Optimisation sous contraintes d'inégalité

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CHAPITRE VII Optimisation sous contraintes d'inégalité 1. Optimisation sous contraintes On considère le problème d'optimisation suivant : .P / 8 < : Maximiser f .x1; : : : ; xn/ sous les contraintes : gi .x1; : : : ; xn/ D 0 i D 1; : : : ; p hj .x1; : : : ; xn/ 6 0 j D 1; : : : ; q On définit le lagrangien associé à .P / : L D f .x1; : : : ; xn/C pX iD1 i gi .x1; : : : ; xn/C qX jD1 j hj .x1; : : : ; xn/ 2. Conditions nécessaires d'optimalité Théorème 2.1 (Kuhn-Tucker) Si .P / admet une solution en Nx D . Nx1; : : : ; Nxn/, alors, en général, il existe des i 2 R et des i 2 R tels que • L0x1 D 0 : : : L 0 xn D 0 • L0i D 0 i D 1; : : : ; p • j hj . Nx/ D 0 j D 1; : : : ; q [conditions de complémenta- rité] • j 6 0 j D 1; : : : ; q • hj .

  • ea eb eab

  • dérivée seconde

  • application directe du théorème de pythagore

  • contraintes d'inégalité page

  • exponentielle - élasticitépage


Publié le : mardi 1 février 2011
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CHAPITRE VII Optimisation sous contraintes d’inégalité
1. Optimisation sous contraintes On considère le problème d’optimisation suivant : .P / ˆ<ˆ8 Maxi gh m ij i .. s x e x 1 r 1 ;;f:::.::x:; 1 ;;x: n ://:; D 6 x n 00/ so ij us DD le 1 s 1;; c ::: o :: n :; t ; r p a q intes : : x n On définit le lagrangien associé à .P / : p q L D f .x 1 ; : : : ; x n / C X i g i .x 1 ; : : : ; x n / C X j h j .x 1 ; : : : ; x n / i D 1 j D 1 2. Conditions nécessaires d’optimalité Théorème 2.1 (Kuhn-Tucker) Si .P / admet une solution en x N D .x N 1 ; : : : ; x N n / , alors, en général , il existe des i 2 R et des i 2 R tels que L 0 x 1 D 0 : : : L 0 x n D 0 L 0 D 0 i D 1 : : ; p i ; : j h j .x N / D 0 j D 1; : : : ; q [ conditions de complémenta-rité ] j 6 0 j D 1; : : : ; q h j .x N / 6 0 j D 1; : : : ; q Remarque Dans le cas d’un problème de minimisation, la condition 2.1 de-vient : j > 0 3. Le cas convexe/concave Théorème 3.1 (Conditions suffisantes) Si, dans le théorème 2.1, on a f est une fonction concave (ou convexe dans le cas d’un mini-mum) • les fonctions g i sont affines • les fonctions h j sont convexes alors les conditions nécessaires sont (en général) suffisantes. 4. Conditions de qualification Pour que les deux résultats précédents soient valables, il faut véri-fier la condition de qualification suivante : les r g i .x N / et les r h j .x N / sont linéairement indépendantes pour i D 1 : : : p et pour j D 1 : : : q pour lesquels h j .x N / D 0 . Dans le cas convexe/concave (théorème 3.1), il suffit de vérifier la condition (de Slater) suivante : il existe x O 2 R n tel que g i .x O / D 0 et h j .x O / < 0 pour i D 1 : : : p et pour j D 1 : : : q .
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CHAPITRE IX Les fonctions logarithme et exponentielle -Élasticité 1. La fonction logarithme népérien On appelle logarithme népérien la fonction notée ` n : ` n W R C ! R x 7! ` n x vérifiant 8 x 2 R C .` n x/ 0 D x1 et ` n .1/ D 0 Étude de la fonction ` n Domaine de définition : D ` n D R C D 0; C1 Œ . Dérivée : .` n x/ 0 D 1x Signe de la dérivée : .` n x/ 0 > 0 8 x 2 R C . Variations : ` n x est donc strictement croissante sur R C . Dérivée seconde 1 .` n x/ 00 D  x 2 < 0 8 x 2 R C La fonction ` n est donc (strictement) concave sur R C . Limites lim ` n x D 1 lim ` n x D C1 x ! 0 C x !C1 Représentation graphique
