Définition On note C l'ensemble des nombres complexes Un nombre complexe z C s'écrit de manière unique sous la forme algébrique

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CHAPITRE VII Les nombres complexes 1. Définitions Définition 1.1 On note C l'ensemble des nombres complexes. Un nombre complexe z 2 C s'écrit de manière unique sous la forme algébrique : z D x C iy où • x et y sont deux réels • i le nombre complexe vérifiant i2 D 1. On pose • R.z/ D Re.z/ D x. C'est la partie réelle de z. • I.z/ D Im.z/ D y. C'est la partie imaginaire de z. Opérations Soit z D x C iy et z0 D x0 C iy0 deux nombres complexes. • Égalité : z D z0 ” ( x D x0 y D y0 • Addition : z C z0 D .x C iy/C .x0 C iy0/ D .x C x0/C i.y C y0/ • Multiplication : zz0 D .x C iy/.x0 C iy0/ D .xx0 yy0/C i.xy0 C x0y/ Définition 1.2 Le conjugué de z D x C iy est le nombre complexe z D x iy Propriétés • z C z D 2x D 2Re.z/ • z z D 2iy D 2i Im.z/ • zz D x2 C y2 • z C z0 D z C z0 • zz0 D z z0 2.

  • solution particulière

  • solution réelle

  • ck2 sinn

  • equation différentielle linéaire

  • solution générale

  • degré

  • k1 cosn

  • u0 u0


Publié le : vendredi 1 avril 2011
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CHAPITRE VII Les nombres complexes
1. Dfinitions Dfinition 1.1 On noteCl’ensemble des nombres complexes. Un nombre complexez2Cs’Écrit de maniÈre unique sous la forme algÉbrique: zDxCiy xetysont deux rÉels 2 ile nombre complexe vÉrifiantiD 1. On pose R.z/DRe.z/Dx. C’est la partie rÉelle dez. I.z/DIm.z/Dy. C’est la partie imaginaire dez.
Oprations 0 0 0 SoitzDxCiyetzDxCiydeux nombres complexes. Egalite : ( 0 xDx 0 zDz0 yDy Addition : 0 0 0 0 0 zCzD.xCiy/C.xCiy /D.xCx /Ci.yCy /
Multiplication : 0 0 0 0 0 0 0 zzD.xCiy/.xCiy /D.xxyy /Ci.xyCx y/
Dfinition 1.2 Le conjuguÉ dezDxCiyest le nombre complexe
zDxiy
Dfinition 2.1 Tout nombre complexe non nulzDxCiypeut s’Écrire de maniÈre unique sous la forme trigonomÉtrique
zD.cosCisin / est le module du complexez. On le note aussijzj. On a p 2 2 jzj DxCy
est l’argument du complexez. On le note aussiarg.z/. Il est dÉfini par x x y y cosD DpsinD Dp jzj jzj 2 2 2 2 xCy xCy
Proposition 2.2 Le module et l’argument d’un complexe vÉrifient les propriÉtÉs sui-vantes 1)jzj D0zD0 2)jzj D jzj 0 0n n 3)jzzj D jzj jzjetjzj D jzj 0 0 4)jzCzj6jzj C jzj 0 0n 5) arg.zz /Darg.z/Carg.z /etarg.z /Dnarg.z/ 6) arg.1=z/D arg.z/ 7)jzj D jzjetarg.z/D arg.z/
Notation exponentielle On note i eWDcosCisinTout nombre complexezpeut donc s’Écrire
i zD.cosCisin /De
On a laformule de Moivre:
i n i n eD.e/ n cosnCisinnD.cosCisin /
PropritszCzD2xD2Re.z/3. Èquations dansC zzD2iyD2iIm.z/ Proposition 3.1 2 2 zzDxCy Tout polynÔme de degrÉnÀ coefficients dansCadmet exactement 0 0 zCzDzCz nracines dansC. 0 0 zzDz z Proposition 3.2 2 SoitaxCbxCcD0une Équation du second degrÉ À coefficients 2. Forme trigonomtrique d’un complexe 2 rÉels etDb4acson discriminant. Le plan complexe • Si > 0, il y a deux solutions rÉelles distinctes : p p zDxCiybbCyx1Detx2D 2a 2a Un nombre complexezDxCiy 2• SiD0, il y a une solution rÉelle double : peut tre reprÉsentÉ dansRappelÉ alorsplan complexe. Le complexez b xD est appelÉaffixedu point.2a 0 x • Si < 0, il y a deux solutions complexes conjuguÉes : On peut aussi reprÉsenterzpar ses coordonnÉes polaires.;  /2 p p Œ0;C1ŒŒ0; 2 Œ: bibCizDetzD zD.cosCisin2a 2a /
