Master de Mathematiques

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Niveau: Supérieur, Master
Master 2 de Mathematiques Universite de Lyon 1 – ENS Lyon Annee 2008/2009 CORRIGE SUR FURSTENBERG, POINCARE, SIEGEL Exercice 1. 1) Le groupe P est moyennable et il opere continument sur X par restriction de la G-action ; par consequent, il fixe une mesure de probabilite µ sur X. 2) Le groupe G est localement compact et G/P est compact, donc il existe une partie compacte C ? G telle que G = C.P . On a donc G?µ = C?µ, qu'on voit comme l'image du compact C par l'application orbite g 7? g?µ. L'orbite de µ est fermee car compacte. 3) Par forte proximalite, l'adherence de G?µ contient une masse de Dirac. Mais par 2) on a G?µ = G?µ, donc il existe g?G et y?X tels que g?µ = ?y ; autrement dit, µ = ?g?1.y. 4) On pose x = g?1.y ; alors StabG(µ = ?x) ? P implique que x est P -fixe. En utilisant la partie C compacte de 2), on a : G.x = C.x, d'ou la compacite de la G-orbite de x. 5) On considere l'application orbite de x : G ? X, g 7? g.x.

  • matrices triangulaires

  • point fixe

  • groupe sl2

  • topologie de zariski sur la droite

  • probabilite µ sur p1

  • sl2

  • application continue


Publié le : vendredi 8 juin 2012
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Master2deMath´ematiques Universite´deLyon1ENSLyon Anne´e2008/2009
´ ´ CORRIGE SUR FURSTENBERG, POINCARE, SIEGEL
Exercice 1.1) Le groupePeltelipoomeynnbainˆument`erecontrustseXpar restriction de laG,tliuqnesne´raocdeprsurenemexeue´tilibabotiac;pon-µsurX. 2) Le groupeGest localement compact etG/Pest compact, donc il existe une partie compacte CGtelle queG=C.Pa donc. OnGµ=Cµ, qu’on voit comme l’image du compactC par l’application orbiteg7→gµde. L’orbiteµ.compactemre´ceraetsef 3)Parforteproximalite´,ladhe´rencedeGµcontient une masse de Dirac.Mais par 2) on a Gµ=Gµ, donc il existegGetyXtels quegµ=δy; autrement dit,µ=δg .y. 1 1 4) On posex=g .y; alors StabG(µ=δx)Pimplique quexestP-fixe. Enutilisant la partieCcompacte de 2), on a :G.x=C.xalu`od,lade´eitacmpcoG-orbite dex. 5)Onconsid`erelapplicationorbitedex:GX,g7→g.ximage est compacte,. Son doncferme´e,nonvideetGnimiaPmre´edlati-invnte.arialaG-action, c’est doncXtout entier. Parfactorisation, on obtient une application continue et surjectiveG/PX, dont la Gairestclnceeariauqvi-e´.   a b Exercice 2.asawedoidnIawmpcoitostleu´ead1vnO)gla forme= sousg=kan c d     cosθsinθ λ0 1µ× aveck= ,a= etn= pourθ, µRetλR. On 1 + sinθcosθ0λ0 1 forme le produitkanCela donne :, et on identifie. 1 (1)a=λcosθ(2)b=µλcosθλsinθ 1 (3)c=λsinθ(4)d=µλsinθ+λcosθ √ √2 22 22 22 2 En faisant (1)+ (3)on obtientλ=a+c, cosθ=a/ a+cet sinθ=c/ a+c. Alors, (2) et (4) deviennent : 02 202 2 (2 )b=c/(a+c) et (4)d=+a/(a+c). 0 02 2 Fairea(2 ) +c(4 ) donneµ= (ab+cd)/(a+c), et finalement :    2 22 2 a b1ac a+c(0 1ab+cd)/(a+c) =√ ∙. 2 2 2 2 c dc a0 1/ a+c0 1 a+c 2) Il est clair queλest une bijection d’ordre 2 de SL2(R) puisque c’est l’interversion des deux coefficients diagonaux des matrices.Queλest un anti-automorphisme vient d’un calcul :si     0 00 00 0 a ba bcb+dd ab+bd 0 00 g= etgon a := ,λ(gg) ==λ(g)λ(g). 0 00 00 0 c dc dca+dc aa+bc   a b 3) Pourg,l´i=t´eegalλ(g).i=ivinaet:suaviuqe´seasuxtasunsiort c d
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  d b .i=i⇐⇒b+di=c+ai c a   ac ⇐⇒grmteanint1=tedtsee´de c a ⇐⇒gest une matrice de rotation. Bref, le stabilisateur deiest le groupeK. 1 4) Sig=kan, on aλ(g).i=λ(n)λ(a)λ(k).i. Commeλ(k)K,λ(a) =aetλ(n) =n,    1µ λ0 12 on aλ(g).i=na .icr´eOn.tin= etaet alors= ,λ(g).i=µ+λ i. 1 0 10λ 2 Maintenantg∈ St,uauiva:t`uqe´|µ| ≤uetλt. Finalement,on a : 2 St,u.i={zH:|Re(z)|≤uet Im(z)1/t}.    0λ λ0 1× Exercice 3.1) On a :n(λ) =etn(λ).n(1) =pour toutλF. 11 λ0 0λ 2)Lesope´rationse´l´ementairessurleslignesetlescolonnessetraduisentpardesmultiplica-tionspardesmatricesunipotentes,etunematricetriangulairesupe´rieure(resp.inf´erieure) est clairement le produit d’une matrice diagonale par une matrice unipotente triangulaire supe´rieure(resp.inf´erieure). 