Lycée Brizeux Samedi janvier PCSI A B

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Lycée Brizeux Samedi 21 janvier 2012 PCSI A & B Devoir surveillé no 4 Mécanique – La durée de l'épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin du temps prévu. – L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé. – Tous les problèmes et exercices sont indépendants – Les résultats devront être encadrés. – Toute application numérique ne comportant pas d'unité sera considérée comme fausse. – Si au cours de l'épreuve vous repérez ce qui semble être une erreur d'énoncé, vous le signale- rez sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre. – Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question. Problème I Satellites d'observation terrestre On se propose d'étudier deux satellites d'observation terrestre SPOT et ENVISAT, rempla- çant des satellites ERS. SPOT fournit des images haute résolution de la Terre, dans le domaine visible et proche infra-rouge tandis que le satellite ENVISAT embarque un radar à synthèse d'ouverture, émettant des ondes radar, permettant de détecter des déplacements verticaux du sol. Données numériques : – constante de gravitation : G = 6, 7.10?11 m3kg?1s?2 – masse de la Terre : MT = 6, 0.1024 kg – rayon de la Terre : RT = 6400 km Formulaire numérique : x 2 3 5 6 7 8 10 √ x 1,4 1,7 2,2 2,5 2,7 2,8 3,2 Les orbites des satellites SPOT