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CHAPITRE VIII
Èquations rcurrentes linaires
1. Rappels sur les suites Suite arithmtique On dit que.un/nest unesuite arithmÉtiquede raisonr2Rsi
On a alors
unC1DunCr
unDu0Cnr
8n2N
8n2N
Suite gomtrique On dit que.un/nest unesuite gÉomÉtriquede raisonq2Rsi
On a alors
unC1Dqun
n unDu0q
8n2N
8n2N
er 2. Èquations rcurrentes du 1 ordre
Dfinition 2.1 Une Équation rÉcurrente linÉaire d’ordre 1 À coefficient constant est une Équation du type
.E/
unC1DaunCf .n/
.un/nest une suite À dÉterminer.
8n2N
Proposition 2.2 L’Équation homogÈne (ou sans second membre) associÉe
.E0/
vnC1Davn
a pour solution la suite gÉomÉtrique de raisona:
n vnDa v0
Proposition 2.3 Si.un/nest une solution particuliÈre de.E/, la solution gÉnÉrale de .E/est alors
n unDvnCunDa v0Cun
8n2N
En faisantnD0dans l’expression ci-dessus, on trouve
n unDa .u0u0/Cun
8n2N
Recherche d’une solution particulire Sif .n/DP .n/est un polynÔme, on cherchera une solution par-ticuliÈre sous la forme : Q.n/sia¤1 nQ.n/siaD1 Q.n/est un polynÔme de mme degrÉ queP .n/.
n Sif .n/Dr, on cherchera une solution particuliÈre sous la forme n krsir¤a
n nkrsirDa
3. Èquations rcurrentes du 2nd ordre Dfinition 3.1 Une Équation rÉcurrente linÉaire du second ordre est une Équation du type
aunC2CbunC1CcunDf .n/8n2N.E/ L’Équation caractÉristique associÉe À.E/est l’Équation du second ordre 2 arCbrCcD0 .Ec/ 2 On noteDb4acle discriminant de cette Équation.
Remarque Si > 0, l’Équation.Ec/À deux solutions rÉelles distinctes : p p bCbr1Detr2D 2a 2a SiD0, l’Équation.Ec/À une solution rÉelle « double » : b rD 2a Si < 0, l’Équation.Ec/À deux solutions complexes : p p bCibirDetrN D 2a 2a Proposition 3.2 Soit l’Équation de rÉcurrence linÉaire du second ordre homogÈne (ou sans second membre)
aunC2CbunC1CcunD08n2N etle discriminant de l’Équation caractÉristique.
.E0/
• si > 0, la solution gÉnÉrale de.E0/est de la forme n n rC unDK1 1K2r2 r1etr2sont les racines de l’Équation caractÉristique.
• siD0, la solution gÉnÉrale de.E0/est de la forme n unD.K1nCK2/r rest la racine double de l’Équation caractÉristique.
• si < 0, la solution gÉnÉrale de.E0/est de la forme n unD .K1cosnCK2sinn / ˙i e sont les racines complexes conjuguÉes de l’Équation caractÉristique.
Thorme 3.3 Soit l’Équation de rÉcurrence linÉaire du second ordre
aunC2CbunC1CcunDf .n/ Alors, toute solution de.E/est de la forme
unDvnCun
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.E/
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.un/est une solution particuliÈre de.E/ .vn/est la solution gÉnÉrale de
aunC2CbunC1CcunD0
.E0/
Recherche d’une solution particulire Sif .n/DP .n/est un polynÔme, on cherchera une solution par-ticuliÈre sous la forme : Q.n/si1n’est pas racine de l’Équation caractÉristique nQ.n/, si1est une racine simple 2 n Q.n/, si1est racine double Q.n/est un polynÔme de mme degrÉ queP .n/.
Recherche d’une solution particulire n Sif .n/Dq, on cherchera une solution particuliÈre sous la forme : n Kq, siqn’est pas solution de l’Équation caractÉristique.Ec/ n Knq, siqest solution simple de.Ec/ 2 n Kn q, siqest solution double.Ec/
Recherche d’une solution particulire ˛ n Sif .n/DeP .n/, on cherchera une solution particuliÈre sous la forme :
˛ n Q.n/e
˛ n nQ.n/e
2 ˛ n n Q.n/e
Q.n/est un polynÔme de mme degrÉ queP .n/.
