Chapitre 1 - Econométrie Appliquée SériesTemporelles

Christophe Hurlin

Description

Niveau: Supérieur, Master
Chapitre 1. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin 1 U.F.R. Economie Appliquée Maîtrise d'Economie Appliquée Cours de Tronc Commun Econométrie Appliquée Séries Temporelles Christophe HURLIN

• population des moment


• u∞ ?∞


• fondements probabilistes des méthodes statis


• variable aléatoire


• variance


• rappels de probabilité et de statistiques


• appliquée

Sujets

• Variance
• Variable aléatoire

Informations

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Extrait

Chapitre 1. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin

U.F.R.EconomieAppliquée

Maîtrise dEconomie Appliquée

Cours de Tronc Commun

Econométrie Appliquée SériesTemporelles

Christophe HURLIN

1

Chapitre 1. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin

Chapitre 1

Les Processus Aléatoires lesProcessusARMA

Stationnaires

et

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Chapitre 1. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin

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Le but de ce chapitre est dintroduire la notion de processus temporel et plus particulièrement la classe des processusARM Aqui sont particulièrement utiles pour décrire le comportement des séries temporelles univariées. Cette présentation suppose que lon dénisse au préalable un certain nombre de notions essentielles à lanalyse des séries temporelles, et en particulier la notion de stationnarité. Létude des séries temporelles suppose que lon fasse au préalable un certain nombre de rappels en probabilité et en statistiques.

1 Rappels de Probabilité et de Statistiques Avant de dénir la notion de série temporelle, il convient de faire un certain nombre de rap- pels succincts. Les rappels proposés dans le cadre de cette section portent avant tout sur les probabilités et les statistiques usuelles. Toutefois, la lecture de ces rappels doit nécessairement saccompagner dune étude plus systématique des fondements probabilistes des méthodes statis- tiques (cf. Méthodes Statistiques, Philippe Tassi,Economica1989).

On considère unevariable stochastique réelleouvariable aléatoire réelle (v.a.r.en abrégé) continue, notéeX, dont la loi de probabilité, pour une réalisationx,est dénie par la fonction de densitéf X (x),supposéecontinue, telle quef X (x)≥0: b ≤X≤b ] a ∀(a, b)∈R 2 P(a) =f X (x)dx(1.1) ] 1 0 f X (x)dx= 1(1.2) On noteF X (.)lafonction de répartitionoufonction de distributioncumulative associée à X,telle que : a)≡P(X < a) = ] − a ∞ f X (x)dx(1.3) F X (a)≡P(X≤

Nous allons à présent successivement proposer des rappels sur les notions de population des moments, de moments empiriques, distribution jointe, de distribution conditionnelle, dindépen- dance, de convergence, ainsi que des rappels sur les propriétés dun certain nombre de lois usuels.

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1.1 La population des moments théoriques Pour une variable aléatoire réelle (v.a.r.)X,lespérance et la varianceconstituent deux moments particuliers, mais plus généralement il est possible, sous certaines hypothèses, de dénir la population des momentset lapopulation des moments centrésde la façon suivante : Denition 1Pour une variable aléatoire réelle continueX,de densitéf X (.),la pop- ulation des moments associée à tout ordrek∈N,est dénie par : E  X k  = ] ∞− ∞ x k f X (x)dx(1.4) La population des moments centrés associée à tout ordrek∈N,notéeµ k ,est dénie par : µ k =E k (X−µ) k l = ] ∞ ∞− (x−µ) k f X (x)dx(1.5) avecµ=E(X) = U ∞ ∞ − xf X (x)dx. Ainsilespérance, notéeE(X),correspond au moment dordre un (k= 1) : E(X) = ] − ∞ x f X (x)dx=µ ∞ De la même façon, lavariance, notéeV(X),est dénie par le moment centré dordre deux (k= 2) : V(X) =µ 2 =E k (X−µ) 2 l = ] ∞ x)dx (x−µ) 2 f X ( −∞ En général, lorsque lon cherche à établir la population des moments dune transformée, linéaire ou non, de la v.a.r.X,on utilise la propriété suivante : Propriété 1. On considère une v.a.r. transformée, telle queY=g(X).Soitf X (.)la fonction de densité de la v.a.r.X.La population des moment et la pop- ulation des moments centrés dordrek,de la transforméeg(X)sont alors dénies par lespérance respective des transformées[g(X)] k et  g(X)−µ Y  k , avecµ Y =E[g(x)],∀k∈N: E q [g(X)] k ∞ [g(x)] k f X (x)dx(1.6) r = ] −∞  g(x)−µ Y  k f X (x)dx(1.7) µ k Y =E q  g(X)−µ Y  k r = ] −∞ ∞ En particulier, lespérance deYcorrespond à : E =[ ] ] ∞ g(X)g(x)f X (x)dx −∞

(1.8)

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Considérons lexemple suivant. SoitYla transformée linéaire deX,telle queY=a+bX, (a, b)∈R 2 .Le moment dordre un deY,est déni par : E(a+bX) = ] ∞ −∞ (a+bx)f X (x)dx =a ] − ∞ ∞ f X (x)dx+b ] ∞ −∞ x f X (x)dx =a+b E(X) On retrouve ainsi le résultatE(Y) =a+b E(X),selon lequel lespérance est un opérateur linéaire. De la même façon, on peut calculer la variance de la variable transforméeY,notée V(Y),qui correspond au moment centré dordre deux. note Onµ,avecµ∈R, lespérance de la variableX. V(a+bX) = ] −∞ ∞ [(a+bx)−(a+bµ)] 2 f X (x)dx ∞ =b 2 ] −∞ (x−µ) 2 f X (x)dx On obtientnalement la relation standard : V(a+bX) =b 2 V(X)

(1.9)

Un autre résultat, découlant de la propriété 1, est particulièrement utile dans le cadre des modèles linéaires. Il sagit du résultat suivant : E  X 2  =V(X) + [E(X)] 2 (1.10) Pour démontrer ce résultat, il suffit de réécrireE  X 2  sous la formeE k (X−µ+µ) 2 l .Dès lors, il vient : E  X 2  =E k (X−µ+µ) 2 l =E k (X−µ) 2 + 2µ(X−µ) +µ 2 l =E k (X−µ) 2 l + 2µ[E(X)−µ] +µ 2 =V(X) + [E(X)] 2

Dans lapplication de certains tests, nous aurons par la suite besoin dintroduire les moments centrés dordre 3 et 4, qui correspondent respectivement à laSkewnesset à laKurtosis: Skewness=µ 3 =E k (X−µ) 3 l (1.11)