matrice colonne de x dans (e ,...,e ). On introduit maintenant les formes1 n
∗lin´eaires coordonn´ees, not´ee e , telles quei
 
x1
.∗  .e (x) =x = (0,...,0,1,0,...,0) (le 1 ´etant en position i).i .i
xn
∗On voit aussitˆot que ces formes sont lin´eairement ind´ependantes, que e (e ) =δ (symbolej iji
de Kronecker, ´egal `a 1 si i =j et 0 si i =j), et que
∗ ∗ ∗ ∗ℓ(x) =a e (x)+...+a e (x), soit ℓ =a e +...+a e .1 n 1 n1 n 1 n
∗ ∗ ∗Il en r´esulte que (e ,...,e ) est une base de E . On l’appelle la base duale de la base1 n
∗ ∗(e ,...,e ). On notera que les coordonn´ees de ℓ dans la base (e ,...,e ) sont pr´ecis´ement1 n 1 n
les coefficients a =ℓ(e ). Il r´esulte aussi de ce qui pr´ec`ede qu’on a toujoursi i
∗dim E =n = dim E.K K
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