  • perte d'altitude du satellite au bout

  • pseudo-force

  • mouvement

  • masse ponctuelle

  • satellite

  • force opposée au mouvement

  • directions relatives des axes

  • relation existant entre l'accélération

  • axes orthogonaux


Publié le : dimanche 1 janvier 2012
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Source : cpge-brizeux.fr
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LycÉe Brizeux PCSI A & B
o Devoir surveillÉ n 4
MÉcanique
Samedi 21 janvier 2012
La durÉe de l’Épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisÉs À sortir avant la fin du temps prÉvu. L’usage de la calculatrice n’est pas autorisÉ. Tous les problÈmes et exercices sont indÉpendants Les rÉsultats devront tre encadrÉs. Toute application numÉrique ne comportant pas d’unitÉ sera considÉrÉe comme fausse. Si au cours de l’Épreuve vous repÉrez ce qui semble tre une erreur d’ÉnoncÉ, vous le signale-rez sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez ÉtÉ amenÉ À prendre. Les rÉsultats littÉraux non homogÈnes entraïneront la perte de tous les points de la question.
ProblÈme I Satellites d’observation terrestre On se propose d’tudier deux satellites d’observation terrestre SPOT et ENVISAT, rempla-Çant des satellites ERS. SPOT fournit des images haute rsolution de la Terre, dans le domaine visible et proche infra-rouge tandis que le satellite ENVISAT embarque un radar Ā synthse d’ouverture, mettant des ondes radar, permettant de dtecter des dplacements verticaux du sol. Donnes numriques : 11 312 – constante de gravitation :G= 6,7.10m kg s 24 – masse de la Terre :MT= 6,0.10kg – rayon de la Terre :RT= 6400km Formulaire numrique :
x x
2 1,4
3 1,7
5 2,2
6 2,5
7 2,7
8 2,8
10 3,2
Les orbites des satellites SPOT et ENVISAT sont des trajectoires circulaires trs proches. On considrera dans toute cette partie que leurs altitudes sont identiques soith= 800km(Figure ci-dessous).
A CaractÉristiques des orbites de SPOT et d’ENVISAT Acqurir plusieurs images d’une mme zone Ā des instants diffrents ncessite une bonne maïtrise des trajectoires des satellites. On se propose d’tudier certains aspects du mouvement d’un satellite(S)par rapport au rfrentiel gocentrique(Rg)considr comme galilen. Le satellite de massem, repr par un pointPest en orbite circulaire de centreOĀ une altitude h. On considrera que la Terre est une sphre homogne de rayonRTet de centreO(voir figure ci-dessous).
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−→ A.1Dterminer le champ gravitationnelG(P)s’exerÇant au pointP. A.2Etablir soigneusement la relation entre la priode rvolutionTdu satellite et son altitude h. Aprs l’avoir calcul approximativement, dterminer laquelle des valeurs suivantes correspond Ā la priodeTde rotation du satellite : 3 min 1 h 01min 1 h 41min 3 h 11min −→ A.3En dduire l’expression de la norme de la vitessev=||v||en fonction deG,MT,RTet h. Aprs l’avoir calcul approximativement, dterminer laquelle des valeurs suivantes correspond Ā la vitessevdu satellite : 1111 2,8m.s1200m.s4000m.s7500m.s A.4Exprimer l’nergie potentielleEpdu satellite dans le champ de gravitation de la Terre en fonction deG,MT,RTeth. A.5En dduire la relation suivante, appele « thorme du viriel » :
2Ec+Ep= 0
B Prise en compte de frottements La Terre est entoure d’une atmosphre qui s’oppose au mouvement du satellite. La force de −→ frottementfcre par l’atmosphre est proportionnelle au carr de la vitessevdu satellite et −→ −→ elle s’exprime parf=αmv v, oÙαest une constante de valeur positive. B.1Dterminer la dimension deα. B.2En considrant que dans ces conditions, le thorme du viriel tabli prcdemment est toujours valable, exprimer l’nergie mcanique du satelliteEet la norme de la vitesseven fonction deG,MT,RTeth. B.3á partir d’un thorme nergtique en dduire quehvrifie l’quation diffrentielle sui-vante : p dh =2α GMT(RT+h) dt B.4Un satellite plac sur une orbite d’altitudeh= 800kmsubit une diminution d’altitude d’environ1mpar rvolution ; on suppose que sa vitesse est, en norme, peu affecte au bout d’une p 7 rvolution. On donneGMT(RT+h)3,2.10SI. En dduire un ordre de grandeur deα(ne pas s’tonner de la petitesse du rsultat). Calculer, avec la mme approximation, la perte d’altitude du satellite au bout de 10 ans de fonctionnement. Le fait d’avoir une augmentation de la vitesse en prsence d’une force oppose au mouvement est-il paradoxal ? B.5D’aprs les rsultats prcdents et en considrant le rÔle des satellites tudis, discuter succinctement du choix de l’altitude de l’orbite pour ces satellites.