On note e le réel vérifiant ` n e D 1 . Il est appelé nombre de Néper . e 2; 718 . On a les limites suivantes : lim ` n x D 0 x !C1 x n lim x n ` n x D 0 x ! 0 lim ` n x D lim ` n .1 C u/ D 1 x ! 1 x 1 u ! 0 u 2. La fonction exponentielle On appelle fonction exponentielle la fonction réciproque de ` n. Elle est notée exp W x 7! e x Pour tout x 2 R , e x est l’unique réel tel que ` n . e x / D x : En particulier, e 0 D 1 . Étude de la fonction exp Domaine de définition : D exp D R . Dérivée : . e x / 0 D e x Signe de la dérivée : . e x / 0 > 0 8 x 2 R . Variations : exp est donc strictement croissante sur R . Dérivée seconde . e x / 00 e x > 0 8 x 2 R D La fonction exp est donc (strictement) convexe sur R . Limites : lim e x D 0 lim e x D C1 x !1 x !C1 Représentation graphique
Propriétés Propriétés Pour a; b 2 R C , on a Pour a; b 2 R , on a a ` n .ab/ D ` n a C ` n b ` n .a=b/ D ` n .a/ ` n .b/ e a C b D e a e b e a b D ee b Pour a 2 R C et r 2 Q , on a Pour a 2 R et r 2 Q , on a ` n a1 D  ` n a ` n .a r / D r ` n a e a D e 1 a . e a / r D e ar VincentJalbyUniversitédeLimogesL1EconomieMathématiquesappliquéesSemestre22011-2012IX.Lesfonctionslogarithmeetexponentielle-ÉlastiPcaitgée2
Pour x > 0 , et y 2 R Propriétés e ` n x D x ` n . e y / D y Pour x; y 2 R C et ˛; ˇ 2 R , on a On a les limites suivantes : x ˛ C ˇ D x ˛ x ˇ x ˛ D 1 ˛ x lim x n e x D 0 .xy/ ˛ D x ˛ y ˛ x ˛ˇ D .x ˛ / ˇ x !1 e x lim D 1 x !C1 x n C 4. Élasticité lim e x 1 D 1 S D o é it f ni . ti x o / n u 4 n .1 fon 0 2 R tel que f .x 0 / ¤ 0 . x ! 0 x e ction et x e 3. Fonction puissance On appelle dérivée logarithmique de f n x 0 le réel Soit ˛ 2 R . 0 On appelle fonction puissance d’exposant ˛ , la fonction notée x 7! ` n j f .x 0 / j D ff 0 ..xx 00 // x ˛ définie sur R C par Définition 4.2 x ˛ D e ˛ ` n x 8 x 2 R C Soit f .x/ une fonction et x 0 2 R tel que f .x 0 / ¤ 0 . On appelle variation relative de la variable x le rapport Étude de la fonction x ˛ Domaine de définition : D x ˛ D R C D 0; C1 Œ . x D x x 0 Dérivée : x 0 x 0 x ˛ 0 D ˛x ˛ 1 ( > 0 s La variation relative de la fonction f .x/ est alors i ˛ > 0 < 0 si ˛ < 0 Variations :Si ˛ > 0 , x ˛ est strictement croissante.Si ˛ < 0 , x ˛ f D f .x/ f .x 0 / est strictement décroissante. f .x 0 / f .x 0 / Définition 4.3 Dérivée seconde Soit f .x/ une fonction et x 0 2 R tel que f .x 0 / ¤ 0 . x ˛ 00 D ˛.˛ 1/x ˛ 2 ( <>00 ssiin 0 on < ˛ < 1 On appelle élasticité de ff e . n x tr / e x 0 f e . t xx 0 , / le rapport e.f; x 0 ; x/ D xf. x 0 x/ 0 D var. rel. de f Convexité var. rel. de x Si 0 < ˛ < 1 , x ˛ est strictement concave.Sinon, x ˛ est strictement x 0 convexe. Si f est dérivable en x 0 , on définit l’ élasticité de f en x 0 : Limites C1 si ˛ lim x ˛ D ( 0 si ˛<>00e.f;x 0 / D lim B 0 f.xx/f. xx 0 fx 0 / 0 .x 0 / C A1 D x 0 ff 0 ..xx 00 // x !C1 ( 0 C1 ssii ˛˛><00 Si x etit, alo x ! x 0 @ lim x ˛ D x ! 