Correction ds n°2 - Mesure d’une focale

Yves Josse

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Samedi 13 novembre 2010 PCSI A & B Devoir surveillé no 2 Optique & Mécanique – La durée de l'épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin du temps prévu. – L'usage de la calculatrice est autorisé. – Tous les problèmes et exercices sont indépendants – Les résultats devront être encadrés. – Toute application numérique ne comportant pas d'unité sera considérée comme fausse. – Si au cours de l'épreuve vous repérez ce qui semble être une erreur d'énoncé, vous le signalerez sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre. – Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question. Problème I Mesure d'une focale A Généralités On considère une lentille mince de centre O dans l'approximation de Gauss. A.1 Préciser la signification des deux termes en gras. A.2 Rappeler la formule de conjugaison de Descartes pour une lentille mince donnant la position de l'image OA? en fonction de celle de l'objet OA. A.3 Etablir l'expression du grandissement en fonction de OA et OA?. B Étude d'un viseur à frontale fixe Un viseur à frontale fixe est constitué : – d'un objectif, constitué d'une lentille mince L1 convergente de centre O1 et de distance focale image f ?1 = 7, 0 cm, – d'un réticule distant d'une distance D = 14 cm de l'objectif, – d'un oculaire constitué d'une lentille mince

• lentille


• relation de conjugaison au sommet du miroir


• relation de conjugaison de newton


• passage de la lumière après réflexion sur m1


• centre c1


• distance focale


• miroirs sphériques


• lentille convergente

Sujets

• Lentille optique
• Distance focale
• Lentille

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Publié le: 01 novembre 2010
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• Langue: Français

Extrait

LycÉe Brizeux PCSI A & B

o Devoir surveill n 2

Samedi 13 novembre 2010

Optique & MÉcanique –La durÉe de l’Épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisÉs À sortir avant la fin du temps prÉvu. –L’usage de la calculatrice est autorisÉ. –Tous les problÈmes et exercices sont indÉpendants –Les rÉsultats devront tre encadrÉs. –Toute application numÉrique ne comportant pas d’unitÉ sera considÉrÉe comme fausse. –Si au cours de l’Épreuve vous repÉrez ce qui semble tre une erreur d’ÉnoncÉ, vous le signalerez sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez ÉtÉ amenÉ À prendre. –Les rÉsultats littÉraux non homogÈnes entraïneront la perte de tous les points de la question.

Problme I Mesure d’une focale A Gnralits On considÈre une lentillemincede centreOdansl’approximation de Gauss. A.1PrÉciser la signification des deux termes en gras. A.2Rappeler la formule de conjugaison de Descartes pour une lentille mince donnant la position de 0 l’imageOAen fonction de celle de l’objetOA. 0 A.3Etablir l’expression du grandissement en fonction deOAetOA.

B Ètude d’un viseur À frontale fixe Un viseur Ā frontale fixe est constituÉ :

– d’un objectif, constituÉ d’une lentille minceL 1 convergente de centreO 1 et de distance focale 0 imagef= 7,0cm, 1 – d’un rÉticule distant d’une distanceD= 14cmde l’objectif, – d’un oculaire constituÉ d’une lentille minceL 2 convergente de centreO 2 et de distance focale 0 imagef= 3,0cm, situÉe Ā la distanceddu rÉticule. 2

B.1Un oeil « normal » voit sans accommodation Ā l’infini. En dÉduire la distancedpour que l’oeil puisse voir le rÉticule sans accommoder.

1

B.2Un oeil myope est modÉlisable par une lentilleL 0 convergente dont le centre optiqueOest placÉ 0 Ād= 15mmde la rÉtine, modÉlisÉ par un Écran. Sa facultÉ d’accommodation lui permet d’adapter sa focale : il obtient une image nette lorsque l’objet est situÉ Ā une distance comprise entred 1 = 12cm (punctum proximum) etd 2 = 1,2m(punctum remotum) deL 0 .