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ProblÈme II Etude de l’accÉlÉromÈtre d’un stabilisateur d’images Les appareils photo reflex numriques, mme ceux d’entre de gamme, sont aujourd’hui qui-ps d’acclromtres pour la stabilisation d’image. Cela permet, en particulier sur les longues focales, de stabiliser la vise. Il est alors plus facile de faire le point sur un sujet trs lointain et il est plus ais de soigner son cadrage, les tremblements du photographe tant amortis. On se propose, dans cette partie, d’tudier le fonctionnement d’un acclromtre Ā dtection capacitive, ce systme tant le plus rpandu actuellement. Son principe est dcrit ci-aprs : Une poutre suspendue appele « masse sismique » constitue l’une des armatures d’un conden-sateur plan. L’autre armature est solidaire de l’appareil photo dont on veut mesurer l’acclration (voir figure ci-dessous). Les variations de capacit lies au dplacement de la masse sismique per-mettent de suivre son mouvement.
On modlise la structure mcanique tudie par une masse ponctuelleMde massem, sus-pendue Ā l’extrmit d’un ressort de constante de raideurket de longueur Ā vide`0, dont l’autre extrmit est fixe enOau bti solidaire de l’appareil photo (voir figure ci-dessous). −→ −→ Les amortissements sont modliss par une force) de frottement de la forme :Ff=α(vM Rap −→ (vM)reprsente la vitesse du pointMdans le rfrentiel de l’appareil photo. Rap
On s’intresse Ā la dtermination de l’amplitudeZOde la vibration engendre par le tremblement du photographe. On considre pour cela que le pointOoscille verticalement Ā la pulsationωavec une amplitudeZOdans le rfrentiel terrestre considr comme galilen. Sa position y est repre par sa cotezO(t) =ZOcos(ωt). La position de la masseMest repre dans le rfrentiel de l’appareil photo par sa cotez. 1. On notezeqla position d’quilibre de la masseMpar rapport Ā l’appareil en l’absence de vibration. Dterminer son expression en fonction de`0, m, getk. 2. Etablir l’quation diffrentielle du mouvement de la masseMdans le rfrentiel de l’appareil photo en faisant apparaïtre les paramtresα, k, m, zeq, ωetZO. On noteZ=zzeqla position de la masseMpar rapport Ā sa position d’quilibre dans l’acclromtre. 3. Montrer que l’quation du mouvement deMpeut se mettre sous la forme : ω0 2 2 ¨ ˙ Z+Z+ω 0Z=ZOω cos(ωt). Q
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Nommerω0etQ. Prciser leurs dimensions et leurs expressions en fonction dem, αetk. On s’intresse maintenant au mouvement de la masse en rgime tabli. 4. Expliquer pourquoiZ(t)peut se mettre sous la formeZ(t) =ZMcos(ωt+φ). Prciser la signification des diffrents termes apparaissant dans cette expression. ω 5. Etablir l’expression deZMen fonction deZO, Qet de la pulsation rduitex=. Il est ω0 conseill d’utiliser les notations complexes. 1 6. Montrer que la courbeZM(x)passe par un maximum pourQ >et prciser l’expression 2 xrdexlorsqueZMpasse par ce maximum. Comparerxret 1. 7. Etudier les asymptotes basse et haute frquences deZM(x)puis tracer sur un mme gra-1 1 phique l’allure de la courbeZM(x)pourQ1<,Q2>etQ3> Q2en portant une 2 2 attention particulire au positionnement des maxima. 8. Comment faut-il choisir le facteur de qualit du systme et sa pulsation propre pour qu’il fonctionne sur une plage de frquences de tremblements la plus large possible ?
ProblÈme III Sismographe horizontal A RÉfÉrentiels non galilÉens Soit un rfrentiel not(R1)d’origineO1et d’axes orthogonauxO1x1, O1y1, O1z1et un autre rfrentiel not(R2)d’origineO2d’axes orthogonauxO2x2,O2y2,O2z2.Les deux rÉfÉrentiels sont en translation l’un par rapport À l’autre.On tudie le mouvement d’un point matrielMde massemdans ces deux rfrentiels. A.1Que peut-on dire des directions relatives des axes(O1x1, O1y1, O1z1)d’une part,(O2x2, O2y2, O2z2)d’autre part pour traduire le fait que les deux rfrentiels sont en translation l’un −→ par rapport Ā l’autre ? Dterminer la relation liant la vitessev1du point matriel, calcule dans −→ le referentiel(R1), et la vitessev2calcule dans le referentiel(R2). On fera