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a2R
Alors, toute solutionx.t /de.E/est de la forme
Proposition 1.2 Soit l’Équation diffÉrentielle linÉaire homogÈne À coefficient constant er du 1 ordre
Thorme 1.4 Soit l’Équation diffÉrentielle linÉaire 0 x .t /Ca.t /x.t /Df .t /
• Si > 0, la solution gÉnÉrale de.E/est de la forme
.E/
a.t /est appelÉ le coefficient f .t /le second membre x.t /l’inconnue Le but est de trouver toutes les fonctionsx.t /dÉfinies surI, dÉri-vables et solutions de.E/.
1. Èquations diffrentielles d’ordre 1 Dfinition 1.1 er On appelle Équation diffÉrentielle linÉaire du 1 ordre une Équation de la forme 0 x .t /Ca.t /x.t /D.E/f .t /
rest la solution double de.Ec/.
˛˙sont les solutions complexes conjuguÉes de.Ec/. Dans chacun des cas,K1etK2sont deux constantes rÉelles.
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˛t x.t /De.K1cosˇtCK2sinˇt /
0 x .t /Cax.t /D0
x.t /Dxg.t /Cxp.t /
aetfsont deux fonctions continues connues dÉfinies sur un in-tervalleIdeR.
xp.t /est une solution particuliÈre de.E/ xg.t /est la solution gÉnÉrale de l’Équation homogÈne associÉe :
Recherche d’une solution particulire constante Soit 0 x .t /Ca.t /x.t /Df .t / une Équation diffÉrentielle et
: Variation de la
Proposition 1.3 er Soit l’Équation diffÉrentielle linÉairehomogÈnedu 1 ordre 0 x .t /Ca.t /x.t /D0 .E/
la solution gÉnÉrale de l’Équation homogÈne.E0/associÉe. On montre qu’il existe une solution particuliÈre de.E/de la forme
2 arCbrCcD0
00 0 ax .t /Cbx .t /Ccx.t /D0
et.Ec/l’Équation caractÉristique associÉe
Proposition 2.2 Soit l’Équation diffÉrentielle homogÈne du second ordre À coefficients constants
.E/
a; b; csont des rÉels fixÉs (a¤0) ; fest une fonction continue dÉfinie sur un intervalleIdeR.
Dfinition 2.1 On appelle Équation diffÉrentielle linÉaire du second ordre À coeffi-cients constants une Équation de la forme
Alors, la solution gÉnÉrale de.E/estxWR!RdÉfinie par at x.t /DKe8t2R
A.t / x.t /DKe
8t2I
A.t /est une primitive dea.t / K2Rest une constante rÉelle quelconque.
Remarque Si on impose À la solutionx.t /de.E/, de prendre un valeur initiale du type x.0/Dx0 alors la constanteKest dÉterminÉe de maniÈre unique. La solution de.E/est alors unique.
aest une fonction continue dÉfinie sur un intervalleI. Alors, la solution gÉnÉrale de.E/est
r1etr2sont les deux solutions rÉelles de.Ec/. • SiD0, la solution gÉnÉrale de.E/est de la forme
.E/
CHAPITRE IX Èquations diffrentielles linaires
r t x.t /D.K1tCK2/e
r1t r2t x.t /DK1eCK2e
0 x .t /Ca.t /x.t /D0
.E0/
2. Èquations diffrentielles d’ordre 2
.E/
• Si < 0, la solution gÉnÉrale de.E/est de la forme
K2Rest une constante rÉelle quelconque.
.Ec/
00 0 ax .t /C/bx .t Ccx.t /Df .t /
.E0/
2 On noteDb4acson discriminant.
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A.t / xp.t /DK.t /e
K.t /est une fonction À dÉterminer.
A.t / xg.t /DKe
Thorme 2.3 Soit l’Équation diffÉrentielle linÉaire du second ordre
00 0 ax .t /C/bx .t Ccx.t /Df .t /
Alors, toute solutionx.t /de.E/est de la forme
x.t /Dxg.t /Cxp.t /
xp.t /est une solution particuliÈre de.E/ xg.t /est la solution gÉnÉrale de.E0/
.E/
Solution particulire :f .t /est un polynÔme Sic¤0, on cherche une solution particuliÈrexp.t /sous la forme d’un polynÔme de mme degrÉ quef. LorsquecD0, on cherche une solution particuliÈre sous la forme d’un polynÔme de degrÉ supÉrieur.