0 a valeur de la focale imagefdeLr obtenir une image nette sur la B.2.1Quelle doit tre l 0 0 pou rÉtine d’un objet situÉ Ā une distanced 1 = 12cm(punctum proximum) devant l’oeil ? 0 pour obtenir une im B.2.2Quelle doit tre la valeur de la focale imagef 0 deL 0 age nette sur la rÉtine d’un objet situÉ Ā une distanced 2 = 1,2m(punctum remotum) devant l’oeil ? B.2.3DÉterminer graphiquement, dans le cadre de l’approximation de Gauss, les positions des foyers 0 image,Fet objetFde la lentille sur la figure 1 donnÉe en annexe et Ā rendre avec la copie (derniÈre page Ā dÉcouper). B.3On accole l’oeil myope Ā l’oculaire. On admettra que l’oeil accommode Ā son punctum remotum. B.3.1?OÙ doit se trouver l’image dÉfinitive Ā la sortie du viseur B.3.2En dÉduire la nouvelle distancedentre le rÉticule et l’oculaire. B.4On cherche Ā voir simultanÉment l’objet visÉ et le rÉticule. B.4.1OÙ doit-on placer un objet pour pouvoir le voir Ā travers le viseur ? On demande l’expression littÉrale deO 1 Aet l’application numÉrique. B.4.2?Cette position dÉpend-elle de la nature de l’oeil (« normal »ou myope) B.4.3Lorsqu’un oeil « normal »n’accommode pas, faire la construction de la position de l’objet sur la figure 2 en annexe et Ā rendre avec la copie (derniÈre page Ā dÉcouper). Rajouter sur le mme dessin le tracÉ d’au moins deux rayons Ā travers l’instrument. B.4.4Justifier le nom de « viseur Ā frontale fixe ».

C Mesure de distances focales 0 Le viseur est utilisÉ pour mesurer la distance focale d’une lentilleLde focalefinconnue. La premiÈre Étape est la visÉe de l’objet,AB. On place ensuite la lentille inconnue aprÈs l’objet et on vise le centreOde la lentille. Pour cela, nous devons reculer le viseur dex 1 = 20cm. Pour la visÉe 0 0 de l’imageA BĀ travers la lentille, nous avanÇons le viseur dex 2 = 10cm(voir figure ci-dessous).

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C.1 C.2 C.3

0 PrÉciser les valeurs algÉbriquesOAetOA. 0 En dÉduire la distance focalefde la lentille. Faire la construction de l’image Ā travers cette lentille inconnueL.

Problme II Focomtrie A Introduction 0 On considÈre une lentille convergente de centre optiqueO, de foyer objetFet imageF. On note 0 0 f=OFsa distance focale image. On noterax=OAla position de l’objet par rapport au centre de 0 0 la lentille etx=OAla position de l’image. 0 1. Construire l’image d’un objet transversalABsituÉ Ā1,5favant la lentille. Calculer le grandis- 0 0 A B sement transversalγ=pour cette position d’objet (ne pas utiliser votre figure). AB 0 0 0 0 2. Exprimer le grandissement transversal en fonction deF AetfpuisF Aetf. 0 On se propose de dÉterminer expÉrimentalement la valeur de la distance focalefd’une lentille conver- gente.

B Mthode de Silbermann 1. Montrer qu’il existe un unique couple de plans conjuguÉs pour lesquels le grandissement vaut−1 0 et dÉterminer les valeurs dexetxcorrespondantes. 2. On obtient expÉrimentalement un grandissement de−1lorsque l’objet et l’image sont distants de1m. En dÉduire la distance focale de la lentille.

C Mthode de Bessel 0 L’objet rÉelAet l’image rÉelleAÉtant fixÉs Ā une distanceDl’un de l’autre, on cherche les positions du centreOde la lentille permettant de les conjuguer. 0 1. Quelle condition doit vÉrifierDpour pouvoir conjuguerAenA? 2. Cette condition Étant vÉrifiÉe, montrer qu’il existe deux positionsO 1 etO 2 de la lentille rÉalisant cette conjugaison (soit deux valeursx 1 etx 2 ). 0 3. En dÉduire la distancea=x 1 −x 2 entreO 1 etO 2 en fonction deDetf. 0 4. On obtient expÉrimentalementa= 0,50m, pourD= 1,2m. En dÉduiref. 0 On utilise la lentille convergente prÉcÉdente (f= 25cm) pour observer deux Étoiles (Ā l’infini).

D Observation d’toiles avec une lentille 1. OÙ faut-il placer l’Écran pour observer les images des Étoiles par la lentille ? 2. L’axe optique est placÉ symÉtriquement par rapport aux deux Étoiles, de sorte que l’une se trouve dans la directionα >0et l’autre dans la direction−α. Calculer la distance entre les images des Étoiles dans le plan de l’Écran (on supposeraαpetit). 0 3. Un observateur regarde le plan de l’Écran. Le pouvoir sÉparateur de son oeil estη= 1(minute d’angle) et sa distance minimale de vision estd m = 25cm. Calculer l’angle minimumαpour que 0 l’observateur sÉpare les images des deux Étoiles. (On prendraf= 25cm).