0 est p rs Représentation graphique : f f .x 0 / e.f; x 0 / x 0 x Etude de l’élasticité e.f; x 0 / > 0 : une croissance relative de x entraîne une crois-sance relative de f .x/ . e.f; x 0 / < 0 : une croissance relative de x entraîne une décrois-sance relative de f .x/ . j e.f; x 0 / j > 1 : la variation relative de f .x/ est supérieure à celle de x : la fonction est élastique j e.f; x 0 / j < 1 : la variation relative de f .x/ est inférieure à celle de x : la fonction est inélastique . j e.f; x 0 / j < D 1 : la variation relative de f .x/ est identique à celle de x . VincentJalbyUniversitédeLimogesL1EconomieMathématiquesappliquéesSemestre22011-2012IX.Lesfonctionslogarithmeetexponentielle-ÉlastiPcaitgée3
Définition 4.4 Soit f W R 2 ! R une fonction de classe C 1 . L’élasticité partielle de f par rapport à x est e x .f / D x f x 0 .x; y/ f .x; y/ L’élasticité partielle de f par rapport à y est e y .f / D yff y 0 ..xx;;yy//
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CHAPITRE X Fonctions trigonométriques
1. Angles et mesures Définition 1.1 L’angle entre 2 demi-droites est un nombre réel mesurant l’espace existant entre ces 2 demi-droites.
Il peut être positif ou négatif :
Il existe deux principales unités de mesure d’un angle : les degrés et les radians :
La circonférence complète représente un angle de 360 degrés ou 2 radians :
Radian 0 =6 =4 =3 =2  2 Degré 0 30 45 60 90 180 360
2. Sinus et cosinus
On considère le cercle de rayon 1 et de centre 0. Les coordonnées d’un point M sur le cercle sont x D cos . / y D sin . / représente l’angle entre .O x/ et OM .
Une application directe du théorème de Pythagore donne sin 2 C cos 2 D 1
Sur le graphique, on observe que cos .  / D cos . / et sin .  / D  sin . /
D 3:14159265 : : : On peut convertir les degrés en radians et inversement à l’aide de la formule : deg rad D 360 2 Vincent Jalby – Université de Limoges – L1 Economie – Mathématiques appliquées – Semestre 2 – 2011-2012 – X. Fonctions trigonométriques
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Quelques valeurs particulières Représentation graphique 0      3 6 4 3 2 2 1 sin . / 0 p 22 p 23 1 0 -1 2 cos . / 1 p 23 p 2221 0 -1 0 Remarque Dans la suite, on n’utilisera plus que l’unité de mesure d’angle ra-dian . En particulier, sin .x/ signifie sin .x radians / 3. La fonction sinus sin W R ! Œ 1; C 1 x 7! sin .x/ La fonction sinus est : • définie et continue sur R • impaire : sin . x/ D  sin .x/ 2 -périodique : sin .x C 2 / D sin .x/ • dérivable : . sin x/ 0 D cos .x/ Représentation graphique
4. La fonction cosinus
cos W R ! Œ 1; C 1 x 7! cos .x/ La fonction cosinus est : • définie et continue sur R • paire : cos . x/ D cos .x/ 2 -périodique : cos .x C 2 / D cos .x/ • dérivable : . cos x/ 0 D  sin .x/
5. Tangente La tangente de , représentée sur le dessin, est donnée par la formule tan . / D sin . / cos . / Cette formule provient du théorème de Thalès.
La fonction tangente est -périodique : tan .x C  / D tan .x/ et impaire : tan . x/ D  tan .x/ On ne l’étudie que sur l’intervalle 2 ; 2 Œ . tan W 2; 2Œ ! 1 ; C1 Œ x 7! tan .x/ . tan x/ 0 D 1 C tan 2 D 1 x cos 2 x
Valeurs remarquables tan .=4/ D 1 tan . =4/ D  1
