ANALYSE HILBERTIENNE SERIE DE FOURIER

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Sandrine Grellier ANALYSE HILBERTIENNE SERIE DE FOURIER

  • classe c1 par morceaux

  • analyse hilbertienne

  • subdivision de l'intervalle

  • gauche en xk

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Publié le : mercredi 30 mai 2012
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ANALYSE ´ SERIE DE
DE
HILBERTIENNE FOURIER
FOURIER
Sandrine
Grellier
Sandrine
Grel
septembre
lier
2010
ANALYSE ´ SERIE
HILBERTIENNE DE FOURIER
Sandrine
Grellier
CHAPITRE 1
´ ´ ´ GENERALITES.
1.1. Fonctions continues par morceaux Dans la suite on note f ( x + ) (resp. f ( x ))lalimitea`droite(resp.a`gauche)dunefonction f en un point x donn´e. Autrement dit, on a f ( x + ) = t li m x f ( t ) , f ( x ) = l t i m x f ( t ) . t>x t<x D´enition1.1.1 . — On dit qu’une fonction f : R C est continue par morceaux sur un intervalle [ a, b ] s’il existe une subdivision de l’intervalle [ a, b ] a = x 0 < x 1 < ∙ ∙ ∙ < x p = b, p 1 telle que, pour tout k , 0 k p 1, 1. la fonction f soit continue sur chaque intervalle ] x k , x k +1 [, 2. la fonction f admetteunelimite`adroiteen x k eta`gaucheen x k +1 . Remarque 1 . — Il´ultdecetted´enitionque f admetunelimitea`droiteeta`gaucheentoutpointde ] a, b [ . Ces res e limites`adroiteet`agauchecoı¨ncidentenunpoint x 0 si et seulement si la fonction est continue en x 0 . Remarque 2 . — Onobtientlameˆmenotionsilexistedesfonctions f k , k = 0 `a p 1 , continue sur [ x k , x k +1 ] dont larestriction`a ] x k , x k +1 [ co¨ıncide avec f . Exercice 1 . — Montrer qu’une fonction f continue par morceaux sur [ a, b ] estborne´e. D´enition1.1.2 . — On dit qu’une fonction f : R C est de classe C 1 par morceaux s’il existe une subdivision de l’intervalle [ a, b ] a = x 0 < x 1 < ∙ ∙ ∙ < x p = b, p 1 telle que, pour tout k , 0 k p 1, 1. la fonction f soitde´rivable,`ade´riv´eecontinuesurchaqueintervalleouvert] x k , x k +1 [, 2. la fonction f etsade´riv´ee f 0 admettentunelimitea`droiteen x k eta`gaucheen x k +1 . Remarque 3 . — Pard´enition,toutefonctiondeclasse C 1 par morceaux sur [ a, b ] est continue par morceaux sur [ a, b ] . Remarque 4 . — Lafonctiond´eriv´eepeutnepasexisterauxpoints x k : en particulier f nestpasne´cessairement continue en x k . Exercice 2 . — Si f est de classe C 1 par morceaux sur [ a, b ] et si f est continue sur [ a, b ] alors f est de classe C 1 sur les intervalles [ x k , x k +1 ] , 0 k p 1 .
1.2.Inte´gration OnrappellequelesfonctionscontinuesparmorceauxsontRiemann-int´egrablessurlesintervallesde R .On´ecrit Z ab f ( x ) dx = pk = X 1 Z xx kk +1 f ( x ) dx. 0 Soit f une fonction de classe C 1 par morceaux sur [ a, b ].Onavuquelade´riv´eede f peut ne pas exister aux points x k . Cependant si l’on pose h ( x ) = f 0 ( x )endehorsdecespointsetsilondonneunevaleurarbitraire`achaque h ( x k ), on obtient ainsi une fonction h quiestcontinueparmorceaux.Deplus,linte´grale R ab h ( x ) dx nede´pendquede f 0 et
6
´ ´ ´ CHAPITRE 1. GENERALITES.
nondesvaleursquelonadonn´eesaux h ( x k ).Pourcetteraison,onditquilsagitdelint´egralede f 0 sur [ a, b ] et on la note R ab f 0 ( x ) dx .Onpeutd´emontreruneformuledinte´grationparparties. Proposition 1.2.1 . — Soient f et g des fonctions continues sur [ a, b ] et de classe C 1 par morceaux sur [ a, b ] . Alors onalaformuledinte´grationparpartiesusuelle: Z ab f ( x ) g 0 ( x ) dx = [ f ( x ) g ( x )] ab Z ab f 0 ( x ) g ( x ) dx. Ici [ f ( x ) g ( x )] ab = f ( b ) g ( b ) f ( a ) g ( a ) . Remarque 5 . — ATTENTION:laformulepre´c´edentenestplusvraiesilonsupposeseulement f et g de classe C 1 par morceaux.