intervenir la vitesse −→ du pointO2par rapport Ā(R1)qu’on noterav(O2/R1). On justifiera trs clairement les calculs faits. En dduire la relation existant entre l’acclration a1calcule dans le rfrentiel(R1)et l’acclrationa2calcule dans le rfrentiel(R2). On fera −→ intervenir l’acclration du pointO2par rapport Ā(R1)qu’on noteraa(O2/R1). A.2A quelle condition les deux acclrationsa1eta2sont-elles gales ? Montrer qu’alors le mouvement de(R2)par rapport Ā(R1)est rectiligne et uniforme. Une justification trs prcise est attendue. A.3On suppose que le rfrentiel(R1)? Donner unest galilen. Que signifie cette dfinition exemple de rfrentiel considr comme galilen en la commentant. Montrer que si les conditions de la question prcdente sont remplies alors si le rfrentiel (R1)est galilen, le rfrentiel(R2)est aussi galilen. A.4On suppose maintenant que(R1)est galilen mais que la condition de la question A.2. n’est pas remplie. On suppose que dans(R1)le point matriel est soumis Ā un ensemble de forces −→ dont la rsultante estF. Quelle relation lie alorsF,meta1? Montrer qu’alors le rfrentiel(R2)n’est pas galilen. Justifier trs prcisment. Montrer qu’on peut quand mme appliquer la relation fondamentale de la dynamique ou deuxime loi −→ de Newton dans le rfrentiel(R2)Ā condition d’ajouter ĀFune autre force dont on donnera −→ l’expression en fonction demeta(O2/R1). Quel nom donne-t-on traditionnellement Ā cette « pseudo-force »supplmentaire ? A.5Ènoncer le thorme du moment cintique enO2dans le rfrentiel(R2).
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B Fabrication d’un sismographe horizontal Lors d’un tremblement de terre, les vibrations du sol font que ce dernier n’est plus galilen le temps de la secousse sismique. On peut donc dtecter les vibrations du sol par les effets non galilens qui sont engendrs. Pour cela, on considre une barre de masse ngligeable et de longueurL. Cette barre est lie enOĀ un bti solidaire du sol (voir figure1Ā l’autre extrmit, on fixe une masse ponctuelle) ; m, assimile Ā un point matrielM. Le mouvement (suppos plan) du pendule ainsi constitu −→ autour de l’axe passant parOet parallle Āuzest repr par l’angleθque la barre avec la −→ verticale,uztant un vecteur unitaire venant vers le lecteur. La liaison enOde la barre et de la partie haute du bti est suppose parfaite. Les oscillations de la barre sont freines par un dispositif non reprsent qui exerce un moment enO, rsistant −→ −→ au mouvement et d’expressionM=α uz,αtant une constante positive. dt
Figure1 – Evolution dex(t)
Le bti du sismographe est solidaire du sol. On suppose tout d’abord que le sol ne vibre pas. B.1Faire un bilan des actions mcaniques agissant sur le pointMet calculer le moment enO de chacune de ces actions. Montrer que, lorsque le sol ne vibre pas, l’angleθest nul Ā l’quilibre. B.2On carte la barre de sa position d’quilibre (θ= 0) et on la lche sans vitesse initiale depuis une position repre par l’angleθ(t= 0) =θ0(suppos petit). Dterminer l’quation diffrentielle vrifie parθlors du mouvement de la barre en utilisant le thorme du moment cintique pour de petits angles. B.3Retrouver le rsultat prcdent en faisant une analyse nergtique du problme. B.4Dterminer les relations liantα,m,Letgpour que le mouvement soit pseudopriodique, critique, apriodique. Pour la suite de l’exercice, on se placera dans le cas oÙ le mouvement est en rgime critique. On rappelle que le rgime critique correspond au cas oÙ le discriminant de l’quation caractristique associe Ā l’quation diffrentielle linaire du second ordre Ā coefficients constants, est nul. Quel peut tre l’intrt de se placer en rgime critique pour un sismographe ?
On suppose maintenant que le sol vibre horizontalement, la vibration est caractrise par une acclration horizontale du sola=aux,uxtant un vecteur unitaire horizontal dirig vers la gauche (voir figure1). Lors de la vibration du sol, on peut tudier le mouvement de la barre par rapport au bti en utilisant les forces d’inertie. −→ B.5Exprimer la force d’inertie d’entraïnement s’exerÇant surMen fonction demeta. En dduire le momentMiede cette force d’inertie d’entrainement enO.
