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´ INTERFACES DE L’INCOMPLETUDE
GIUSEPPE LONGO ´ ´ ´ CNRS, DEPARTEMENT D’INFORMATIQUE, ECOLE NORMALE SUPERIEURE ET CREA, POLYTECHNIQUE, HTTP://WWW.DI.ENS.FR/USERS/LONGO/
Tabledesmati`eres Introduction 1 1.DeLaplacea`Poincar´e2 2.Delage´ome´trie`alalogique7 3.DeHilbert`aGo¨del9 3.1....enpassantparPoincar´eetWeyl11 3.2.Larithm´etique,unabsolu13 4.LeThe´ore`me14 4.1. Et la«e´tire´v»? 19 5.Poincar´evs.Go¨del22 5.1.Turing:dessyt`emesformelsauxdynamiquescontinues25 6.Einsteinetlath`esedelincomple´tudedelaMe´caniqueQuantique28 7.Lincompl´etudemath´ematiquedesthe´oriesformelles31 7.1. Vers les fondements cognitifs de l’induction 34 8. L’information et les codages dans la cellule 37 Refe´rences41 ´
Introduction Lethe´ore`medincomple´tudedeGo¨delde1931nestpasseulementungrand r´esultatdelaLogiqueMathe´matique,maisilpeutaussidevenirlepointdede´part duner´eexionquid´epasselesMathe´matiquesetlaquestiondeleursfondements pourlesrelier`dsproble`mesetdesme´thodesdautresdisciplines.Cesta`la a e lumie`redecelui-ciquenousnouslivrerons`aune«is´deestiqieuedoistcrrehi», c’est-a`-direunerelectureexplicitementa posteriorinsaimemodertce´sneeedstnpale scientiquemoderne;cesmomentsou`laudacedespropositionsdeconnaissance sesontheurte´es`adesprobl`emesquond´emontreinsolubleset`adesr´esultats ne´gatifsoulimitatifs.Cesderniersontcependantouverta`leurtourdenouveaux horizonsausavoir.Nousre´´echironsdonca`certainsgrandsparadigmespourleur Original en italien dans “La Matematica” vol. 4, Einaudi, settembre 2010 (traduction en franc¸aispourLesMath´ematiques,EditionsduCNRS,2011). 1
2 GIUSEPPE LONGO trouverunaspectcommundansleursdomainesrespectifslincompl´etudeen loccurrence,danssesdi´erentssens.Nousverronscommentonlade´montreeet, ´ parfois,de´pass´ee.Lanalysed´etaille´e,bienquinformelle,duth´eor`emedeGo¨delet dunere´exiondeTuringneconstitueradoncquun´ele´mentdecetexte.On´elargira notregrilledelectureen´evitant,esperons-le,desabusetdescontaminations ´ impropresauxanalysesscientiquesete´pist´emologiquesdeLaplaceet`ala limite que leur pose le gr d«`´tagethf´ie»altililpeap,c´emeomioPeracnd an oreme n lui-mˆeme.Nouscontinueronsaveclesthe`sesdEinsteinsurla«npclnoomtu´ede» delaMe´caniqueQuantique,selonletermeemploy´edansletr`esce´l`ebrearticlequi analysecettenotion,´ecritencollaborationavecPodolskietRosen.Nousparlerons enndelacompletudesuppose´edesdescriptionsmole´culairesenBiologie,cest-´ a`-diredelADNvucommelieudelinformationhe´re´ditaireetcommeprogramme completdelontoge´n`ese.
1.Paiocnrae´DeLaplace` PourLaplace(1749-1827),ilfautchercherlunit´edelame´thode(etdelUnivers) donclidentite´entrelesloisphysiquesa`le´chelledenotreperceptionetlesloisqui r´egissentlesparticulesmicroscopiques.Touslesphe´nome`nesobservablessontre´-ductibles`alontologiee´le´mentaireetsous-jacentedelamatie`re,dumouvementet delaforce.Et`aceniveau-l`a,touteanalysedoitsebasersurlapossibilite´disoler, math´ematiquement,uneseuleparticule´el´ementaireetdend´ecrirelemouvement. Elledoitensuitereconstruire,graˆcea`desop´erationsdinte´grationmath´ematique, lexpressiondelaloidinteractiona`distancedanslessyst`emesdeparticules.Lana-lysedessyste`mesplane´tairesdoitaussiavancerparcompositionprogressivedes mouvementsindividuelspourarriver`alacompr´ehensiondu«e`emysts»comme sommedescomportementsindividuelsetdeleursinteractions,deuxa`deux,trois a`trois.... Cettere´ductionm´ecanisteestintimementli´ee,pourLaplace,a`lastructuredela de´terminationdetouslese´v´enementsphysiques.PourlesgrandsnomsdelaPhy-sique entre XVIIIeet XIXeveointeltisdleid´reneuqtaoisnemesd´elessyst`,elce`is pouvoirde´criretouslesphe´nome`nesphysiquesimportants,enpartantdeladescrip-tionetlinte´grationdesmouvementsindividuels.Enparticulier,lesloisphysiques souslaformedaborddese´quationsdeLagrange,puisdeHamilton,doiventpou-voirexprimerlade´terminationdetoutmouvement,toutetrajectoire,donctout e´v´enementphysique,delameˆmemanie`requelesloisdeNewton-Laplacede´ter-minentl´evolutiondescorpsce´lestesdanslechampgravitationnel.Etcestcette d´eterminatione´quationellesquipermetlesrpe´nosivisede´tidis,esurquimavalentl propositionsth´eoriques,aucœurdesrapportsentreexpe´rienceetth´eorie:onob-serve,onthe´orise(parexemple,on´ecritlese´quationsquilientlesactionsetles forcesobserv´ees),onpre´voitle´volutiondusyst`emegraˆceacesequationsetenn ` ´ onconfrontecespr´evisionsauxnouvellesobservations.Lecacit´edepre´visionest lebutmeˆmedelaformalisationmath´ematique.