1.3. Fonctions 2 π -p´eriodiques De´nition1.3.1 . — Une fonction 2 π -pe´riodiqueestditecontinue(resp.declasse C 1 ) par morceaux sur R si elle est continue (resp. de classe C 1 ) par morceaux sur un intervalle de longueur 2 π . Remarque 6 . — Si une fonction f est T -p´eriodique,lafonction x 7→ f ( 2 Tπ x ) est 2 π -p´eriodique.Travailleravecles fonctions 2 π -p´eriodiquesplutˆotquelesfonctions T -pe´riodiquesnestdoncpasunerestriction. Lemme 7 . — Soit f une fonction continue par morceaux et 2 π -p´eriodique.Alorslinte´grale Z aa +2 π f ( x ) dx ned´ependpasduchoixde a .Autrementdit,pourtoutre´el a , on a Z aa +2 π f ( x ) dx = Z 2 π f ( x ) dx. 0 Exercice 3 . — Soit f une fonction 2 π -p´eriodiquecontinueparmorceaux.Montrerque f est continue sur R si et seulementsiilexisteunre´el a telquelesdeuxpropri´et´essuivantessoientve´rie´es: 1. la fonction f est continue sur [ a, a + 2 π [ , 2. f ( a + ) = f (( a + 2 π ) ) . Exercice 4 . — De´montrerquesi f et g sont deux fonctions 2 π -pe´riodiques,continuesparmorceaux,alors,pourtout ´lxe´,lafonction t 7→ f ( t ) g ( x t ) est aussi 2 π -p´eriodiqueetcontinueparmorceaux. x ree
1.4. Produit de convolution D´enition1.4.1 . — Soient f et g deux fonctions 2 π -p´eriodiquescontinuesparmorceaux.Onappelle produit de convolution de f et g la fonction f g d´eniesur R par 1 π f g ( x )2 π Z 02 f ( t ) g ( x t ) dt. = Proposition 1.4.2 . — Etantdonn´eesdeuxfonctions 2 π -pe´riodiquescontinuesparmorceaux f et g , leur produit de convolution est une fonction 2 π -p´eriodiqueetona f g = g f . De plus, si l’une des fonctions f ou g est continue sur R , alors f g est continue sur R . The´ore`me1.4.3 . — Soit ( K n ) n N une suite de fonctions 2 π -pe´riodiques,continuesparmorceauxettellesque 1. Pour tout n , K n est`avaleurspositiveset 2 π Z 0 n ( t )2 dtπ = 1 . K 2. Pour tout 0 < δ < 2 π , li m Z 0 K n ( t ) dt = 0 . n< | t | Alors pour toute fonction f 2 π -pe´riodiqueetcontinue,lasuitedefonctions ( K n f ) n N convergeuniform´ementvers f lorsque n tend vers + .
CHAPITRE 2
´ L’ESPACE PRE-HILBERTIEN DE DIRICHLET
2.1. L’espace de Dirichlet De´nition2.1.1 . — On appelle espace de Dirichlet D l’ensemble des fonctions 2 π -pe´riodiques,continuesparmor-ceaux sur un intervalle de longueur 2 π et telles que pour tout a R , f ( a ) f ( a )+2 f ( a + ) . = Remarque 8 . — L’espace de Dirichlet est un C -espace vectoriel. Remarque 9 . — Les fonctions de D sontborn´eessur R . Th´eor`eme2.1.2 . — L’application D ) 2 C (( f, g ) 7→ < f | g > = R 02 π f ( t ) g ( t ) 2 π . dt d´enitunproduitscalairehermitiensur D . On dit que ( D , < ∙|∙ > )estunespacepr´e-hilbertien.Unespacehilbertienestunespacepr´e-hilbertiencompletpour lanormeassocie´eauproduitscalaire. Ici, la norme sur D estdonn´eepar k f k 2 = Z 2 π | f ( t ) | 2 2 dtπ. 0 Remarque 10 . — Onpeutaussiconsid´ererlespacedesfonctionscontinuesparmorceauxquotient´eparlarelation de´quivalencesuivante:deuxfonctions f et g continuesparmorceauxsontenrelationd´equivalencesiellessont´egales saufauxpointsde´ventuellediscontinuite´.Surlespace E obtenu, < ∙|∙ > est un produit scalaire hermitien et, donc, ( E, , < ∙|∙ > ) estunespacepre´-hilbertien.
2.2.Polynomestrigonome´triques ˆ De´nition2.2.1 . — On appelle polynˆometri´etrique toute fonction P d´eniesur R par gonom N P ( x ) = X c n e inx n = N ou` N est un entier naturel et les c j , N j N , sont des nombres complexes. Si c N ou c N est non nul, N est appel´eledegr´ede P . On note P N lensembledespolynoˆmestrigonome´triquesded´egr´einf´erieuroue´gala` N . On note e k ( x ) = e ikx pour k Z . Lemme 11 . — La famille ( e k ) k Z est une famille orthonormale. Autrement dit, on a < e k | e ` > = Z 02 π e i ( k l ) t 2 dtπ = 01 ssii kk 6 == ``. Proposition 2.2.2 . — Soit N unentier.Lensembledespolynoˆmestrigonome´triques P N est un un espace vectoriel de dimension 2 N + 1 dont une base orthonormale est la famille ( e k ) N k N
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