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B.6En tenant compte de toutes les actions mcaniques appliques sur la barre et en appliquant le thorme du moment cintique enOdans le rfrentiel li au bti, dterminer l’quation diffrentielle vrifie parθlors du mouvement. En dduire, en fonction deaetg, l’angleθe lorsque la barre trouve une position d’quilibre par rapport au bti si l’acclrationaest une constante.
L’hypothseaconstante n’est pas raliste dans le cas d’un tremblement de terre. On va donc envisager un cas plus raliste d’ondes sismiques oÙavarie suivant la formea=a0cosωta0 etωsont des constantes. Il est conseill d’utiliser la notation complexea=a0exp(jωt)etθ=θ0exp(j(ωt+ϕ)) = θ0exp(jωt). B.7Montrer (toujours dans le cas des petites oscillations :sinθθ,cosθ1) que l’amplitude complexeθ0vrifie a 0 L θ0=2α g ω+j ω L2 mL Simplifier cette expression en fonction dea0,L,m,getω(on rappelle qu’on est rgime critique). B.8En dduire l’amplitudeθ0des oscillations forces du sismographe. Dterminer galement la phaseϕ. B.9Reprsenter l’allure gnrale de l’amplitudeθ0en fonction de la pulsationω. B.10On considre des ondes sismiques de frquence trs faible. Montrer queθ0est alors pro-portionnel Ā l’amplitude de l’acclrationa0du sol. Quel est le coefficient de proportionnalit ? Quelle(s) condition(s) doit vrifierωpour que l’hypothse soit valable ? B.11On considre des ondes sismiques de frquence trs leve. Montrer queθ0est alors proportionnel Ā l’amplitude dudÉplacement?du sol. Quel est le coefficient de proportionnalit Quelle(s) condition(s) doit vrifierωpour que l’hypothse soit valable ?
ProblÈme IV Voile Solaire Ce problme traite de rallier l’orbite de Mars depuis l’orbite terrestre Ā l’aide d’une voile solaire.
A Orbites hÉliocentriques Le rfrentiel hliocentrique est considr comme Galilen. Le mouvement des astres y est dcrit dans un repre de coordonnes polaires(r, θ)dont le Soleil occupe l’origineS. Les grandeurs vectorielles seront exprimes dans le repre orthonormal associ (ur, uθ). Le Soleil est assimil Ā un corps parfaitement sphrique et son champ de gravit est donc un champ de force central. Tous les mouvements orbitaux de ce problmes sont plans. Donnes : 30 – masse du Soleil :MS= 2,0.10kg 11 321 – constante de gravitation :G= 6,67.10kgm s 81 – clrit de la lumire dans le vide :c= 3,00.10ms 11 – distance moyenne Terre-Soleil :rT= 1,5.10m 11 – distance moyenne Mars-Soleil :rM= 2,3.10m A.1? Dfinir le le rfrentiel hliocentrique.Qu’appelle-t-on rfrentiel A.2Rappeler l’expression gnrale de la vitessevet de l’acclrationad’un corps ponctuel dans un repre de coordonnes polaires.
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−→ A.3Exprimer la force de gravitationFSexerce par le Soleil sur un corps de massemsitu Ā distancerdu centre de l’astre. Citer deux grandeurs conserves lorsque le corps est soumis Ā −→ la seule force de gravitationFS. A.4Appliquer le principe fondamental de la dynamique Ā un corps soumis Ā la seule force de −→ gravitationFS. A.5Montrer que dans le cas gnral, l’quation du mouvement pour la distance radialer(t) 2 d r0 0 se rduit Ā :m2=E(r(t))Edsigne la drive par rapport Ārde l’nergie potentielle p p dt 2 LGMSm effectiveEp(r) =2. Que reprsente la grandeurL?dans l’expression ci-dessus 2mr r A.6L’nergie potentielle effectiveEp(r)est reprsente sur la figure suivante.
A partir de la conservation de l’nergie mcanique que vous justifierez, dcrire qualitativement la nature des trajectoires suivies par des corps dont les nergies totales seraient respectivement gales ĀEA,EBetECschmatises par des lignes horizontales sur la figure.
B Temps de transit À l’aide d’une voile solaire Une voile solaire est assimile Ā une surface plane d’aireSpourvue d’un revtement rflchis-sant et permet une propulsion en utilisant la pression de radiation mise par les toiles pour se dplacer dans l’espace Ā la manire d’un voilier. B.1On se place dans les conditions de la partie A et on considre un corps suivant une orbite hliocentrique circulairer(t) =r0. A un instant donn, on exerce sur le corps une force suppl-−→ −→ mentaireF=Frurpurement radiale, dirige vers l’extrieur, et d’intensit constante trs faible. L’nergie potentielle associ Ā cette force radiale est reprsente sur la figure ci-dessous par une droite dcroissante en traits pointills. On cherche Ā dterminer la modification de trajectoire rsultant de cette force supplmentaire.
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