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CHAPITRE XI Développements limités 1. Définition, existence et unicité Définition 1.1 Soit f W R ! R définie sur un voisinage V de 0 et n 2 N . On dit que f admet un développement limité d’ordre n au voisinage de 0 si on peut écrire f .x/ D a 0 C a 1 x C a 2 x 2 C    C a n x n C x n ".x/ x 2 V e x D 1 C x C x2 2 C x6 3 C x 4 C x 4 ".x/ 24 a 0 ; a 1 ; : : : ; a n 2 R et lim ".x/ D 0 . x ! 0 Remarques 1) D’après la formule de Taylor-Young, toute fonction n fois dérivable en 0 admet un développement limité d’ordre n : f f .x/ D f .0/ C f 0 1.Š0/x C f 0 2 0 .Š0/x 2 C    C .n n / Š.0/x n C x n ".x/ 2) Lorsqu’il existe, le développement limité d’une fonction est unique. e x D 1 C x C x".x/
e x D 1 C x C x2 2 C x 2 ".x/
Valeur approchée de e D e 1 D 2:71828 : : : n D 1; e 1 C 1 D 2 n D 2; e 1 C 1 C 12 2 D 2:5 n D 3; e 1 C 1 C 12 2 C 16 3 D 2:666 2 n D 4; e 1 C 1 C 12 C 16 3 C 12 4 4 D 2:708 2. Développements limités usuels e x D 1 C x C x2 2 Š C x3Š 3 C    C x n . / C x n " x n ` n .1 C x x 2 C . 1/ n C 1 x C x n ".x/ / D x2 C x3 3 C    n 1 x C x 2 3 C    C . 1/ n x n C x n ".x/ D 1 x 1 C x 1/ .1 C x/ ˛ D 1 C ˛x C ˛x 2 C : : : C ˛.˛ 1/ : : : .˛ n C 1/x n C x n ".x/
sin .x/ D x x3 3 Š C x5Š 5 C    C . 1/ n .2xn 2n C C 1 1/Š C x 2n C 1 ".x/ 2 e x D 1 C x C x 2 x6 3 C x 3 ".x/ cos .x/ D 1 x2Š C x4Š 4 C    C . 1/ n x2 2 n n Š C x 2n ".x/ 2 C Vincent Jalby – Université de Limoges – L1 Economie – Mathématiques appliquées – Semestre 2 – 2011-2012 – XI. Développements limités Page 7
Résolution d’équation x 3. Opérations sur les développements limités e x D 1 C ! 0 ité dSooirtd f ree n ta g uvdoeiusixnfaognecdtieo 0 ns:admettantundéveloppementlim Règle de l’Hôpital Si lim f .x/ D 0 et lim g.x/ D 0 ,alors 0 C a 1 x C    C a n x n C x n ".x/ x ! x 0 x ! x 0 f .x/ D a x/ g.x/ D b 0 C b 1 x C    C b n x n C x n ".x/ x li ! m x 0 fg..xx// D x li ! m x 0 fg 00 ..x/ Produit par un réel 5. Généralisation des développements limités Pour 2 R , la fonction f admet un DL d’ordre n donné par Définition 5.1 .f /.x/ D a 0 C a 1 x    C a n x n C x n ".x/ Soit f W R ! R définie sur un voisinage V de x 0 et n 2 N . On dit que f admet un développement limité d’ordre n au voisinage de x 0 si on peut écrire Produit par x p f .x/ D a 0 C a 1 .x x 0 / C    C a n .x x 0 / n C .x x 0 / n ".x x 0 / Pour p 2 N , la fonction x p f .x/ admet un DL d’ordre n C p donné par a 0 ; a 1 ; : : : ; a n 2 R et lim ".x x 0 / D 0 . x ! x 0 x p f .x/ D a 0 x p C a 1 x p C 1    C a n x n C p C x n C p ".x/ Définition 5.2 Soit f W R ! R une fonction . On dit que f admet un développe-ment asymptotique d’ordre n en ˙1 , si on peut écrire P Su ou b r st itu 2 ti R o , n l I a fonction f .x/ admet un DL d’ordre n donné par f .x/ D a 0 C ax 1 C ax 22 C    C ax nn C x1 n ".1=x/ avec lim ".1=x f .x/ D a 0 C a 1 .x/ C a 2 . 2 x//x 22 C    C a n .x/ n C x n ".x/ x !˙1 / D 0 . D a 0 C .a 1 /x C .a 2 C    C .a n n /x n C x n ".x/
Substitution II Pour p 2 N , la fonction f .x p / admet un DL d’ordre np donné par f .x p / D a 0 C a 1 .x p / C a 2 .x p / 2 C    C a n .x p / n C .x p / n ".x/ D a 0 C a 1 x p C a 2 x 2p C    C a n x np C x np ".x/
Somme La fonction f C g admet un DL d’ordre n donné par .f C g/.x/ D .a 0 C b 0 / C .a 1 C b 1 /x C  C .a n C b n /x n C x n ".x/
4. Utilisation des développements limités Calcul de limites x 2 x 3 lim x ! 0 x Étude locale d’une fonction x x f .x/ D e e Simplication d’expression f .r / D C.1 C r / n n 2 N
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