3)Ladhe´rencedeZaristenuedanQ ki deU+(Zps) est conU+(p) ={u+(λ)}car ce dernier λQ p groupe est) unferme´deZariskideSL2(Qp. D’ailleurs,la topologie induite par celle de SL2 t la topologie de Za surU+(Qpriski sur la droite affine ; donc le sous-groupe) esU+(Zp), qui Z estinni,estZari)ibienquonal´egalite´U(Z) =U(Q). ski dense dansU+(Qp, s+p+p Z ) contie 4)Parlaquestionpre´ce´dente,ladh´erencedeZariskiSL2(ZpntU+(Qpun). Par raisonnementanalogue,ellecontientaussilesmatricesunipotentestriangulairesinfe´rieuresa` coefficients dansQ, et pdonc tout SL2(Qp) par 2).    2n a ba pb nn s (Dp).M.(Dp) = 5) SoitM=SL2(Zp). Alor2net,lufealesn¸aoc c dp cd pour que la suite de ces matrices converge est queba`rdioetntenhautecoecieis(0lnon= exploseetempˆechelasuitedeˆtreborne´e).R´eciproquement,siMest une matrice triangulaire inf´erieure,alorslasuitedesite´re´essouslaconjugaisonparDpconverge vers la partie diagonale de cette matrice. t 6) Une matricegde SL2(Rnslestda)eeist2(s)epOSrguov´leelsintmeleeueiregg=I2, ce quisetraduitpardese´quationspolynomialesenlescoecientsmatricielsdeghdaL.ecnere´ t deZariskideSO(2)estdoncforme´edesmatricesgSL2(C) telles quegg=I2o`du; Z SO(2) (R) = SO(2).    a ba b Exercice 4.1) On a :.(1,0) = (a, c) doncest dansBsi et seulement si c dc d c= 0 :le stabilisateurBseltialusserrtsegnaimaesictrroegeduptetmrninaresded´eup´erieu ´egala`1.   a b 2) SoitHun sous-groupe de SL2(R) contenant strictementB. AlorsHcontientg= c d      0 00 1bβ a1β a+βc b+++cββ avecc6= 0.Comme∙ ∙= ,en 0 0 1c d0 1c d+0 choisissant convenablementβetβntnp,otpeuudoruerile´neme´nHavec des coefficients 2
diagonauxnuls.Untele´l´ementconjuguelesmatricestriangulairessup´erieures(dansB, donc dansHtreseiruepue´erssluiatresngiamaesictrrueiL.senisere´fangulairricestriruelmstas) inf´erieuresdede´terminante´gal`a1engendrentSL2(Redc´t.enedlxereicecrpe´)voirle2) 1 3) Le groupe SL2(R)e`poocerˆumentinrntsuP(R), et la factorisation de l’application orbite de 1 [(1,´tqeiuavn0oituneeriantepaencilpod])uenntiec,cveioatijnbϕ: SL2(R)/BP(R). La de´compositiondIwasawaSL2(R) =KBmontre que SL2(R)/Best compact, ce qui implique 1 que SL2(R)/Best SL2(Rpreha`)-hom´eomoP(Re.)aLrdojprteoir´vetiecanelleedsaptemd mesure SL2(R)-invariante car SL2(R) est unimodulaire alors queBne l’est pas. 2 1 4) On aD.[(x, y)] = [(yx, a)], donc les points fixes sousDdansP(R) sontx+etx, et n1 limD .x=x+pour toutxP(R)\ {x}. n→∞ Z Z    1nn n 5) SoitfCP(R() . AlorsD)µ(f) =f(D .x)dµ(x) =f(D .x)dµ(x) 1 1 P(R)P(R)\{x} converge versf(x+) =δx+(fcrapevnon.eeger´ondiemc) 1n1 6) Les points fixes degDgsontg.x+etg.x, et pour toutx6=g.x, on alim.xgD g= n→∞ g.x+le nombre d’atomes de. Commeµuvrotetetuserable,onpd´enombrg(une rotation par 1 exemple) telle queµ({g.x}lqcupruec´´eemedtnemceva.0eL=)celaˆmmegDgaplacela` n1 deDdonne lim(gD g)µ=δ. g.x+ n→∞ 1 7) La SL2(R)-action surP(Rxiroeprtept´limatneivorse)ttransitive(donciminamel,)tealof 1 delaquestionpr´ec´edente:P(Rtsruebnere`iFededergSLe)tsortnnufe2(R). 8) SoitXtn`iredenufeorbergdeSLeFursten2(R). Parle premier exercice, il existe une application continue, surjective et SL2(RviraaitnSeL)-´equ2(R)/BX. SoitxX. Alors StabSL (R)(x) contientBc’est exactement. SiB, on obtient queϕhpromoe´emsiomnhtues 2 car SL2(R)/BSinon, par 2) ce stabilisateur est SLest compact.2(R) tout entier, etXest re´duit`aunpoint. 2 Exercice 5.1) Si le groupeHest compact, il laisse invariant un produit scalaire deR (obtenuparmoyennisationdenimportequelproduitscalaireaud´epart);danscecasHest conjugu´e`aSO(2). 1 2) PuisqueHeil´tabibnneyomtseroepunxel,ileabµsurP(R), et le lemme de Furstenberg implique que le support deµdeuonduseftro´ms.Cesuppeuxpointaprststorteis´eabilH, donc un sous-groupe d’indice 2 deHle fixe point par point. 1 3) Si le groupeHcompact, par 1) il existegSL2(R) tel queH < gKg, etHfixe 1 2 λ(g).iH.teende´ce´rpnoitseuqselatili,onuinonS.
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