E Observation d’toiles avec deux lentilles 0 0 On utilise dÉsormais deux lentilles convergentes de distance focale respectivefetfpour observer 1 2 les deux Étoiles. 1. Comment doit-on placer les lentilles pour que les images des Étoiles se trouvent Ā l’infini ? 2. ReprÉsenter la marche d’un pinceau issu de l’une des Étoiles. 0 α 0 0 3. Calculer le grossissementG=en fonction defetf. α 1 2 0 4. Calculer l’angle2αentre les images des deux Étoiles. 3

0 0 5. Comment faut-il choisirfetfpour que l’oeil de l’observateur puisse sÉparer des Étoiles de 1 2 direction deux fois plus proches qu’avec la lentille unique de la partie prÉcÉdente ? 6. Quel phÉnomÈne vient, en fait, diminuer ce pouvoir de sÉparation ?

Problme III Ètude de miroirs sphriques Un miroir sphÉrique est une calotte sphÉrique rÉflÉchissante sur l’une de ses faces. Le centre de la sphÈre est notÉCet le point d’intersection S de la calotte avec l’axe optique est appelÉ sommet du miroir. Les miroirs sphÉriques ÉtudiÉs seront utilisÉs dans l’approximation de Gauss.

A Caractre convergent ou divergent d’un miroir sphrique A.1?Un miroir convexe est-il un systÈme optique convergent ou divergent A.2ReprÉsenter la modÉlisation d’un miroir sphÉrique divergent. A.3En plaÇant notre oeil loin d’un miroir sphÉriqueM 3 , on constate que l’image de notre oeil est droite et rÉduite. Le miroirM 3 est-il convergent ou divergent ?

B Relations de conjugaison et de grandissement 0 On cherche Ā dÉterminer la position de l’imageAd’un pointAsituÉ sur l’axe optique. B.1 Relation de conjugaison de DescartesOn considÈre un rayon incidentAIissu deAqui se rÉflÉchit enI(Figure ci-dessous).

0 0 B.1.1DÉterminer les relations liant les anglesα,αetβaux grandeurs algÉbriquesSA,SA,SC etHI, dans l’approximation de Gauss. 0 B.1.2Exprimer la relation entre les anglesα,αetβ. B.1.3En dÉduire la relation de conjugaison au sommet du miroir : 1 1k 1 + = 0 SA SA SC oÙk 1 est un facteur que l’on dÉterminera. 0 0 B.1.4Donner les expressions des distances focales imagef=SFet objetf=SFdu miroir sphÉrique en fonction deSC. B.2 Relation de conjugaison de Newton On reprÉsente le miroir sphÉrique de centreCet de sommetSen dilatant l’Échelle dans les directions transverses (Figure ci-dessous).

0 B.2.1Reproduire la Figure ci-dessus en indiquant les foyers principaux objetFet imageFet 0 0 construire l’imageA Bd’un objetABtransverse. B.2.2En considÉrant les propriÉtÉs des triangles semblables, montrer que nous obtenons la relation de conjugaison de Newton : 0 0 0 F A.F A=f.f 4

0 0 B.3 GrandissementSiABa pour imageA B, nous reprÉsenterons le grandissement transversal 0 0 A B par le rapport algÉbrique :γ= AB Exprimer ce grandissement : 0 B.3.1en fonction deSAetSA. 0 B.3.2en fonction deF A,F AetF S. 0 B.3.3en fonction deCAetCA.

C Systme rflecteur : le tlescope de Cassegrain DonnÉes numÉriques : DiamÈtre de la Lune :D L = 3456km; Distance Terre - Lune :D T L = 384000km C.1L’axe optique d’un miroir sphÉrique concaveM, de sommetS, de centreCet de rayonR=SC est dirigÉ vers le centre de la Lune. 0 0 C.1.1DÉterminer la position de l’imageA Bde la Lune aprÈs rÉflexion surM. C.1.2Calculer le diamÈtre apparentdu disque lunaire. 0 0 C.1.3En dÉduire la dimension de l’imageA BpourR= 60cm. C.2On rÉalise l’objectif d’un tÉlescope de type Cassegrain en associant deux miroirs sphÉriques :

