Cours de Probabilités et Modélisation Stochastique au format pdf

Olivier Garet

Description

Niveau: Supérieur, Master
Annee universitaire 2008-2009 UNIVERSITE DE NANCY 1 Olivier GARET Probabilites et Modelisation Stochastique (Master 1ere annee semestre 1)

• exercices sur les sommes de variables independantes


• processus gaussiens stationnaires


• exercices sur les chaınes de markov


• theoreme de convergence de doob


• exercices sur les martingales


• convergence des martingales de carre integrable


• matrices stochastiques


• rappels sur la convergence en loi

Informations

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Extrait

Annee universitaire 2008-2009
UNIVERSITE DE NANCY 1
Olivier GARET
Probabilites et Modelisation Stochastique
(Master 1ere annee semestre 1)2Table des matieres
Table des matieres i
1 Sommes de variables aleatoires independantes 1
1.1 Theoremes de Lindeberg et Lyapounov . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Theoreme de Lindeberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Condition de Lyapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Sommes et series de variables aleatoires independantes . . . . 5
1.2.1 Loi zero-un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Une inegalite maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Lien entre les modes de convergence . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 Criteres de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2Convergence L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Theoreme des trois series . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Exercices sur les sommes de variables independantes . . . . . . 10
2 Vecteurs gaussiens 13
2.1 Quelques rappels sur la matrice de covariance . . . . . . . . . 13
2.2 Image ane d'un vecteur gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Lois gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Lois et independance . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Lois a densite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Fonction caracteristique des vecteurs gaussiens . . . . . . . . . 19
2.8 Theoreme de la limite centrale en dimension d . . . . . . . . . 19
2.9 Exercices sur les vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Esperance conditionnelle 23
3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.2 Inegalite de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
iii TABLE DES MATIERES
3.2.3 Esperance conditionnelle sachant une variable (ou un
vecteur) aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Exercices sur l'esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . 33
4 Martingales 37
4.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Premieres inegalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.1 Martingales et fonctions convexes . . . . . . . . . . . . 38
4.2.2 Inegalite de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Convergence des martingales de carre integrable . . . . . . . . 40
4.4 Temps d'arr^ets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
14.5 Convergence L des martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5.1 Theoreme des traversees montantes . . . . . . . . . . . 45
4.5.2 Le theoreme de convergence de Doob . . . . . . . . . . 47
4.6 Decomposition de Doob (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.7 Exercices sur les martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5 Loi d'un processus 53
5.1 Loi d'un processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 Theoreme d'existence de Kolmogorov (admis) . . . . . . . . . 55
5.3 Processus reels stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4 Pro gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4.1 Caracterisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4.2 Condition d'existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4.3 Processus gaussiens stationnaires . . . . . . . . . . . . 60
5.5 Exercices sur les processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6 Cha^nes de Markov 63
6.1 Dynamique markovienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Matrice stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2.1 Existence des cha^nes de Markov . . . . . . . . . . . . 65
6.2.2 Puissances des matrices stochastiques . . . . . . . . . . 66
6.2.3 Graphe associe a une matrice stochastique . . . . . . . 66
6.3 Propriete de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4 Exercices sur les cha^nes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Recurrence et mesures invariantes 77
7.1 Temps d'arr^et et propriete de Markov forte . . . . . . . . . . . 77
7.2 Classication des etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3 Mesures invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.4 Theoreme de la probabilite stationnaire . . . . . . . . . . . . . 84TABLE DES MATIERES iii
7.5 Theoreme ergodique des cha^nes de Markov . . . . . . . . . . 87
7.6 Retour a la classication des etats (*) . . . . . . . . . . . . . . 92
7.7 Exercices sur la recurrence et les mesures invariantes . . . . . 94
A Theoreme de Levy 99
A.1 Rappels sur la convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . 99
A.2 Tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.3 Theoremes de Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
B Indications 107
B.1 Exercices sur les sommes de variables independantes . . . . . . 107
B.2 sur les vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . 108
B.3 Exercices sur l'esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . 109
B.4 sur les martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
B.5 Exercices sur les processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
B.6 sur les cha^nes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . 112
B.7 Exercices sur la recurrence et les mesures invariantes . . . . . 114
C Probleme 117iv TABLE DES MATIERESChapitre 1
Sommes de variables aleatoires
independantes
1.1 Theoremes de Lindeberg et Lyapounov
1.1.1 Theoreme de Lindeberg
Theoreme 1. Soit (X ) des variables aleatoires centrees admettantn;k n;k1
un moment d'ordre 2, (N ) un suite d'entiers tendant vers l'in