˛t Solution particulire :f .t /est de la formeeP .t / Sic¤0, on cherche une solution particuliÈrexp.t /sous la forme ˛t xp.t /DeQ.t /Q.t /est un polynÔme • de degrÉn, si˛n’est pas racine de.Ec/; • de degrÉnC1, si˛est une racine simple de.Ec/; • de degrÉnC2, si˛est racine double de.Ec/.
LorsquecD0, on cherche une solution particuliÈre avecQ.t / sous la forme d’un polynÔme de degrÉ supÉrieur.
˛t Solution particulire :f .t /est de la formee cos.ˇt /P .t / Ciˇ /t On considÈre le second membre complexefz.t /DeP .t /. On est alors ramenÉ au cas prÉcÉdent qui permet de trouver une solution particuliÈre complexezp.t /. Une solution rÉelle de l’Équation initiale est alors
xp.t /DRe.zp.t // xp.t /DIm.zp.t //
dans le cas d’un cosinus dans le cas d’un sinus
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CHAPITRE X Espaces vectoriels / Applications linaires
1. Espaces vectoriels rels
Dfinition 1.1 Un espace vectoriel rÉel est un ensembleEnon-vide muni de deux opÉrations : • une loi de composition interne (L.C.I.) :
EE!E .u; v/7!uCv
• une loi de composition externe (L.C.E.) :
RE!E .; u/7!u
RemarquesÉlÉments de1) Les Esont appelÉs desvecteurs.On les noteu; v; w; : : : 2) Les ÉlÉments deRsont appelÉs desscalaires.On les note ; ; : : : 3) Un espace vectoriel n’est jamais vide :0E2E
Dfinition 1.2 On appelle combinaison linÉaire deu1; : : : un2E, toute expression de la forme 1u1C    Cnun2E avec1; : : : ; n2R.
2. Sous-espace vectoriel
Dfinition 2.1 On dit queFEest un sous-espace vectoriel deEsi 1)0E2F 2)u; v2FH)uCv2F 3)u2F; 2RH)u2F
Remarque1) L’intersection de deux (ou plus) s.e.v. deEest encore un s.e.v. deE. 2) En gÉnÉral, l’union de deux s.e.v. deEn’est pas un s.e.v. deE. 3) PourAE, on note VectAlesous-espace vectoriel engendrÉ parA. C’est le plus petit s.e.v. deEcontenantA. 4) LorsqueAD fa1; : : : ; ang, on a
VectAD f1a1C    CnanWi2Rg
3. Base d’un espace vectoriel
Dfinition 3.1 Un systÈme de vecteursBD fb1; : : : ; bngest une base deEsi tout vecteuru2Epeut s’Écrire de maniÈreuniquecomme une combi-naison linÉaire d’ÉlÉments deB: n X uDibi iD1
Dans la suite, on se limite aux espaces vectoriels dedimension finie, c’est-À-dire, possÉdant une base finie.
Proposition 3.2 Toute base deEcontient le mme nombrende vecteurs. Ce nombre est appelÉ dimension deE. On note
dimEDn
4. Applications linaires
Dfinition 4.1 SoitEetFdeux espaces vectoriels.On dit qu’une application WE!Fest linÉaire si
.uCv/D.u/C.v/
pour toutu; v2Eet tout2R.
et
.u/D.u/
Proposition 4.2 SoitBD fb1; : : : ; bngune base deEetWE!Fune application linÉaire. Alorsest complÈtement dÉterminÉe par la donnÉe des vecteurs
.b1/; : : : ; .bn/
Proposition 4.3 SoitWE!Fune application linÉaire. L’image deest le sous-espace vectoriel deFdÉfini par :
ImD.E/D f.u/Wu2Eg
Le noyau deest le sous-espace vectoriel deEdÉfini par :
1 KerD .f0Fg/D fu2EW.u/D0Fg
Proposition 4.4 SoitWE!Fune application linÉaire. Alors est injective si et seulement siKerD f0Eg est surjective si et seulement siImDF
Remarque L’applicationest bijective SSI KerD f0Eget ImDF.On dit alors queest unisomorphisme.
Thorme 4.5 SoitWE!Fune application linÉaire. Alors
dim kerCdim ImDdimE
Proposition 4.6 SoitWE!Eune application linÉaire (un endomorphisme). Les propriÉtÉs suivantes sont Équivalentes : 'est injective 'est surjective 'est bijective (un automorphisme)
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