– un miroir sphÉrique concaveM 1 , appelÉ miroir primaire, de sommetS 1 , de centreC 1 , de foyer F 1 et de rayonR 1 =S 1 C 1 . – un miroir sphÉrique convexeM 2 appelÉ miroir secondaire, de sommetS 2 , de centreC 2 , de foyer F 2 et de rayonR 2 =S 2 C 2 . Le miroirM 1 comprend une petite ouverture centrÉe enS 1 pour permettre le passage de la lumiÈre aprÈs rÉflexion surM 1 puis surM 2 . Le miroirM 2 est de petite dimension, afin de ne pas obstruer le passage de la lumiÈre tombant sur le miroir primaire. 0 0 C.2.1OÙ doit se situer l’imageA Bde la Lune aprÈs rÉflexion surM 1 , afin que le miroir sphÉrique 00 00 convexeM 2 , caractÉrisÉ parS 2 ,C 2 etF 2 , en donne une image rÉelleA B? 0 C.2.2DÉterminer la position du foyer imageF, de l’association des miroirsM 1 etM 2 , en exprimant 0 S 2 Fen fonction deR 1 ,R 2 etd=S 2 S 1 . 0 0 C.2.3Exprimer le grandissement transversalγde l’objetA BĀ travers le miroirM 2 en fonction deR 1 ,R 2 etd=S 2 S 1 . 0 00 00 C.2.4CalculerS 2 Fet la dimension finale de l’imageA Bpour :R 1 = 60cm;R 2 = 40cmet d= 18cm. C.2.5Quelle serait la distance focale imagef L d’une unique lentille mince qui donnerait de la Lune 00 00 la mme imageA B? Commenter.

Problme IV Photographie d’un point matriel lastiquement li A Partie mcanique On considÈre une bille assimilÉ Ā un point matÉrielMde massemaccrochÉ Ā un ressort vertical −→−→ de raideurket de longueur Ā vide` 0 dans le champ de pesanteurg=gu z . L’axeOzest l’axe vertical −→ descendant etu z le vecteur unitaire portÉ par cet axe. A.1On note` eq la longueur Ā l’Équilibre du ressort. Exprimer` eq en fonction de` 0 ,m,ketg. A.2On considÈre dans la suite le mouvement du pointMautour de sa position d’Équilibre et on noteZla position du point matÉriel par rapport Ā sa position d’Équilibre. DÉterminer l’expression de la rÉsultante des forces en fonction deZ. 5

¨ 2 A.3Montrer queZ+ω Z= 0oÙωest une constante que l’on exprimera en fonction des donnÉes. A.4á l’instant initial, la bille est ÉcartÉe d’une distanceApar rapport Ā sa position d’Équilibre sans vitesse initiale. Montrer queZ(t) =Acosωt A.5Exprimer la pÉriode des oscillations en fonction des donnÉes.

B Photographie de l’exprience La bille effectue des oscillations sinusodales d’amplitudeAvoisine de10cmĀ une frÉquence proche def= 1Hz. On veut photographier l’ensemble du dispositif expÉrimental (de hauteur totaleh= 1m). On utilise un objectif photographique assimilable a une lentille mince convergente de distance focale image 0 f= 50mm. L’image est enregistrÉe sur une pellicule notÉeΠde dimensions50mm×50mm. B.1RedÉmontrer la formule de conjugaison de Newton et en dÉduire deux relations de grandissement. B.2A quelle distance minimale du foyer objet de la lentilleFpeut-on mettre le dispositif expÉri- mental pour le voir entiÈrement sur la pellicule ?

C Quel diaphragme utiliser ? Pour obtenir une photo bien nette, sur laquelle la bille apparaIt figÉe, on estime que la bille ne doit pas se dÉplacer de plus ded= 1mmpendant la durÉe de la prise de vueτ. D’autre part, la quantitÉ totale de photons atteignant la pellicule doit tre Ā peu prÈs constante pour obtenir une photo ni sous-exposÉe (sombre car pas assez de photons pour impressionner la pellicule) ni surexposÉe (blanchie par un excÈs de photons). Pour pouvoir remplir cette condition Ā plusieurs durÉes de prise de vueτ, on accole un diaphragme Ā l’objectif. Le diamÈtreDdu diaphragme est rÉglable afin de laisser entrer plus ou moins de lumiÈre suivant l’intensitÉ de l’Éclairage et la durÉe de 0 la prise de vueτ. Pour l’objectif (de distance focale imagef= 50mm) et la pellicule utilisÉs, on doit −3 choisirD= 10mmpour une durÉe de prise de vue deτ= 4.10sdans les conditions d’Éclairage de l’expÉrience. C.1Calculer la vitesse maximale de la bille. C.2Estimer, la durÉe maximaleτ max de la prise de vue pour avoir une photo nette, sans flou de bougÉ en fonction ded,ωetA(ωest la pulsation des oscillations). Faire l’application numÉrique. 2 C.3Justifier que la quantitÉ de photons atteignant la pellicule est proportionnelle aτetD. En dÉduire le diamÈtreDdu diaphragme qu’il faut alors utiliser pour obtenir une photo sans flou de bougÉ.

