L3 COMPLEMENTS D'ALGEBRE LINEAIRE

Paul Lescot

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
L3 : COMPLEMENTS D'ALGEBRE LINEAIRE (CORRIGE DE L'EXAMEN DU 13 JANVIER 2009) Paul Lescot I 1)Le calcul du determinant donne : det(v1, v2, v3, v4) = ?264 6= 0 , donc la famille (v1, v2, v3, v4) est libre. Etant de cardinal 4 dans l'espace E de dimension 4, elle est egalement generatrice : c'est une base de E. 2) Determinons tout d'abord l'orthogonalisee (w1, w2, w3, w4) de B. On a : w1 = v1 = (1, 1, 1, 1) , w2 = v2 ? (v2|w1) (w1|w1) w1 = (4,?2, 4,?2)? 4 4 (1, 1, 1, 1) = (3,?3, 3,?3) , w3 = v3 ? (v3|w1) (w1|w1) w1 ? (v3|w2) (w2|w2) w2 = (4, 2, 0, 2)? 8 4 (1, 1, 1, 1)? 0 36 (3,?3, 3,?3) = (2, 0,?2, 0) , et w4 = v4 ? (v4|w1) (w1|w1) w1 ? (v4|w2) (w2|w2) w2 ? (v4|w3) (w3|w3

• calcul de determinant


• complements d'algebre lineaire


• vertu de la theorie generale


• u?


• ?8i ?i

Sujets

• Lescot

Informations

• Publié par: thieg
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 59

Extrait

´ `´ L3 : COMPLEMENTS D’ALGEBRE LINEAIRE ´ (CORRIGE DE L’EXAMEN DU 13 JANVIER 2009)

Paul Lescot

I 1)Lecalculdude´terminantdonne:

det(v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ) =−2646= 0, donc la famille (v 1 , v 2 , v 3 , v 4 Etant de cardinal 4 dans l’espace) est libre.Ede dimension4,elleest´egalementge´ne´ratrice:c’estunebasedeE. 2)D´eterminonstoutd’abordl’orthogonalis´ee(w 1 , w 2 , w 3 , w 4 ) deBa :. On

et

w 1 =v 1 = (1,1,1,1),

(v 2 |w 1 ) w 2 =v 2 −w 1 (w 1 |w 1 ) 4 = (4,−2,4,−2)−(1,1,1,1) 4 = (3,−3,3,−3),

(v 3 |w 1 ) (v 3 |w 2 ) w 3 =v 3 −w 1 −w 2 (w 1 |w 1 ) (w 2 |w 2 ) 8 0 = (4,2,0,2)−(1,1,1,1)−(3,−3,3,−3) 4 36 = (2,0,−2,0),

(v 4 |w 1 ) (v 4 |w 2 ) (v 4 |w 3 ) w 4 =v 4 −w 1 −w 2 −w 3 (w 1 |w 1 ) (w 2 |w 2 ) (w 3 |w 3 ) 2 3610 = (6,3,1,−8)−(1,1,1,1)−(3,−3,3,−3)−(2,0,−2,0) 4 368 11 11 = (0, ,0,−). 2 2 v j 0 Parde´finition,B= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ahuquocru`p,eo)j∈ {1, ...,4},x j = ; ||v j || on obtient donc : 1 1 1 11 11 11 11 1 0 B= ((, , ,),(,−, ,−),( √ ,0, − √ ,0),(0, √ ,0, − √ )). 2 2 2 22 22 2 2 22 2

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