D Profondeur de champ La profondeur de champ est l’intervalle de valeurs de la distanceOAsur lequel les images peuvent tre considÉrÉes comme nettes sur la pelliculeΠ. Les grains de la pellicule ont un diamÈtrea= 10µmdonc les images les plus petites ont un diamÈtrea= 10µm(petite tche et non un point). Le dispositif photographiÉ est Ā la distance1mde l’objectif. Sur la figure en annexe, la pellicule est 0 dans le plan de l’imageAd’un objetAĀ1mdu foyerFde l’objectif. La distance focale de l’objectif 0 est toujoursf= 50mmmais l’Échelle n’est pas respectÉe afin que la construction soit lisible. Le diaphragme Ā pour diamÈtreD= 15mm. On a tracÉ le rayon incidentA 1 Ile plus inclinÉ par rapport a l’axe optique oÙA 1 est un objet sur l’axe optique diffÉrent deA. D.1Tracer la marche du rayonA 1 IaprÈs l’objectif. On le fera sur l’annexe qui sera rendue avec la copie. 0 Apellicule n’est pas un point mais une tache de rayonr. En utilisant le D.2L’image 1 deA 1 sur la 0 0 0 thÉorÈme de ThalÈs (ou toute autre mÉthode), donnerren fonction deD,OAetA A. 1 1 0 0 D.3deEn dÉduire la v A aleur numÉrique maximale acceptableA 1 pour que l’image deA 1 soit vue nette sur la photo. Cette valeur permet ensuite de remonter Ā la valeur maximale deAA 1 . On trouve (calcul non demandÉ)AA 1 <2,3cm. D.4?Cela convient-il pour photographier le dispositif 6

Exercice 1 Trajectoire d’une particule On considÈre une particule en mouvement dans un rÉfÉrentiel galilÉen. Les Équations de la trajectoire t −t sont, en coordonnÉes polaires :r=r 0 .eetθ=avecr 0 etτdes constantes positives. τ τ

1. Dessiner aux pointsA,MetDles vecteurs de la base locale(u~ r u~, θ )(vous pouvez utiliser le schÉma ci-dessus que vous rendrez avec votre copie). 2. Exprimer dans cette base locale, les vecteurs vitesse et accÉlÉration du point matÉriel. 3. DÉterminer l’angle entre le vecteur vitesse et le vecteur position. 4. Le mouvement est-il uniforme ? 5. Donner les composantes du vecteur vitesse aux pointsAetDen fonction der 0 etτet celles du 2 vecteur accÉlÉration en fonction der 0 etτ. r 0 r 0 6. En prÉcisant l’Échelle choisie pour et 2 , dessiner les vecteurs vitesse et accÉlÉration aux points τ τ AetD. Commenter.

Exercice 2 La chasse À l’cureuil... Un Écureuil se trouve sur une branche Ā l’altitudeH. Un jeune chasseur pointe dans sa direction un lance-pierre. En voyant celui-ci, l’Écureuil qui est inventif, se dit : « pour Éviter le projectile, je vais me laisser tomber dans le vide et m’accrocher Ā une branche situÉe plus bas ». On modÉlise l’Écureuil par un point matÉrielEde massemet considÈre qu’il se laisse tomber au moment oÙ le projectile (point matÉrielMde masseM) quitte le lance-pierre. On Étudie le mouvement de ces deux points matÉriels dans le plan(O, x, y)oÙOest confondu avecMpourt= 0, et on appelle −→ αl’angle que fait la vitesse initiale du projectilev 0 avec l’horizontaleOx. Les coordonnÉes de l’Écureuil EĀt= 0sont(L, H). On nÉgligera dans cet exercice les frottements de l’air. 1. DÉterminer les Équations horaire dÉcrivant le mouvement du projectile. 2. DÉterminer les Équations horaire dÉcrivant le mouvement de l’Écureuil. 3. DÉterminer la condition qui doit tre vÉrifiÉe pour que le projectile atteigne sa cible. Que pensez vous de l’idÉe de l’Écureuil ?

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Nom :

Problme I

Problme IV

Document RÉponse

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